ماتریس نواری

تعریف

در ریاضیات، به خصوص در نظریهٔ ماتریس‌ها ، ماتریس نواری یک ماتریس تنک است که درایه‌های خارج از یک نوار نسبتا باریک حول قطر اصلی صفر است .

به عبارت دیگر، ماتریس ($A_{n * n}$ = (a_i,j یک ماتریس نواری است اگر برای مقادیر ثابت $K_1 , K_2 \geq 0$ شرط زیر برقرار باشد :

a_i,j = 0 اگر $j > i + K_2$ یا $j < i - K_1$

مقادیر $K_1$ و $K_2$ به ترتیب نیمه پهنای باند چپ ( پهنای نوار پایینی ) و راست ( پهنای نوار بالایی ) نامیده می شوند . یک ماتریس نواری با $K_1 = K_2 = 0$ یک ماتریس قطری؛ یک ماتریس نواری با $K_1 = K_2 = 1$ یک ماتریس سه قطری؛ یک ناتریس نواری با $K_1 = K_2 = 2$ یک ماتریس پنج وجهی و ... نامیده می‌شود .

کاربرد

در بسیاری از کاربردها ماتریس هایی ظاهر می شوند که تعداد اندکی درایهٔ غیر صفر دارند . به عنوان یک مثال ساده دستگاههای سه قطری را که از تقریبات گسستهٔ معادلات دیفرانسیل مرتبهٔ دوم با مشتقات جزئی نیز پیش می آید .

ساختار دستگاههای سه قطری

$\begin{bmatrix} b_1 & c_1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ a_2 & b_2 & c_2 & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & a_3 & b_3 & c_3 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & a_{n-1} & b_{n-1} & c_{n-1} \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & a_n & b_n \end{bmatrix}$

تقریبات تفاضلی معادلات دیفرانسیل مرتبهٔ بالاتر نوعاً به ماتریس هایی منجر می‌شود که درایه‌های غیر صفر آن‌ها از طرح‌های کلی تری، مثل ساختار ۵ قطری زیر، برخوردارند.

$\begin{bmatrix} * & * & *& \cdots & \cdots & \cdots & \vdots \\ ** & * & *& * & \cdots & \cdots & \vdots \\ ** & * & * & * & * & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & * & * & * & * & * \\ \vdots & \ddots & \ddots & * & * & * & * \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & * & * & * \\ \end{bmatrix}$

واقعییت مشترک کلیهٔ این ساختارها این است که برای مقادیر محسوس n اکثر درایه‌های آنها صفرند . به عبارت دیگر این ماتریسها تنک هستند . ماتریسهای تنک موقعییت روشنی را برای صرفه جویی محاسباتی فراهم می آورند .

ذخیره سازی نواری

ماتریس‌های نواری معمولاً با ذخیره کردن قطرها( قطرهای دارای عناصر ناصفر ) در ستون‌های یک ماتریس ذخیره می شوند و درایه‌های خالی به صورت پیش فرض با صفر پر می شوند .

به طور مثال یک ماتریس سه قطری 6*6  :

$\begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ B_{21} & B_{22} & B_{23} & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & B_{32} & B_{33} & B_{34} & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & B_{43} & B_{44} & B_{45} & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & B_{54} & B_{55} & B_{56} \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & B_{65} & B_{66} \end{bmatrix}$

با ماتریس 3*6 زیر ذخیره می‌شود :

$\begin{bmatrix} 0 & B_{11} & B_{12}\\ B_{21} & B_{22} & B_{23} \\ B_{32} & B_{33} & B_{34} \\ B_{43} & B_{44} & B_{45} \\ B_{54} & B_{55} & B_{56} \\ B_{65} & B_{66} & 0 \end{bmatrix}$

.

منابع

• [۱]
• آنالیز عددی برای علوم کاربردی ترجمهٔ دکتر سید محمد حسینی