نسبیت خاص

این نوشتار حاوی اطلاعات تخصصی است. برای نوشتاری مقدماتی‌تر به آشنایی با نسبیت خاص مراجعه کنید.

برای دیگر کاربردها، نسبیت را ببینید.

پرونده:Albert Einstein 1979 USSR Stamp.jpg

تمبر پستی اتحاد جماهیر شوروی سابق که به آلبرت انیشتین اختصاص داده شده است

نسبیت خاص (به انگلیسی: (SR)Special Relativity) نظریه‌ای فیزیکی دربارهٔ اندازه گیری در چارچوب مرجع لخت است که در سال ۱۹۰۵ میلادی توسط آلبرت اینشتین در نوشتاری با نام "در الکترودینامیک اجسام در حرکت" مطرح شد.. گالیلئو گالیله قبلا چنین اصلی را بیان نموده بود که تمام حرکات یکنواخت نسبی هستند و هیچ حالت سکون مطلق و تعریف شده ای وجود ندارد(چارچوب مرجع برتر وجود ندارد). این اصل امروزه اصل نسبیت گالیله خوانده می شود. انیشتین این اصل را با در نظرگرفتن پدیده سرعت ثابت نور گسترش داد؛ پدیده ای که به تازگی در آزمایش مایکلسون-مورلی مشاهده شده بود. او همچنین بیان نمود که این اصل برای تمام قوانین فیزیک صادق است که شامل هردوی قوانین مکانیک و الکترودینامیک می باشد.

این نظریه پیامدهای گسترده ای دارد که مورد تایید داده های تجربی قرارا گرفته اند و شامل موضوعاتی غیر شهودی همچون انقباض طول ، اتساع زمان و نسبیت همزمانی است. او مفهوم کلاسیک بازه زمانی ناوردا برای دو رویداد را با مفهوم ناوردایی بازه فضازمان تعویض کرد. می توان با استفاده از دو اصل نسبیت خاص و ترکیب آنها با سایر قوانین فیزیک به هم ارزی جرم و انرژی بر طبق اصل هم‌ارزی جرم و انرژی (E = mc2) رسید که c در آن برابر با سرعت نور در خلا است. پیش بنی های نسبیت خاص با مکانیک نیوتنی در قلمرو مشترکشان مطابقت دارد. به ویژه در مورد سرعتهایی که از سرعت نور بسیار کمتر هتند. تاثیر نسبیت خاص هنگام بررسی اجسام در حال حرکت با سرعت‌های بسیار زیاد (نزدیک به سرعت نور) قابل ملاحظه می‌شود. بنابر این نظریهٔ نسبیت همانطور که اصل همخوانی فیزیک ایجاب می‌کند باید نتایج مشاهدات قبلی را به شکل کامل تری بیان کند. بین تبدیلات لورنتس و گالیله رابطه زیر برقرار است :

‎ $\lim _{c\to \infty }$(تبدیلات لورنتس) = (تبدیلات گالیله) ‎

البته در نظر داشته باشید که هنگامی که c به سمت بی نهایت می‌رود ( همانطور که پیش از اثبات متناهی بودن سرعت نور فرض می‌شد ) کسر v/c به سمت صفر می‌رود. این بدان معناست که تبدیلات لورنتس که اساس نظریهٔ نسبیت خاص هستند در سرعت‌های بسیار کم نسبت به نور، نتایج یکسانی را با معادلات گالیله که اساس نسبیت نیوتونی هستند به دست می‌دهند. نظریه نسبیت خاص به ما می گوید که c تنها سرعت یک پدیده مشخص نیست بلکه یکی از ویژگیهای بنیادی شیوه ای است که فضا و زمان با یکدیگر به شکل فضا زمان یکپارچه گشته اند. یکی از پیامدهای این نظریه است که ذره ای که جرم لختی دارد هرگز سرعتش به سرعت نور نمی رسد.

واژه خاص به این دلیل در نام این نظریه آمده است که اصل نسبیت را تنها در مورد ویژه چارچوبهای مرجع لخت به کار برده است. به عبارت دیگر این طور پنداشته شده است که چارچوبهای مرجع نسبت به یکدیگر با سرعت یکنواختی حرکت می کنند. انیشتین نسبیت عام را معرفی نمود و اصل نسبیت را در حالت کلی تری به کارگرفت تا برای هر چارچوبی که قادر به تغییر مختصات عمومی است، صادق باشد. این نظریه تاثیرات گرانشی را هم در نظر می گیرد.

این واژه امروزه کاربرد کلی تری پیدا کرده و برای ارجاع به هر موردی که در آن گرانش ناچیز است استفاده می شود. نسبیت عام تعمیمی بر نسبیت خاص است که گرانش را نادیده نمی گیرد. در نسبیت عام گرانش توسط هندسه نااقلیدسی توصیف می شود؛ به گونه ای که تاثیرات گرانشی با خمش فضازمان نمایش داده می شوند. نسبیت خاص تنهابه فضاهای تخت محدود است. همانگونه که خمش زمین در زندگی روزمره ناچیز به نظر می رسد خمش فضازمان نیز در مقیاسهای کوچک قابل صرف نظر کردن است و بنا بر این به صورت محلی نسبیت خاص تقریب قابل قبولی از نسبیت عام است.

اصول

بازتابهایی از این نوع برای من روشن ساخت که تا مدتی پس از سال ،۱۹۰۰ یعنی زمان کوتاهی بعد از کار پیشگامانه پلانک،نیز نه مکانیک و نه الکترودینامیک نمی توانستند ادعای درستی دقیق (به جز در موارد خاص) داشته باشند. به تدریج من از امکان یافتن قوانین واقعی با استفاده از تلاشهای سازنده برپایه حقایق دانسته شده نا امید شدم. هر چه بیشتر و از جان گذشته تر تلاش می نمودم بیشتر به این باور نزدیک می شدم که تنها کشف یک اصل رسمی جهانشمول می تواند مارا به نتایج مطمئنی برساند... چگونه می شد چنین اصلی یافت؟

— آلبرت انیشتین: یادداشتهای اتوبیوگرافی

آزمایش مایکلسون-مورلی

انیشتین دو پنداشت پایه ای مطرخ نمود که به نظر می رسید که بدون توجه به اعتبار قوانین شناخته شده- که در آن زمان یا مکانیکی و یاالکترودینامیکی بودند - قابل اطمینان باشند. این پنداشت ها ثابت بودن سرعت نور و دیگری استقلال قوانین فیزیکی (مخصوصا ثابت بودن سرعت نور)از دستگاه لخت انتخاب شده بود. در اولین ارائه نسبیت خاص در سال ۱۹۰۵، وی این اصول را به صورت زیر مطرح نمود:

• اصل نسبیت

مقالهٔ اصلی: اصل نسبیت

قوانین فیزیک در تمام چارچوب‌های لَخت یکسان هستند و هیچ چهارچوب لخت مرجعی وجود ندارد.

این اصل که پیش از نسبیت خاص در نسبیت نیوتونی نیز بوده است بیان می‌کند که تمامی چهارچوپ هایی که با سرعتی ثابت (بدون شتاب) حرکت می‌کنند هم ارز و یکسان هستند، بدین ترتیب هیچ چهارچوب لختی بر چهارچوب دیگر برتری یا با دیگری تفاوت ندارد.

به سخنی دیگر اصل نسبیت (با در نظر گرفتن یک شرایط ایده‌آل) می‌گوید که اگر شما در آزمایشگاه سربسته‌ای قرار داشته باشید و آن آزمایشگاه با سرعت ثابتی نسبت به زمین حرکت کند، شما با هیچ روشی نمی‌توانید تعیین کنید که سرعت‌تان نسبت به زمین چقدر است. در این بیان از اصل نسبیت فرض شده است که زمین یک چارچوب لخت است (این موضوع دربارهٔ زمین به تقریب صادق است)، همچنین فرض شده است که شما نسبت به زمین به نرمی حرکت می‌کنید و آزمایشگاه هیچ لرزش و تکانی ندارد.

