ماتریس الحاقی

در جبر خطی ماتریس معکوس یا ماتریس الحاقی ماتریسی است که نقش مهمی در وارون ماتریس‌ بازی می‌کند.

تعریف

فرض کنید A یک ماتریس مربعی باشد. حد iام jام ماتریس A عبارت است از دترمینان ماتریس مربعی که از حذف سطر iام و ستون jام ماتریس A بدست می آید و آنرا با $\mathbf{M}_{ij}$ نشان می دهند.

• ماتریس همسازه ماتریس A را تعریف کنید که ماتریس همسازه از رابطه زیر به دست می‌آید.

$\mathbf{C}_{ij} = (-1)^{i+j} \mathbf{M}_{ij}. \,$

ماتریس معکوس A برابر است با ترانهاده ماتریکس همسازه A:

$\mathrm{adj}(\mathbf{A}) = \mathbf{C}^T \,$.

مثال‌ها

ماتریس‌ ۲ × ۲

ماتریس معکوس ماتریس‌های ۲ ضرب ۲

$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} {{a}} & {{b}}\\ {{c}} & {{d}} \end{pmatrix}$

برابر است با

$\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{pmatrix} \,\,\,{{d}} & \!\!{{-b}}\\ {{-c}} & {{a}} \end{pmatrix}$.

ماتریس‌ ۳ × ۳

ماتریس $3\times 3$ زیر را در نظر بگیرد

$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$.

معکوسِ ماتریس انتقال، همسازه آن است پس

$\mathbf{C} = \begin{pmatrix} +\left| \begin{matrix} A_{22} & A_{23} \\ A_{32} & A_{33} \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} A_{21} & A_{23} \\ A_{31} & A_{33} \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} A_{21} & A_{22} \\ A_{31} & A_{32} \end{matrix} \right| \\ & & \\ -\left| \begin{matrix} A_{12} & A_{13} \\ A_{32} & A_{33} \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{13} \\ A_{31} & A_{33} \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{31} & A_{32} \end{matrix} \right| \\ & & \\ +\left| \begin{matrix} A_{12} & A_{13} \\ A_{22} & A_{23} \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{13} \\ A_{21} & A_{23} \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{matrix} \right| \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} +\left| \begin{matrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right| \\ & & \\ -\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right| \\ & & \\ +\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right| \end{pmatrix}$

بنابرین خواهیم داشت

$\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{pmatrix} +\left| \begin{matrix} A_{22} & A_{23} \\ A_{32} & A_{33} \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} A_{12} & A_{13} \\ A_{32} & A_{33} \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} A_{12} & A_{13} \\ A_{22} & A_{32} \end{matrix} \right| \\ & & \\ -\left| \begin{matrix} A_{21} & A_{23} \\ A_{31} & A_{33} \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{13} \\ A_{31} & A_{33} \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{13} \\ A_{21} & A_{23} \end{matrix} \right| \\ & & \\ +\left| \begin{matrix} A_{21} & A_{22} \\ A_{31} & A_{32} \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{31} & A_{32} \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{matrix} \right| \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} +\left| \begin{matrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{matrix} \right| \\ & & \\ -\left| \begin{matrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{matrix} \right| \\ & & \\ +\left| \begin{matrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right| \end{pmatrix}$

که

$\left| \begin{matrix} A_{im} & A_{in} \\ \,\,A_{jm} & A_{jn} \end{matrix} \right|= \det\left( \begin{matrix} A_{im} & A_{in} \\ \,\,A_{jm} & A_{jn} \end{matrix} \right)$.

خواص

ماتریس معکوس خواص زیر را دارد

$\mathrm{adj}(\mathbf{I}) = \mathbf{I}\,$

$\mathrm{adj}(\mathbf{AB}) = \mathrm{adj}(\mathbf{B})\,\mathrm{adj}(\mathbf{A})\,$

برای تمام ماتریس های مربعی A و B

منابع

• Strang, Gilbert (1988). "Section 4.4: Applications of determinants". Linear Algebra and its Applications (3rd ed.). Harcourt Brace Jovanovich. pp. 231–232. ISBN 0-15-551005-3. 
• ویکی‌پدیای انگلیسی

پیوند به بیرون

• راهنمای بدست آوردن ماتریس الحاقی