ماتریس نواری

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

تعریف[ویرایش]

در ریاضیات، به خصوص در نظریهٔ ماتریس‌ها ، ماتریس نواری یک ماتریس تنک است که درایه‌های خارج از یک نوار نسبتا باریک حول قطر اصلی صفر است .

به عبارت دیگر، ماتریس (A_{n * n} = (ai,j یک ماتریس نواری است اگر برای مقادیر ثابت K_1 , K_2 \geq 0 شرط زیر برقرار باشد :

ai,j = 0 اگر j > i + K_2 یا j < i - K_1

مقادیر K_1 و K_2 به ترتیب نیمه پهنای باند چپ ( پهنای نوار پایینی ) و راست ( پهنای نوار بالایی ) نامیده می شوند . یک ماتریس نواری با K_1 = K_2 = 0 یک ماتریس قطری؛ یک ماتریس نواری با K_1 = K_2 = 1 یک ماتریس سه قطری؛ یک ناتریس نواری با K_1 = K_2 = 2 یک ماتریس پنج وجهی و ... نامیده می‌شود .

کاربرد[ویرایش]

در بسیاری از کاربردها ماتریس هایی ظاهر می شوند که تعداد اندکی درایهٔ غیر صفر دارند . به عنوان یک مثال ساده دستگاههای سه قطری را که از تقریبات گسستهٔ معادلات دیفرانسیل مرتبهٔ دوم با مشتقات جزئی نیز پیش می آید .

ساختار دستگاههای سه قطری


\begin{bmatrix}
 b_1 & c_1 & 0      & \cdots & \cdots & 0 \\
 a_2 & b_2 & c_2 & \ddots & \ddots & \vdots \\
  0     & a_3 & b_3 & c_3 & \ddots & \vdots \\
 \vdots & \ddots & \ddots & \ddots  & \ddots & \vdots \\
 \vdots & \ddots & \ddots & a_{n-1} & b_{n-1} & c_{n-1} \\
 0      & \cdots & \cdots & 0      & a_n & b_n
\end{bmatrix}

تقریبات تفاضلی معادلات دیفرانسیل مرتبهٔ بالاتر نوعاً به ماتریس هایی منجر می‌شود که درایه‌های غیر صفر آن‌ها از طرح‌های کلی تری، مثل ساختار ۵ قطری زیر، برخوردارند.


\begin{bmatrix}
 * & * & *&  \cdots & \cdots & \cdots &  \vdots \\
 ** & * & *& * & \cdots & \cdots &  \vdots \\
  ** & * & * & * & * & \ddots & \vdots \\
 \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
 \vdots & \ddots & * & * & * & * & * \\
 \vdots & \ddots & \ddots & * & * & * & * \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & * & * & * \\

\end{bmatrix}

واقعییت مشترک کلیهٔ این ساختارها این است که برای مقادیر محسوس n اکثر درایه‌های آنها صفرند . به عبارت دیگر این ماتریسها تنک هستند . ماتریسهای تنک موقعییت روشنی را برای صرفه جویی محاسباتی فراهم می آورند .

ذخیره سازی نواری[ویرایش]

ماتریس‌های نواری معمولاً با ذخیره کردن قطرها( قطرهای دارای عناصر ناصفر ) در ستون‌های یک ماتریس ذخیره می شوند و درایه‌های خالی به صورت پیش فرض با صفر پر می شوند .

به طور مثال یک ماتریس سه قطری 6*6  :


\begin{bmatrix}
 B_{11} & B_{12} & 0      & \cdots & \cdots & 0 \\
 B_{21} & B_{22} & B_{23} & \ddots & \ddots & \vdots \\
  0     & B_{32} & B_{33} & B_{34} & \ddots & \vdots \\
 \vdots & \ddots & B_{43} & B_{44} & B_{45} & 0 \\
 \vdots & \ddots & \ddots & B_{54} & B_{55} & B_{56} \\
 0      & \cdots & \cdots & 0      & B_{65} & B_{66}
\end{bmatrix}

با ماتریس 3*6 زیر ذخیره می‌شود :


\begin{bmatrix}
 0 & B_{11} & B_{12}\\
 B_{21} & B_{22} & B_{23} \\
 B_{32} & B_{33} & B_{34} \\
 B_{43} & B_{44} & B_{45} \\
 B_{54} & B_{55} & B_{56} \\
 B_{65} & B_{66} & 0
\end{bmatrix}

.

منابع[ویرایش]