ماتریس الحاقی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در جبر خطی ماتریس الحاقی (به انگلیسی: Adjugate matrix) یک ماتریس مربعی، ترانهادهٔ کهاد آن است. از ماتریس الحاقی برای محاسبهٔ ماتریس وارون استفاده می‌شود.

تعریف[ویرایش]

فرض کنید A ماتریسی مربعی باشد.

  • کهاد iام jام ماتریس A عبارت است از دترمینان ماتریس مربعی که از حذف سطر iام و ستون jام ماتریس A بدست می آید و آنرا با \mathbf{M}_{ij} نشان می دهیم.
  • همسازه ماتریس A از رابطهٔ زیر به دست می‌آید:
\mathbf{C}_{ij} = (-1)^{i+j} \mathbf{M}_{ij}. \,

حال ماتریس الحاقی A برابر است با ترانهادهٔ C:

\mathrm{adj}(\mathbf{A}) = \mathbf{C}^T \,.

مثال‌ها[ویرایش]

ماتریس‌ ۲ × ۲[ویرایش]

ماتریس الحاقی ماتریس ۲ × ۲

\mathbf{A} = \begin{pmatrix} {{a}} & {{b}}\\ {{c}}  & {{d}} \end{pmatrix}

برابر است با

\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{pmatrix} \,\,\,{{d}} & \!\!{{-b}}\\ {{-c}} & {{a}} \end{pmatrix}.

ماتریس‌ ۳ × ۳[ویرایش]

ماتریس ۳ × ۳ زیر را در نظر بگیرد


\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
A_{11} & A_{12} & A_{13} \\
A_{21} & A_{22} & A_{23} \\
A_{31} & A_{32} & A_{33}
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}.

ماتریس الحاقی، ترانهادهٔ ماتریس همسازهٔ آن است، پس


\mathbf{C} = \begin{pmatrix} 
+\left| \begin{matrix} A_{22} & A_{23} \\ A_{32} & A_{33} \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} A_{21} & A_{23} \\ A_{31} & A_{33}  \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} A_{21} & A_{22} \\ A_{31} & A_{32} \end{matrix} \right| \\
 & & \\
-\left| \begin{matrix} A_{12} & A_{13} \\ A_{32} & A_{33} \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{13} \\ A_{31} & A_{33} \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{31} & A_{32} \end{matrix} \right| \\
 & & \\
+\left| \begin{matrix} A_{12} & A_{13} \\ A_{22} & A_{23} \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{13} \\ A_{21} & A_{23} \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{matrix} \right|
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 
+\left| \begin{matrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} 4 & 6 \\ 7 & 9  \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right| \\
 & & \\
-\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right| \\
 & & \\
+\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix}  1 & 3 \\ 4 & 6 \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right|
\end{pmatrix}

بنابرین خواهیم داشت


\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{pmatrix} 
+\left| \begin{matrix} A_{22} & A_{23} \\ A_{32} & A_{33} \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} A_{12} & A_{13} \\ A_{32} & A_{33}  \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} A_{12} & A_{13} \\ A_{22} & A_{32} \end{matrix} \right| \\
 & & \\
-\left| \begin{matrix} A_{21} & A_{23} \\ A_{31} & A_{33} \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{13} \\ A_{31} & A_{33} \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{13} \\ A_{21} & A_{23}  \end{matrix} \right| \\
 & & \\
+\left| \begin{matrix} A_{21} & A_{22} \\ A_{31} & A_{32} \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{31} & A_{32} \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{matrix} \right|
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 
+\left| \begin{matrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 8 & 9  \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{matrix} \right| \\
 & & \\
-\left| \begin{matrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 4 & 6  \end{matrix} \right| \\
 & & \\
+\left| \begin{matrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right|
\end{pmatrix}

که

\left| \begin{matrix} A_{im} & A_{in} \\ \,\,A_{jm} & A_{jn} \end{matrix} \right|=
\det\left(    \begin{matrix} A_{im} & A_{in} \\ \,\,A_{jm} & A_{jn} \end{matrix} \right).

خواص[ویرایش]

ماتریس الحاقی خواص زیر را دارد

\mathrm{adj}(\mathbf{I}) = \mathbf{I}\,
\mathrm{adj}(\mathbf{AB}) = \mathrm{adj}(\mathbf{B})\,\mathrm{adj}(\mathbf{A})\,
\mathrm{adj}(c \mathbf{A}) = c^{n - 1}\mathrm{adj}(\mathbf{A})

برای تمام ماتریس های مربعی A و B

منابع[ویرایش]

  • Strang, Gilbert (1988). "Section 4.4: Applications of determinants". Linear Algebra and its Applications (3rd ed.). Harcourt Brace Jovanovich. pp. 231–232. ISBN 0-15-551005-3. 

پیوند به بیرون[ویرایش]