• اصل سرعت ثابت نور

مقالهٔ اصلی: سرعت جهانی نور

"نور همواره در فضای خالی با سرعت مشخص c منتشر می شودکه مستقل از وضعیت جرکتی جسم منتشرکننده نور است " (از پیشگفتار)). این بدان معنی است که نور در خلا، حداقل در یک دستگاه مختصات لخت (دستگاه ثابت) با سرعت c(مقداری ثابت که مستقل از جهت است) و بدون توجه به وضعیت حرکتی منبع نور منتشر می شود. سرعت نور در خلاء برای تمام ناظران لَخت ثابت و برابر c است و به حرکت چشمهٔ نور یا حرکت ناظر بستگی ندارد.

به سخنی دیگر اگر شما سوار اتومبیلی باشید که با سرعت ۵۰ کیلومتر بر ساعت حرکت می‌کند و اتومبیل دیگری با سرعت ۲۰ کیلومتر بر ساعت به شما نزدیک شود، سرعت نسبی اتومبیل شما و اتومبیل مقابل تقریباً برابر با ۷۰ کیلومتر بر ساعت خواهد بود، اما بر طبق این اصل اگر چشمهٔ نوری با سرعت دلخواهی به شما نزدیک شود و شما هم با سرعت متفاوتی به سمت آن چشمه حرکت کنید باز هم سرعت نور نسبت به شما همان c خواهد بود. چنین چیزی کاملاً مخالف شهود روزمرهٔ ماست.

نسبیت خاص نه تنها بر این دو اصل آشکار بلکه بر چندین پنداشت ضمنی دیگر نیز وابسته است. از جمله این پنداشت ها می توان به همسانگردی و یکنواختی فضا و استقلال ساعت ها و میله های اندازه گیری از تاریخ گذشته شان اشاره نمود.

به دنبال ارائه نخستین نسبیت خاص توسط انیشتین در سال ۱۹۰۵ مجموعه های متعددی از اصول پیشنهاد شده است. اما رایج ترین مجموعه اصول همچنان همان اصولی هستند که توسط انیشتین در مقاله اصلی منتشر شدند. یک نسخه ریاضی از اصل نسبیت که بعدها توسط انیشتین ارائه شد عبارت است از:

اصل نسبیت خاص: اگر سیستم مختصات K برگزیده شود به گونه ای که در ارتباط با آن قوانین فیزیک در ساده ترین حالت خود به خوبی برقرار باشند، همان قوانین در ارتباط با هر دستگاه مختصات 'K دیگری نیز که در انتقال یکنواختی نسبت به K حرکت می کنند به خوبی صادق خواهند بود.

آنری پوانکاره با اثبات اینکه تبدیلات لورنتس زیرمجموعه ای از گروه پوانکاره در تبدیلات تقارنی هستند، چارچوبی ریاضیاتی برای نظریه نسبیت ارائه داد. بعدها انیشتین این تبدیلات را از اصولی که ارائه داده بود استنتاج کرد.

بسیاری از مقالات انیشتین مشتقاتی از تبدیلات لورنتس بر پایه این دو اصل را نمایش می دهند.

انیشتین همواره استنتاج ناوردایی لورنتس(هسته اصلی نسبیت خاص) را تنها برپایه دو اصل نسبیت و ثابت بودن سرعت نور بنا نهاده است.او اینچنین می نویسد:

بینش پایه ای در نظریه نسبیت خاص این است: پنداشتهای نسبیت و ناوردایی سرعت نور در صورتی سازگار هستند که اصولی که برای تغییر مختصاتها و زمانهای رخدادها بنا می شوندروابطی از یک نوع جدید ("تبدیلات لورنتس") باشند... از اصل جهانی نظریه خاص نسبیت درون این اصل قرار دارد: قوانین فیزیک نسبت به تبدیلات لورنتس ناوردا هستند (برای انتقال از یک دستگاه لخت به هر دستگاه لخت دلخواه دیگری که مورد نظر باشد). این یک اصل محدود کننده برای قوانین طبیعی است...

از این روی بسیاری از شکلهای امروزی نظریه نسبیت تنها آن را بر پایه اصل جهانی هم وردایی لورنتس و یا هم ارز آن یعنی اصل فضای مینکوفسکی، بنا می نهند.

با استفاده از اصل نسبیت به تنهایی و بدون فرض ثابت بودن سرعت نور(یعنی با استفاده از همسانگردی فضا و تقارنی که از اصل نسبیت خاص نتیجه می شود) می توان نشان داد که تبدیلات فضازمان بین چارچوبهای لخت یکی از سه نوع اقلیدسی، گالیله ای و یا لورنتسی هستند. در مورد تبدیلات لورنتسی می توان به پایستگی بازه نسبیتی و یک محدودیت سرعت متناهی به دست آورد. آزمایشها نشان می دهند که این حد سرعت برابر سرعت نور در خلاء می باشد.

انگیزه هایی که اندیشه ثابت بودن سرعت نور را به ارمغان آوردند، نظریه الکترومغناطیس ماکسول و نبود شواهد تجربی برای وجود اتر بودند. شواهد متناقضی در مورد اینکه تا چه حد انیشتین از نتیجه پوچ آزمایش آزمایش مایکلسون-مورلی تاثیر گرفته در دست است. به هرترتیب نتیجه پوچ آزمایش میکلسون-مورلی کمک کرد تا مفهوم ثابت بودن سرعت نور مورد پذیرش گسترده و سریعی قرار گیرد.

نبود چارچوب مرجع مطلق

اصل نسبیت که بیان می دارد هیچ دستگاه مرجع لخت برتری وجود ندارد، در حقیقت به زمان گالیله برمی گردد و درون فیزیک نیوتنی نیز راه داشته است. اما در اواخر قرن نوزدهم وجود امواج الکترومغناطیسی فیزیکدانان را برآن داشت تا پیشنهاد دهند که جهان از ماده ای به نام اتر پر شده است که همچون رسانه ای عمل می کند که امواج و ارتعاشات از آن می گذرند. گمان می شد که اتر چارچوب مرجع مطلق است که سرعتها را می توان بر اساس آن اندازه گرفت و خود آن بدون حرکت و ثابت است. خواص جالبی برای اتر پنداشته می شد : به اندازه کافی کشسان بود که بتواند امواج الکترومغناطیسی را پشتیبانی کند و این امواج می توانستند با ماده برهم کنش داشته باشند، با این وجود اتر در مقابل گذر اجسام از خود مقاومتی نشان نمی داد. نتایج آزمایشهای مختلف و از جمله آزمایش میکلسون-مورلی گویای این بودند که زمین همواره نسبت به اتر ثابت می ماند. چیزی که توضیح آن مشکل بود زیرا زمین در مداری به دور خورشید می گردد. راه حل انیشتین این بود که مفهوم اتر و حالت سکون مطلق را کنار بگذارد. نسبیت خاص به گونه ای فرمولبندی شده هیچ چارچوب مرجعی را ویژه نمی داند؛ بلکه در نسبیت هر چارچوب مرجعی که با سرعت یکنواخت حرکت کند همین قوانین فیزیک را مشاهده خواهد کرد. به طور ویژه سرعت نور در خلاء همواره در اندازه گیری ها برابر c است، حتی وقتی که توسط چندین دستگاه مختلف که با سرعتهای متفاوت اما یکنواختی حرکت می کنند.

