شکل سطری پلکانی

در یک ماتریس، درایهٔ پیشرو درایه‌ای ناصفر است که تمام درایه‌های هم‌سطر قبل از آن صفر باشند. مثال: گلوله‌ها $\bullet$ در ماتریس زیر

${\begin{bmatrix}\bullet &\star &\star &\star &\star \\0&\bullet &\star &\star &\star \\0&0&0&\bullet &\star \\0&0&\bullet &\star &\star \\0&0&0&0&0\end{bmatrix}}$

اگر تمام درایه‌های یک سطر صفر باشند به آن سطرِ صفر می‌گوییم و در آن صورت هیچ درایهٔ پیشرویی نخواهد داشت (مثل سطر آخر در مثال).

در جبر خطی، ماتریس پلکانی ماتریسی است که خصوصیات زیر را داشته باشد:

• تمام سطرهای صفر زیر سطرهای ناصفر قرار داشته باشند.
• هر درایهٔ پیشرو اکیداً سمت راست درایه‌های پیشرو در سطرهای بالاییش باشد. در مثال بالا این شرط در سطر چهارم برقرار نیست.
• بعضی منابع خاصیت سومی اضافه می‌کنند که درایه‌های پیشرو باید ۱ باشند.

با داشتن این دو (یا سه) خاصیت می‌گوییم آن ماتریس فرم پلکانی دارد. مثال: (گلوله‌ها و ستاره‌ها می‌توانند هر مقداری باشند. گلوله‌ها ناصفر)

${\begin{bmatrix}\bullet &\star &\star &\star &\star \\0&\bullet &\star &\star &\star \\0&0&0&\bullet &\star \\0&0&0&0&\bullet \\0&0&0&0&0\end{bmatrix}}$

می‌توان از تعریف نتیجه گرفت که ماتریس پلکانی یک ماتریس بالامثلثی است. همچنین در یک ماتریس پلکانی، درایه‌های هم‌ستون زیر هر درایهٔ پیشرو حتماً صفر اند.

به ماتریس $A$ پلکانی ستونی می‌گوییم اگر ترانهادهٔ آن $A^{T}$ یک ماتریس پلکانی باشد. گاهی برای تأکید، به ماتریس پلکانی ماتریس پلکانی سطری هم گفته می‌شود.

هر ماتریسی مثل $A$ را می‌توان با دنباله‌ای از چند عمل سطری مقدماتی به یک ماتریس پلکانی تبدیل کرد. با این که چنین ماتریسی یکتا نیست، مکان پیشروهای آن یکتا است. یک مکان محور $i,j$ در یک ماتریس مکانی است که بعد از تبدیل ماتریس به پلکانی $A'_{i,j}$ پیشرو باشد. برای پیدا کردن چنین ماتریسی می‌توان از روش حذف گاوسی استفاده کرد.

ماتریس پلکانی کاهش یافته

اگر یک ماتریس پلکانی دو خاصیت دیگر نیز داشته باشد به آن ماتریس پلکانی کاهش‌یافته یا کاهشی (به انگلیسی: reduced echelon matrix) می‌گوییم:

• هر درایهٔ پیشرو تنها درایهٔ ناصفر در ستون خود باشد. به عبارتی دیگر درایه‌های هم‌ستون هر درایهٔ پیشرو حتماً صفر اند.
• مقدار درایه‌های پیشرو باید ۱ باشند (همان طور که گفته شد، این خاصیت تنها در بعضی کتاب‌ها خاصیت ماتریس پلکانی غیرکاهشی است).

مثالی از ماتریسی با فرم پلکانی کاهش‌‌یافته (به انگلیسی: RREF):

${\begin{bmatrix}0&1&0&\star &0&\star \\0&0&1&\star &0&\star \\0&0&0&0&1&\star \\0&0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0&0\end{bmatrix}}$

هر ماتریسی مثل $A$ را می‌توان با دنباله‌ای از چند عمل سطری مقدماتی به یک ماتریس پلکانی کاهش‌‌یافته تبدیل کرد. به آن ماتریس، ماتریس پلکانی کاهش‌‌یافتهٔ متناظر با ماتریس $A$ می‌گوییم. برخلاف ماتریس پلکانی، ماتریس پلکانی کاهش‌‌یافتهٔ متناظر با هر ماتریس یکتا است. برای پیدا کردن چنین ماتریسی می‌توان از روش حذف گاوس-جردن استفاده کرد.