ماتریس کوواریانس

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

ماتریس کوورایانس، ماتریسی است که اعضای آن همبستگی بین پارامترهای مختلف سیستم را نشان می‌دهد.

تعریف[ویرایش]

اگر بردار X، متغیرهای تصادفی ما باشند.

X = \begin{bmatrix}X_1 \\  \vdots \\ X_n \end{bmatrix}

ماتریس کوورایانس ماتریسی است که درایه‌های آن به طریق ذیل بدست می‌آیند.


\Sigma_{ij}
= \mathrm{cov}(X_i, X_j) = \mathrm{E}\begin{bmatrix}
(X_i - \mu_i)(X_j - \mu_j)
\end{bmatrix}

که ماتریس زیر به دست می‌آید:


\Sigma
= \begin{bmatrix}
 \mathrm{E}[(X_1 - \mu_1)(X_1 - \mu_1)] & \mathrm{E}[(X_1 - \mu_1)(X_2 - \mu_2)] & \cdots & \mathrm{E}[(X_1 - \mu_1)(X_n - \mu_n)] \\ \\
 \mathrm{E}[(X_2 - \mu_2)(X_1 - \mu_1)] & \mathrm{E}[(X_2 - \mu_2)(X_2 - \mu_2)] & \cdots & \mathrm{E}[(X_2 - \mu_2)(X_n - \mu_n)] \\ \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\
 \mathrm{E}[(X_n - \mu_n)(X_1 - \mu_1)] & \mathrm{E}[(X_n - \mu_n)(X_2 - \mu_2)] & \cdots & \mathrm{E}[(X_n - \mu_n)(X_n - \mu_n)]
\end{bmatrix}.

که در آن E امید ریاضی می باشد.

خصوصیات[ویرایش]