چارچوب های مرجع، مختصات ها و تبدیلات لورنتس

ترسیمی از یک مخروط نوری

مقالهٔ اصلی: تبدیلات لورنتس

نسبیت بر پایه مفهوم "چارچوب های مرجع" استوار است. در اینجا منظور از واژه چارچوب مرجع، یک ژرفانمایی(پرسپکتیو) مشاهده ای در فضاست که تغییری در حرکت آن رخ نمی دهد(شتاب ندارد) که از طریق آن می توان یک موقعیت را در امتداد سه محور فضایی اندازه گرفت. افزون براین یک چارچوب مرجع توانایی تعیین زمان رویدادها از طریق یک 'ساعت'(هر دستگاه مرجعی با تناوب یکنواخت) را دارد.

یک رویداد اتفاقی است که می توان یک زمان یکتا و مکانی در فضا نسبت به یک چارچوب مرجع نسبت داد: "نقطه" ای در فضازمان . از آنجاییکه سرعت نور در نسبیت در همه چارچوبهای مرجع ثابت است، می توان از پالس های نور برای اندازه گیری مطمئن فاصله ها و ارجاع به زمانهای که رویدادها برای ساعت اتفاق افتاده اند استفاده نمود. اگرچه که برای نور هم زمانی پس از شروع رویداد طول خواهد کشید تا به ساعت برسد.

مثلا انفجار یک ترقه را می توان یک "رویداد" در نظرگرفت. می توان یک رویداد را به طور با استفاده از چهار مختصات فضازمان آن مشخص نمود. زمان رویداد و مکان فضایی سه بعدی اش یک نقطه مرجع می سازند.این چارچوب مرجع را S می نامیم. در نسبیت اعلب اغلب به محاسبه موقعیت یک نقطه از یک نقطه مرجع دیگ علاقه مندیم. فرض کنید که چارچوب مرجع دومی به نام ′S داریم که محورهای فضایی و ساعتش با محورهای فضایی و ساعت S در زمان صفر همزمان و هم مکان بوده اند، اما با سرعت ثابت v نسبت به S در امتداد محور ایکس ها حرکت می کند.

از آنجا که در نظریه نسبیت هیچ چارچوب مرجع مطلقی وجود ندارد، مفهوم موکدی از "حرکت" نیز وجود ندارد زیرا همه چیز همواره نسبت به چارچوب مرجع دیگری در حرکت است. به جای آن هرگاه دو چارچوب مرجع که باسرعت یکسان در جهت یکسان حرکت کنند، به آن حرکت همراه گفته می شود. بنا براین S و′S حرکت همراه ندارند. برای رویدادها مختصات فضازمان(t,x,y,z) در دستگاه S و (t′,x′,y′,z′) در دستگاه ′S تعریف می کنیم. تبدیل لورنتس بیان می کند که این دو مختصات به شیوه زیر در ارتباط هستند:

${\begin{cases}x'=\gamma \left(x-vt\right)\\y'=y\\z'=z\\t'=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\end{cases}}$

که در آن $\gamma ={1 \over {\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$ را فاکتور لورنتس می نامند و $\beta ={\frac {v}{c}}$. c سرعت نور در خلا است و وسرعت v دستگاه ′S در راستای محور xهاست.مختصات y,z تغییری نمی کنند و تنها مختصات x , t تبدیل می شوند. این تبدیلات لورنتس یک گروه تک پارامتر از نگاشت های خطی تشکیل می دهند که به آن پارامتر تندی (به انگلیسی: rapidity) می گویند.کمیتی که نسبت به تبدیلات لورنتس ناوردا باشد را کمیت نرده ای لورنتس می نامند.

چنانچه تبدیلات لورنتس و معکوسشان را برحسب اختلاف مختصاتها بنویسیم به گونه ای که مثلا مختصات یک رویداد (x₁, t₁) and (x′₁, t′₁) باشد، مختصات رویداد دیگر (x₂, t₂) خوهد بود و (x′₂, t′₂) و اختلافها را به صورت زیر تعریف کنیم

${\begin{array}{ll}\Delta x'=x'_{2}-x'_{1}\ ,&\Delta x=x_{2}-x_{1}\ ,\\\Delta t'=t'_{2}-t'_{1}\ ,&\Delta t=t_{2}-t_{1}\ ,\\\end{array}}$

به روابط زیر می رسیم

${\begin{array}{ll}\Delta x'=\gamma (\Delta x-v\,\Delta t)\ ,&\Delta x=\gamma (\Delta x'+v\,\Delta t')\ ,\\\Delta t'=\gamma \left(\Delta t-{\dfrac {v\,\Delta x}{c^{2}}}\right)\ ,&\Delta t=\gamma \left(\Delta t'+{\dfrac {v\,\Delta x'}{c^{2}}}\right)\ .\\\end{array}}$

تبدیلات لورنتس که توسط ریاضیدان و فیزیکدان آلمانی هندریک لورنتس با استفاده از روابط هندسی و دو فرض همسانگرد و همگن بودن فضا برای توجیه نظریهٔ اتر به دست آمد اساس نظریهٔ نسبیت خاص می‌باشد. همسانگرد بودن فضا بدین معناست که خواص آن در تمامی جهات یکسان است. همگن بودن فضا بدین معناست که خواص فضا به نقطه‌ای که شما در آن قرار دارید بستگی ندارد. فرض همسانگرد بودن فضا به ما اجازه می‌دهد که بتوانیم حرکت ذره را در راستای محور xها بررسی کنیم( یعنی از راستاهای y و z برای خلاصه سازی چشم پوشی کنیم )، فرض همگن بودن فضا تضمین می‌کند که این معادلات حتماً درجه اول هستند، یعنی تنها توان اول متغیرهای ما می‌توانند دخالت داشته باشند.( چون اگر به توان دوم یا درجات بالاتر بستگی داشته باشند اثبات می‌شود که آنگاه طول یک میله بستگی به نقطه‌ای از فضا که میله در آن قرار گرفته است دارد، یعنی مثلاً یک میله که بدون حرکت در ارتفاع 5 متری قرار دارد با هنگامی که همان میله بدون حرکت در ارتفاع 3 متری قرار دارد طول متفاوتی دارد و این خلاف شهود ماست)

نکته جالب توجه این است که این معادلات پیش از چاپ مقالهٔ آلبرت انیشتین در رابطه با الکترودینامیک دراجسام متحرک به دست آمده بود اما فرض وجود اتر و فضایی برای انتشار امواج الکترومغناطیس به قدری قوی بود که این تبدیلات به عنوان تلاشی برای اصلاح آن فرضیه عنوان شد. چند سال بعد انیشتین به گونهٔ دیگری با استفاده از دو پنداشتی که در پیش گفته شد به تبدیلات لورنتس رسید ! همانگونه که خود انیشتین نیز گفته است : " تمامی نتایج نسبیت خاص می‌توانند از تبدیلات لورنتس به دست آیند."

پیامدهای ناشی از تبدیلات لورنتس

دو اصل موضوع نسبیت خاص به همراه فرض‌های دیگری، مانند همگن و همسانگرد بودن فضا، منجر به نتایجی می‌شوند که همانند خودِ این اصل موضوع‌ها خلاف شهود و تجربه‌های روزمرهٔ ما هستند. با وجود این، این پیامدها بارها در آزمایش‌های گوناگون آزموده شده و مورد تأیید قرار گرفته‌اند. امروزه نسبیت خاص کاملاً پذیرفته شده است و جزئی از دانش عملی هر فیزیکدانی به شمار می‌آید. پیامدهای نسبیت خاص از تبدیلات لورنتس نتیجه می‌شوند. این تبدیلات و پیرو آن نظریه نسبیت خاص در مواردی که سرعتهای نسبی با سرعت نور قابل مقایسه می شوند نتایجی متفاوت با مکانیک نیوتنی تولید می کنند. سرعت نور بسیار بزرگتر از هرچیزی است که انسانها با آن سر و کار دارند از این رو آثاری که توسط نسبیت خاص پیش بینی شده اند در آغاز خلاف شهود به نظر می رسند.

نسبی بودن هم‌زمانی

رویدا A با B در چارچوب مرجع سبز همزمان است، اما در چارچوب آبی قبل و در چارچوب قرمز بعد از B روس می دهد.

