ماتریس کوواریانس

ماتریس کوورایانس، ماتریسی است که اعضای آن همبستگی بین پارامترهای مختلف سیستم را نشان می‌دهد.

تعریف

اگر بردار X، متغیرهای تصادفی ما باشند.

$X = \begin{bmatrix}X_1 \\ \vdots \\ X_n \end{bmatrix}$

ماتریس کوورایانس ماتریسی است که آرایه‌های آن به طریق زیر یافت می‌شوند.

$\Sigma_{ij} = \mathrm{cov}(X_i, X_j) = \mathrm{E}\begin{bmatrix} (X_i - \mu_i)(X_j - \mu_j) \end{bmatrix}$

که ماتریس زیر به دست می‌آید:

$\Sigma = \begin{bmatrix} \mathrm{E}[(X_1 - \mu_1)(X_1 - \mu_1)] & \mathrm{E}[(X_1 - \mu_1)(X_2 - \mu_2)] & \cdots & \mathrm{E}[(X_1 - \mu_1)(X_n - \mu_n)] \\ \\ \mathrm{E}[(X_2 - \mu_2)(X_1 - \mu_1)] & \mathrm{E}[(X_2 - \mu_2)(X_2 - \mu_2)] & \cdots & \mathrm{E}[(X_2 - \mu_2)(X_n - \mu_n)] \\ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\ \mathrm{E}[(X_n - \mu_n)(X_1 - \mu_1)] & \mathrm{E}[(X_n - \mu_n)(X_2 - \mu_2)] & \cdots & \mathrm{E}[(X_n - \mu_n)(X_n - \mu_n)] \end{bmatrix}.$

خصوصیات

• ماتریس کوواریانس باید مثبت معین باشد.