دو رویداد در مکانهای مفاوت که در چارچوب مرجع یک ناظر لخت هم زمان رخ می دهند، ممکن است در چارچوب مرجع یک ناظر لخت دیگر غیر همزمان باشند.(نبود هم زمانی مطلق)اگر یک ناظر لخت دو پدیدهٔ آ و ب را هم‌زمان ببیند، ناظر لخت دیگری که با سرعت نسبت به ناظر اول حرکت می‌کند، بسته به شرایط ممکن است پدیدهٔ آ را زودتر، هم‌زمان، یا دیرتر از پدیدهٔ ب ببیند. هم‌زمانی در نسبیت خاص معنای مطلق و نیوتنی خود را از دست می‌دهد و پدیده‌ای نسبی می‌شود.

از معادله اول تبدیلات لورنتس بر حسب تغییر مختصات ها داریم

$\Delta t'=\gamma \left(\Delta t-{\frac {v\,\Delta x}{c^{2}}}\right)$

واضح است که دو رویداد که در چارچوب S هم زمان هستند (شرط Δt = 0 صادق است)، الزاما در دستگاه لخت دیگر ′S هم زمان نیستند.تنما در صورتی که این رویدادها در چارچوب S هم مکان باشند(شرط Δx = 0 صادق باشد) در در دستگاه لخت دیگر ′S نیز هم زمان خواهند بود.

انقباض طول

مقالهٔ اصلی: انقباض طول ابعاد (مانند طول) یک شیء که توسط یک ناظر اندازه گیری می شوند ممکن است از نتایج اندازه گیری یک ناظر دیگر ک.چکتر باشند.

مثلا در نظر بگیرید که میله ای در یک سیستم نامشخص S درحال سکون و در امتداد محور x قرارگرفته است. در این دستگاه طول میله اندازه گیری شده Δx است. برای اندازه گیری طول این میله در دستگاه 'S که در آن ساعت در حال حرکت است، فواصل ′x تا نقاط انتهایی میله باید همزمان اندازه گیری شوند. به عبارت دیگر ویژگی اندازه گیری این است که Δt′ = 0 که می توان آن را با معادله چهارم ترکیب کرد و رابطه بین Δx و ′Δx را به دست آورد

$\Delta x'={\frac {\Delta x}{\gamma }}$    برای رویدادهایی که     $\Delta t'=0\ .$

نیجه می شود که یک میله که در راستای طول خود در حرکت است، به چشم یک ناظر ساکن، کوتاه‌تر به نظر می‌رسد. به زبان ریاضی:

$l'=l{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$

$'l$ طول میله از دید ناظر 'S است که با سرعت $v$ نسبت به چارچوب S که میله در آن ساکن است، حرکت می‌کند. $l$ طول میله در چارچوب سکون S است.

اتّساع زمان

مقالهٔ اصلی:اتّساع زمان

بازه زمانی بین دو رویداد از یک ناظر به ناظر دیگر ثابت نیست. بلکه به سرعت نسبی چارچوبهای مرجع ناظر ها بستگی دارد.

ساعتی را در نظر بگیرید که در دستگاه غیر ویژه S در حالت سکون قراردارد. بنا بر این بین دو تیک متوالی ساعت Δx = 0 خواهد بود.برای اینکه رابطه بین زمانهای اندازه گیری شده بین تیک ها در هر دستگاه را بیابیم، می توانیم از معادله اول استفاده کنیم:

$\Delta t'=\gamma \,\Delta t$    برای رویدادهایی که     $\Delta x=0\$

این نشان می دهد که زمان ('Δt) بین دو تیک در دستگاهی که در آن ساعت حرکت می کند('S) طولانی تر از زمان (Δt) بین تیک ها که با ساعت چارچوب در حال سکون(S) اندازه گیری شده، خواهد بود. اتساع زمان شماری از پدیده های فیزیکی را توضیح می دهد. متلا می توان به کاهش نرخ میون های تولید شده توسط پرتوهای کیهانی در برخورد با جو زمین شاره کرد.

اگر ناظر S یک بازهٔ زمانی را $\tau$ اندازه بگیرد، ناظر 'S همان بازهٔ زمانی را $'\tau$ اندازه می‌گیرد:

$\tau '={\frac {\tau }{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

یعنی ناظر متحرک آن بازه را طولانی‌تر می‌بیند.

ترکیب سرعتها

افزودن سرعتها چندان ساده نیست. اگر ناظر در S جسمی را در حال حرکت در امتداد محور x با سرعت u اندازه گیری نماید، ناظری که در دستگاه ′S (چارچوب مرجعی که نسبت به S با سرعت v در امتداد محور x حرکت می کند) قرار دارد جسم را در حال حرکت با سرعت 'u اندازه گیری خواهد کرد که (با استفاده از تبدیلات لورنتس که پیشتر مطرح شد):

$u'={\frac {dx'}{dt'}}={\frac {\gamma (dx-vdt)}{\gamma (dt-vdx/c^{2})}}={\frac {(dx/dt)-v}{1-(v/c^{2})(dx/dt)}}={\frac {u-v}{1-uv/c^{2}}}\ .$

چارچوب دیگر یعنی S اینجنین اندازه گیری خواهد کرد:

$u={\frac {dx}{dt}}={\frac {\gamma (dx'+vdt')}{\gamma (dt'+vdx'/c^{2})}}={\frac {(dx'/dt')+v}{1+(v/c^{2})(dx'/dt')}}={\frac {u'+v}{1+u'v/c^{2}}}\ .$

در نظر داشته باشید که اگر اجسام در چارچوب S در حال حرکت با سرعت نور بودند(u = c)در چارچوب دیگر 'S نیز با سرعت نور حرکت می کردند. همچنین اگر هر دو سرعت u و v نسبت به سرعت نور کوچک باشند به تبدیل شهودی تر گالیله ای برای سرعتها برمی گردیم.

$u'\approx u-v\ .$

مثالی که معمولا در این مورد زده می شود مثال قطاری است (چارچوب S در بالا) که با سرعت v نسبت به ریلها(چارچوب S′) حرکت می کند. کودکی درون قطار توپ بیسبالی را به سمت شرق با سرعت u نسبت به قطار پرتاب می کند. در فیزیک کلاسیک ناظری که در حال سکون روی ریلها قرار دارد سرعت توپ بیسبال را

u = u′ + v

اندازه گیری خواهد نمود. در حالیکه در نسبیت خاص این درست نیست بلکه سرعت توپ بیسبال از معادله دوم به دست می آید:

u = (u′ + v)/(1 + u′v/c²) .

سایر پیامد ها

چرخش توماس

جهت گیری یک جسم (یعنی امتداد محورهایش نسبت به محورهای ناظر) برای ناظرین مختلف ممکن است متفاوت باشد. بر خلاف سایر آثار نسبیتی این پدیده در سرعتهای نسبتا پایین هم مشخص می شود همان طور که در چرخش ذرات متحرک مشاهده می شود.

هم‌ارزی جرم و انرژی

مقالهٔ اصلی: هم‌ارزی جرم و انرژی چنانچه سرعت یک جسم از دید یک به سرعت نور نزدیک گردد، جرم نسبیتی آن افزایش می یابد و از درون چارچوب مرجع ناظر، ستاب گرفتن جسم هر لحظه دشوارتر و دشوارتر به نظر خواهد رسید.

محتوای انرژی جسمی در حال سکون با جرم m برابر با mc² است.پایستگی انرژی ایجاب می نماید که در هر واکنشی کاهش در مجموع جرم ذرات باید با افزایش در انرژی جنبشی ذرات پس از واکنش همراه باشد. و متشابها با کاهش انرژی جنبشی، جرم ذرات افزایش می یابد.

افزون بر مقالاتی که در بالا به آنها ارجاع داده شد، انیشتین حداقل چهار مقاله دیگر هم در مورد مباحث اکتشافی در مورد هم ارزی جرم و انرژی با رابطه E = mc² منتشر نمود.

هم ارزی جرم و انرژی از نتایج نسبیت خاص است. انرژی و تکانه که در مکانیک نیوتنی مجزا هستند، در نسبیت یک چهار-بردار تشکیل می دهند و بدین ترتیب مولفه زمان (انرژی) و مولفه مکان (تکانه) رابطه ای غیر بدیهی با یکدیگر خواهند داشت. برای شیئی که در حال سکون است، جهار-بردار انرژی-تکانه عبارت است از (E, 0, 0, 0) : یک مولفه زمان دارد که انرژی است و سه مولفه مکان که صفر هستندبا تغییر چارچوب از طریق تبدیل لورنتز در جهت x با سرعت کوچک v چهار-بردار انرژی-تکانه برابر (E, Ev/c², 0, 0) می گردد. تکانه برابر است با انرژی ضربدر سرعت تقسیم بر c². به این ترتیب جرم نیوتنی یک جسم که نسبت تکانه به سرعت است برابر با E/c² خواهد بود.

تکانه و انرژی از ویزگیهای ماده و تابش هستند و غیر ممکن است که بتوانیم تنها با استفاده از دو اصل نسبیت خاص بتوانیم نتیجه بگیریم که این دو تشکیل یک چهار-بردار می دهند. زیرا این اصول در مورد ماده و تابش حرفی نمی زنند و تنها از زمان و فضا سخن می گویند. بنابراین برای رسیدن به این نتیجه به استدلال فیزیکی بیشتری نیازمندیم.در مقاله سال ۱۹۰۵ خود انیشتین از اصول اضافه ای استفاده کرد که در مکانیک نیوتنی هم برای سرعتهای پایین صادق هستند، مثل اینکه در سرعتهای پایین تنها یک کمیت نرده ای انرژی و سه بردار تکانه وجود دارند و قانون پایستگی انرژی و تکانه دقیقا در نسبیت صادق است. علاوه بر این او فرض نمود که انرژی نور نیز مانند بسامدش با همان فاکتور انتقال دوپلر تغییر می کند که قبلا درستی آن را با استفاده از معادلات ماکسول نشان داده بود. نخستین مقاله انیشتین در این موضوع، مقاله "آیا لختی یک جسم به محتوای انرژی اش وابسته است؟" بود که در سال ۱۹۰۵ منتشرگردید. گرچه بحث های انیشتین در این مقاله تقریبا مورد پذیرش همگانی فیزیکدانان قرار گرفته است، اما نویسندگان بسیاری نیز در طول سال ها پیشنهاد داده اند که ممکن است این بحث ها نادرست باشند. سایر نویسندگان نیز براین باورند که چون این بحثها بر پایه فرضهای ضمنی بنا شده اند، بی نتیجه اند.

انیشتین وجود اختلاف نظر در مورد نتیجه گیریهایش را در مقاله ای در مورد نسبیت خاص در سال ۱۹۰۷ پذیرفته بود. در این مقاله او عنوان می کند که تکیه بر معادلات ماکسول برای بحث اکتشافی جرم انرژی مشکل زاست. بحث او در مقاله سال ۱۹۰۵ می تواند در مورد تابش هر ذره بدون جرمی برقرار باشد اما معادلات ماکسول به طور ضمنی مورد استفاده قرار گرفته اند تا مشخص شود که تابش نور می تواند تنها با انجام کار صورت گیرد. برای تابش امواج الکترومغناطیس تنها چیزی که باید انجام شود تکان دادن یک ذره بار دار است و این همان انجام کار است و در نتیجه تابش ناشی از انرژی است.

یک انسان تا چه اندازه می تواند از زمین دور گردد؟

از آنجا که هیچکس نمی تواند سریعتر از نور حرکت کند، ممکن است این گونه نتیجه گیری کنیم که اگر عمر مفید انسان را بین ۲۰ تا ۶۰ سال در نظر بگیریم، یک انسان نمی تواند بیشتر از ۴۰ سال نوری از زمین دور شود. اما این نتیجه گیری اشتباه است. به دلیل اتساع زمان یک سفینه خیالی می تواند در طول عمر مفید خلبان آن هزاران سال نوری را بپیماید. اگر سفینه طوری ساخته شود که با شتاب ثابت 1g حرکت کند، در کمتر از یک سال سرعت آن برای ناظر زمینی تقریبا به سرعت نور می رسد. اتساع زمان عمر فرد را از دید ناظر زمینی افزایش می دهد اما ساعتی که با خلبان سفر می کند چنین تغییری نخواهد داشت. مردم روی زمین زمان بیشتری را نسبت به وی تجربه خواهند کرد یک سفر ۵ ساله وی ½6 سال در زمین به طول می انجامد و مسافتی برابر 6 سال نوری را طی خواهد کرد. یک سفر ۲۰ ساله برای وی (۵ سال شتاب گرفتن و ۵ سال کاهش سرعت، هرکدام دوبار) 355 سال زمینی به طول می انجامد و در این مدت مسافت ۳۳۱ سال نوری را طی خواهد نمود. یک سفر ۴۰ ساله کامل با شتاب g در روی زمین ۵۸۰۰۰ سال به طول می انجامد و ۵۵۰۰۰ سال نوری را پوشش می دهد. یک سفر ۴۰ ساله با شتاب 1.1g ، ۱۴۸۰۰۰ سال زمینی به طول میانجامد و مسافتی برابر ۱۴۰۰۰۰ سال نوری را پوشش خواهد داد. دلیل اینکه میونی که نزدیک به سرعت نور حرکت می کند مسافتی بیشتر از c ضربدر نیمه‌عمر آن طی می کند نیز همین پدیده اتساع زمان است.

علیت و ممنوعیت حرکت سریعتر از نور

مخروط نور

در نمودار شکل مخروط نور، بازه AB یک 'زمان واره' است؛ یعنی چارچوب مرجعی وجود دارد که در آن A و B در یک نقطه مکانی از فضا رخ می دهند و تنها از طریق رخ دادن در زمانهای مختلف از هم جدا می گردند. اگر در آن چارچوب A پیش از B رخ دهد در تمام چارچوب ها A پیش از B رخ خواهد داد.به صورت فرضی، ماده( یا اطلاعات) می تواند از A به B حرکت کند پس می تواند رابطه علیتی بین A و B وجود داشته باشد.(A علت و B معلول)

بازه AC در همان شکل یک 'فضاواره' است؛ یعنی چارچوب مرجعی وجود دارد که در آن A و C در یک زمان رخ می دهندو تنها از نظر مکان از هم جدا هستند. در برخی چارچوب ها A پیش از C رخ می دهد و در برخی A پس از C رخ می دهد. اگر امکان این بود که رابطه علیتی بین A و C بوجود آید، با پارادوکس های علیت برخورد می کردیم. مثلا اگر A علت باشد و C معلول، چارچوبهای مرجعی وجود خواهند داشت که در آنها معلول از علت از نظر زمانی پیشی می گیرد. اگر چه این به خودی خود پارادوکسی را پدید نمی آورد، اما می توان نشان داد که سیگنالهایی که سریعتر از نور فرستاده شوند می توانند به گذشته فرد برگردند. اگر فرد سیگنال را تنها در صورتی بفرستد که هیچ سیگنالی در گذشته دریافت نکرده باشد به یک پارادوکس علیتی می رسیم.

بنابراین برای حفظ علیت، یکی از پیامدهای نسبیت خاص این است که هیچ سیگنال اطلاعاتی و یا جسم مادی نمی تواند سریعتر از سرعت نور در خلاء حرکت کند.با این حال برخی "چیزها" می توانند سریعتر از نور حرکت کنند. مثلا مکانی که پرتو یک نورافکن به پایین ابرها برخورد می کند وقتی که نورافکن سریع می گردد می تواند سریعتر از نور حرکت کند.

حتی بدون در نظر گرفتن علیت هم دلایل دیگری نیز برای اینکه چرا در نسبیت خاص سرعتهای بیشتر از نور ممنوع است وجود دارد. مثلا اگر نیروی ثابتی برای مدت نامحدودی به جسمی وارد شود، اگر از F = dp/dt انتگرال بگیریم، تکانه ای به دست می آوریم که بدون مرز رشد می کند. دلیل این امر این است که وقتی $\,v$ به c میل می کند، $p=m\gamma v\,$ به بی نهایت میل خواهد کرد. از دید ناظری که در حرکت شتابدار نیست، به نظر خوهد رسید که لختی جسم در حال افزایش است و از این رو همان نیرو شتاب کمتری ایجاد می نماید. این رفتار در شتاب دهنده های ذرات مشاهده شده است.

گونتر نیمتز و پتریسا اکل در مطالعات تجربی و نظری در مورد تونل‌زنی کوانتومی ادعا نمودند که سیگنالها ممکن است تحت شرایط خاصی سریعتر از نور حرکت کنند. مشاهده شد که سیگنالهای دیجیتال فیبری با سرعتی در حدود پنج برابر سرعت نور و یک الکترون در تونلی با زمان صفر اطلاعات یونیزه شدن را منتقل نمود به گونه ای که فوتون ها، فونون ها و الکترون ها زمان صفر را در مانع تونل زنی گذراندند.بنا بر نیمتز و اکل، این فرایند تنها علیت انیشتین و نسبیت خاص را نقض می کند و علیت پایه ای را نقض نمی کند: انتشار با سرعت بیشتر از نور باعث سفر در زمان نمی شود. ادعای نیمتز توسط بسیاری از دانشمندان رد یا مورد بحث قرارگرفته است.

هندسه فضازمان

مقایسه بین فضای تخت اقلیدسی و فضای مینکوفسکی

مقایسه تعامد و چرخش در دستگاههای مختصات بین چپ: فضای اقلیدسی از طریق زاویه چرخشی φ, راست: in فضازمان مینکوفسکی از طریق زاویه هایپربولیک φ (خطوط قرمز با برچسب c خطوط جهانی سیگنال نور را مشخص می کنند، یک بردار بر خودش عمود است اگر روی این خطوط قرار گیرد).

نسبیت خاص از یک فضای مینکوفسکی تخت چهاربعدی - مثالی از یک فضازمان - استفاده می کند. فضای مینکوفسکی بسیار به فضای اقلیدسی سه بعدی استاندارد شبیه است اما در مورد زمان یک تفاوت اساسی با آن دارد.

در فضای سه بعدی دیفرانسیل فاصله (عنصرخط) ds در رابطه زیر تعریف می شود

$ds^{2}=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} =dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2},$

که در آن dx = (dx₁, dx₂, dx₃) دیفرانسیل های سه بعد فضایی هستند. در هندسه مینکوفسکی یک بعد اضافه با مختصات x⁰ دارد که از زمان ناشی می شود، به گونه ای که دیفرانسیل فاصله در رابطه زیر صدق کند

$ds^{2}=-dx_{0}^{2}+dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2},$

که در آن dx = (dx₀, dx₁, dx₂, dx₃) دیفرانسیل های چهار بعد فضازمان هستند. این موضوع بینش نظری عمیقی در بر دارد : نسبیت خاص به سادگی یک تقارن چرخشی از فضازمان ماست که قابل مقایسه با تقارن چرخشی در فضای اقلیدسی است. همانطور که فضای اقلیدسی از متریک اقلیدسی استفاده می کند، فضازمان نیز از یک متریک مینکوفسکی استفاده می کند.اساساَ می توان نسبیت خاص را ناوردایی هر بازه فضازمان (که در واقع فاصله چهاربعدی بین دو رویداد در فضازمان است) از دید ناظری در هر چارچوب مرجع لخت دلخواه تعریف کرد. تمام معادلات و تاثیرات نسبیت خاص را می توان از تقارن چرخشی (گروه پوانکاره) فضازمان مینکوفسکی نتیجه گرفت.

شکل واقعی ds به متریک و مختصات x⁰ انتخاب شده بستگی دارد.برای اینکه مختصات را شبیه مختصات فضا بکنیم می توان آن را به عنوان یک عدد موهومی در نظر گرفت : x₀ = ict . میستر، تورن و ویلر در کتاب "گرانش" (۱۹۷۱, §۲.۳) خود چنین می نویسند که سرانجام درک ژرف تری از هر دو نظریه نسبیت عام و خاص از طریق متریک مینکوفسکی وبا در نظرگرفتن x⁰ = ct به جای یک متریک اقلیدسی نقاب زده با مقدار ict به عنوان مختصات زمان، حاصل خواهد شد.

فضازمان سه بعدی

Three dimensional dual-cone.

کره فضایی پوچ.

اگر یکی از ابعاد فضایی را کاهش دهیم تا بتوانیم فیزیک را فضای سه بعدی نمایش دهیم

$ds^{2}=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}-c^{2}dt^{2},$

خواهیم دید که ژئودزیک های پوچ در امتداد یک مخروط دو تایی (در شکل سمت راست) به معادله زیر قرارمی گیرند

$ds^{2}=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}-c^{2}dt^{2},$

ویا به سادگی

$dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}=c^{2}dt^{2},$

که معادله یک دایره به شعاع c dt است.

فضازمان چهار بعدی

اگر آن را به سه بعد فضایی افزایش دهیم، ژئودزیک های پوچ مخروط های چهاربعدی هستند.

$ds^{2}=0=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}-c^{2}dt^{2}$

بنابراین

$dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}=c^{2}dt^{2}.$

این مخروط دوتایی پوچ "خط دید" را در نقطه ای از فضا مشخص می کند، به این معنی که وقتی به ستارگان نگاه میکنیم و می گوییم "نوری که از ستاره به من ی رسد X سال عمر دارد"، در واقع ما در امتداد این خط دید را نگاه می کنیم:یک ژئودزیک پوچ. ما به رویدادی در فاصله $d={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}}$ و در یک زمان d/c در گذشته می نگریم. به همین دلیل مخروط دوتایی پوچ "مخروط نور" نیز نامیده می شود.

مخروط در ناحیه t− اطلاعاتی است که نقطه دریافت می کند و مخروط ناحیه t+ اطلاعاتی است که نقطه می فرستد.

فضای مینکوفسکی را می توان با استفاده از نمودارهای مینکوفسکی نمایش داد که در فهمیدن بسیاری از آزمایشهای فکری در نسبیت خاص نیز کارساز هستند.

فیزیک در فضازمان

معادلات نسبیت خاص را می توان به شکل هم وردای آشکار(به انگلیسی: Manifestly Covariant) نوشت (که در آن همه عبارتها تانسور هستند). موقعیت یک رویداد در فضازمان را توسط یک چهار-بردار پادوَردا (به انگلیسی: Contravariant four vectr) با مولفه های

$x^{\nu }=(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,x,y,z).$

نمایش می دهند. ما x⁰ = ct را تعریف می کنیم تا مختصات زمانهمان بعد فاصله ای را داشته باشد که سایر ابعاد فضایی دارند تا بدین وسیله برخورد یکسانی با فضا و زمان داشته باشیم. بالانویس ها در این بخش نمایشگر اندیس های پادوردا ها هستند و نه توان؛ مگر در مواردی که مربع یک عبارت را مشخص می نمایند. زیرنویس ها نمایشگر اندیس های هموردا ها هستند که مقادیری از ۰ تا ۳ می گیرند، مانند چهار-گرادیان میدان نرده ای φ:

$\partial _{\mu }\phi =(\partial _{0},\partial _{1},\partial _{2},\partial _{3})\phi =\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}},{\frac {\partial \phi }{\partial x}},{\frac {\partial \phi }{\partial y}},{\frac {\partial \phi }{\partial z}}\right).$

تبدیلات کمیتهای فیزیکی بین چارچوب های مرجع

تبدیلات مختصات بین چارچوبهای مرجع لخت توسط تانسور تبدیلات لورنتس Λ به دست می آید. برای مورد خاص حرکت در امتداد محور x:

$\Lambda ^{\mu '}{}_{\nu }={\begin{pmatrix}\gamma &-\beta \gamma &0&0\\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$

که به سادگی ماتریس یک بالابردن(مانند چرخش)بین مختصات های x و ct است که در آن 'μ ردیف و ν ستون را نشان می دهند و

$\beta ={\frac {v}{c}},\ \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}.$

تبدیل یک چهار-بردار از یک چارچوب لخت به دیگری (برای سادگی انتقال ها را نادیده می گیریم) با تبدیلات لورنتس به دست می آید:

$T^{\mu '}=\Lambda ^{\mu '}{}_{\nu }T^{\nu }$

در جاییکه یک جمع زدن ضمنی 'μ و 'ν از ۰ تا ۳ نیز موجود باشد. تبدیل معکس به صورت زیر خواهد بود:

$\Lambda _{\mu '}{}^{\nu }T^{\mu '}=T^{\nu }$

که در آن $\Lambda _{\mu '}{}^{\nu }$ ماتریس دوجانبه $\Lambda ^{\mu '}{}_{\nu }$ است.

در ورد تبدیلات لورنتس بالا در راستای x :

${\begin{pmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}=x^{\mu '}=\Lambda ^{\mu '}{}_{\nu }x^{\nu }={\begin{pmatrix}\gamma &-\beta \gamma &0&0\\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct\\x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma ct-\gamma \beta x\\\gamma x-\beta \gamma ct\\y\\z\end{pmatrix}}.$

به صورت عمومی تر بیشتر کمیتهای فیزیکی به بهترین شکل توسط (مولفه های) تانسور ها توصیف می شوند. بنابراین برای تبدیل از یک چارچوب به دیگری از قانون مشهور تبدیل تانسور استفاده می کنیم.

$T_{\theta '\iota '\cdots \kappa '}^{\alpha '\beta '\cdots \zeta '}=\Lambda ^{\alpha '}{}_{\mu }\Lambda ^{\beta '}{}_{\nu }\cdots \Lambda ^{\zeta '}{}_{\rho }\Lambda _{\theta '}{}^{\sigma }\Lambda _{\iota '}{}^{\upsilon }\cdots \Lambda _{\kappa '}{}^{\phi }T_{\sigma \upsilon \cdots \phi }^{\mu \nu \cdots \rho }$

که $\Lambda _{\chi '}{}^{\psi }\,$ ماتریس معکوس $\Lambda ^{\chi '}{}_{\psi }$ است. تمام تانسورها با همین قانون تبدیل می شوند.

متریک

آز آنجا که فضازمان ماهیتی چهاربعدی دارد، متریک مینکوفسکی از مولفه هایی دارد که می توان آن ها را در یک ماتریس 4 × 4 نمایش داد.

$\eta _{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$

که با معکوس خود برابر است، $\eta ^{\alpha \beta }$

گروه پوانکاره کلی ترین گروه تبدیلات است که متریک مینکوفسکی را حفظ می کند.

$\eta _{\alpha \beta }=\eta _{\mu '\nu '}\Lambda ^{\mu '}{}_{\alpha }\Lambda ^{\nu '}{}_{\beta }\!$

واین تقارن فیزیکی سنگ بنای نسبیت خاص است.

ناوردایی

مجذور طول دیفرانسیل چهار-بردار موقعیت $dx^{\mu }\!$ که به صورت زیر به دست می آید،

$d\mathbf {x} ^{2}=\eta _{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }=-(c\cdot dt)^{2}+(dx)^{2}+(dy)^{2}+(dz)^{2}\,$

یک ناوردا است. ناوردا بودن به این معناست که مقدار آن در تمام چارچوب ها یکسان است، زیرا یک کمیت نرده ای (تانسور با مرتبه صفر) است و از این رو در تبدیلات بدیهی اش عبارت Λ ظاهر نمی شود. توجه کنید که هرگاه عنصر خط، dx² ، منفی باشد،

$d\tau ={\sqrt {-d\mathbf {x} ^{2}}}/c$

دیفرانسیل زمان ویژه است و اگر dx² مثبت باشد، √(dx²) دیفرانسیل فاصله ویژه خواهد بود.

سرعت و شتاب در فضای چهاربعدی

در نظر گرفتن کمیتهای فیزیکی به عنوان تانسور قوانین تبدیلشان را نیز ساده تر می سازد. چهار-سرعت U^μ به گونه زیر به دست می آید

$U^{\mu }={\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}={\begin{pmatrix}\gamma c\\\gamma v_{x}\\\gamma v_{y}\\\gamma v_{z}\end{pmatrix}}.$

با در دست داشتن این رابطه می توان قانون پیچیده ترکیب سرعتها را به رابطه ساده ای برای تبدیل چهار-بردار سرعت یک ذره از یک چارچوب به چارچوب دیگر تبدیل نمود. U^μ یک شکل ناوردا نیز دارد:

${\mathbf {U} }^{2}=\eta _{\nu \mu }U^{\nu }U^{\mu }=-c^{2}.$

بنابراین تمام چهاربردارهای سرعت اندازه ای برابر c دارند. این به گونه ای بیانگر این واقعیت است که در نسبیت، مختصات در حال سکون وجود ندارد: حداقل شما همیشه در حال حرکت در زمان هستید. چهار-شتاب نیز از رابطه

$A^{\mu }=d{\mathbf {U} ^{\mu }}/d\tau \ .$ محاسبه می شود.

اگر از این معدله بوسیله τ، دیفرانسیل بگیریم معادله زیر حاصل می شود

$2\eta _{\mu \nu }A^{\mu }U^{\nu }=0.\!$

بنابراین در نسبیت چهار-بردار های سرعت و شتاب بر هم عمودند.

تکانه در فضای چهاربعدی

تکانه و انرژی در یک چهار-بردار هم وردا با هم ترکیب می شوند

$p_{\nu }=m\,\,\eta _{\nu \mu }U^{\mu }={\begin{pmatrix}-E/c\\p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\end{pmatrix}}.$

که در آن m جرم ناوردا است.

اندازه ناوردای چهار-بردار تکانه رابطه انرژی-تکانه را نتیجه می دهد:

$\mathbf {p} ^{2}=\eta ^{\mu \nu }p_{\mu }p_{\nu }=-(E/c)^{2}+p^{2}.$

این ناوردا یک کمیت نرده ای است پس اهمیتی ندارد که در کدام چارچوب محاسبه می شود پس می توانیم آن را به چارچوبی تبدیل کنیم که در آن تکانه کل برابر صفر است.

$\mathbf {p} ^{2}=-(E_{\mathrm {rest} }/c)^{2}=-(m\cdot c)^{2}.$

می بینیم که انرژی سکون یک ناوردای مستقل است. انرژی سکون را می توان حتی برای ذرات و دستگاههای در حال حرکت نیز با انتقال آنها به چارچوبی که در آن تکانه صفر است، محاسبه کرد.

انرژی سکون طبق رابطه بنامی که قبلا به آن اشاره شد، با جرم مرتبط است:

$E_{\mathrm {rest} }=mc^{2}.\,$

توجه کنید که جرم سامانه هایی که در مرکز چارچوب تکانه شان (که در آن تکانه صفر است) اندازه گیری می شوند برابر با انرژی کل سامانه در این چارچوب است. این مقدار ممکن است با مجموع جرم هریک از سیستمها که در چارچوبهای دیگر اندازه گیری شده اند برابر نباشد.

نیرو در فضای جهاربعدی

قانون دوم حرکت نیوتن بیان می کند که کل نیروی وارد بریک ذره با نرخ تغییر تکانه اش برابر است. همین شکل از قانون دوم نیوتن در مکانیک نسبیتی نیز صادق است. سه-نیرو ی نسبیتی از رابطه زیر به دست می آید

$\mathbf {f} =d\mathbf {p} /dt$

اگر از جرم نسبیتی استفاده شود:

${\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d(m\mathbf {u} )}{dt}}$

با استفاده از قانون لایب نیتز $d(xy)=xdy+ydx$:

$\mathbf {f} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=m{\frac {d\mathbf {u} }{dt}}+\mathbf {u} {\frac {dm}{dt}}$

اگر ذره با سرعت c حرکت نکند، می توان نیروی سه بعدی از چارچوب مرجع هم حرکت ذره به چارچوب مرجع ناظر تبدیل نمود. در نتیجه چهار-برداری خواهیم داشت که چهار-نیرو نامیده می شود و برابر است با نرخ تغییر چهار-بردار انرژی تکانه نسبت به زمان ویژه. شکل هم وردای چهارنیرو به صورت زیر است:

$F_{\nu }={\frac {dp_{\nu }}{d\tau }}={\begin{pmatrix}-{d(E/c)}/{d\tau }\\{dp_{x}}/{d\tau }\\{dp_{y}}/{d\tau }\\{dp_{z}}/{d\tau }\end{pmatrix}},$

که در آن τ زمان ویژه است.

درچارچوب سکون جسم، مولفه زمان چهار-نیرو برابر صفر خواهد بود مگرآنکه "جرم ناوردای " جسم در حال تغییر باشد. که در آن صورت برابر با منفی نرخ تغییرجرم ضربدر c خواهد بود. به طور کلی مولفه های چهار-نیرو با مولفه های سه-نیرو برابر نیستند زیرا سه نیرو به صورت نرخ تغییر تکانه نسبت به مختصات زمان تعریف می شود(dp/dt )، در حالیکه چهار-نیرو را نرخ تغییر تکانه نسبت به زمان ویژه تعریف می کنیم(dp/dτ)

برخی از کاربردهای نسبیت خاص

• انرژی اتمی، چه نوع انفجاری‌اش (در بمب اتمی) و چه نوع کنترل‌شده‌اش (در نیروگاه هسته‌ای) از رابطهٔ معروف $E=mc^{2}$ پیروی می‌کند.
• جهش گونه‌های زیستی: یکی از منشاءهای احتمالی برای جهش‌های ژنتیکی، پرتوهای کیهانی است. جزء اصلی پرتوهای کیهانی که به سطح دریا می‌رسند، ذره‌ای به نام میوئون است. این ذره در لایه‌های بالایی جو از برخورد اتمها با پروتونهای پرتوهای کیهانی ساخته می‌شود و بسیار ناپایدار است. میوئون‌ها سرعت بسیار زیادی دارند و اگر به خاطر اتساع زمان نسبیتی، طول عمرشان زیاد نمی‌شد، این ذره‌ها خیلی پیش از آن که به سطح دریا برسند، نابود می‌شدند.
• سامانه موقعیت‌یاب جهانی (جی‌پی‌اس) متشکل از ماهواره‌هایی است که در مدار زمین قرار دارند. گیرنده‌های ویژه‌ای موسوم به گیرنده‌های جی‌پی‌اس به کمک این ماهواره‌ها می‌توانند طول و عرض جغرافیایی و زمان را با دقت زیادی اندازه بگیرند. در طراحی این ماهواره‌ها و گیرنده‌ها، اثرات نسبیت خاص (و نیز اثرات نسبیت عام) به دقت در نظر گرفته شده‌اند و بدون آن‌ها این سیستم کاملاً بی‌فایده می‌شد.

جستارهای وابسته

• تبدیلات لورنتس
• برابری جرم و انرژی
• فضای مینکوفسکی
• نسبیت عام
• پارادوکس های دوقلو
• پارادوکس نردبان

منابع

کتاب ها

• Einstein, Albert (1920). Relativity: The Special and General Theory.
• Einstein, Albert (1996). The Meaning of Relativity. Fine Communications. ISBN 1-56731-136-9
• Freund, Jürgen (2008) Special Relativity for Beginners - A Textbook for Undergraduates World Scientific. ISBN 981-277-160-3
• Logunov, Anatoly A. (2005) Henri Poincaré and the Relativity Theory (transl. from Russian by G. Pontocorvo and V. O. Soleviev, edited by V. A. Petrov) Nauka, Moscow.
• چارلز مینسر، کیپ تورن، و جان ویلر (۱۹۷۱) Gravitation. W. H. Freeman & Co. ISBN 0-7167-0334-3
• Post, E.J., 1997 (1962) Formal Structure of Electromagnetics: General Covariance and Electromagnetics. Dover Publications.
• Wolfgang Rindler (1991). Introduction to Special Relativity (2nd ed.), Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853952-0; ISBN 0-19-853952-5
• Harvey R. Brown (2005). Physical relativity: space-time structure from a dynamical perspective, Oxford University Press, ISBN 0-19-927583-1; ISBN 978-0-19-927583-0
• Qadir, Asghar (1989). Relativity: An Introduction to the Special Theory. Singapore: World Scientific Publications. p. 128. ISBN 9971-5-0612-2. {{cite book}}: Cite has empty unknown parameter: |coauthors= (help)
• Silberstein, Ludwik (1914) The Theory of Relativity.
• Lawrence Sklar (1977). Space, Time and Spacetime. University of California Press. ISBN 0-520-03174-1.
• Lawrence Sklar (1992). Philosophy of Physics. Westview Press. ISBN 0-8133-0625-6.
• Richard A. Mould, Basic Relativity, Springer, 1994, ISBN 0-387-94188-6
• Taylor, Edwin, and John Archibald Wheeler (1992) Spacetime Physics (2nd ed.). W.H. Freeman & Co. ISBN 0-7167-2327-1
• Tipler, Paul, and Llewellyn, Ralph (2002). Modern Physics (4th ed.). W. H. Freeman & Co. ISBN 0-7167-4345-0

• کلیفورد ام. ویل، آیا اینشتین درست می‌گفت؟: آزمون نسبیت عام، ترجمهٔ احمد شریعتی، انشارات وزارت فرهنگ و ارشاد اسلامی، ۱۳۸۳.
• دانیل کلپنر و رابرت کلنکو، آشنایی با مکانیک، ترجمهٔ هوشنگ سپهری، محمد علی مقیمی، ولی الله ناصری، چاپ چهارم، مرکز نشر دانشگاهی، ۱۳۸۴.

مقالات ژورنال

• Alvager; Farley, F. J. M.; Kjellman, J.; Wallin, L.; et al. (1964). "Test of the Second Postulate of Special Relativity in the GeV region". Physics Letters. 12 (3): 260. Bibcode:1964PhL....12..260A. doi:10.1016/0031-9163(64)91095-9. {{cite journal}}: Explicit use of et al. in: |first1= (help)
• Darrigol, Olivier (2004). "The Mystery of the Poincaré-Einstein Connection". Isis. 95 (4): 614–26. doi:10.1086/430652. PMID 16011297.
• Wolf, Peter; Petit, Gerard (1997). "Satellite test of Special Relativity using the Global Positioning System". Physical Review A. 56 (6): 4405–09. Bibcode:1997PhRvA..56.4405W. doi:10.1103/PhysRevA.56.4405.

پیوند به بیرون

آثار اصلی

• Zur Elektrodynamik bewegter Körper مقاله اصلی انیشتین به زبان آلمانی، سالنامه فیزیک, برن ۱۹۰۵
• On the Electrodynamics of Moving Bodies ترجمه انگلیسی مطابق آنچه در سال ۱۹۲۳ در کتاب The Principle of Relativity به چاپ رسید.

کلاس درس و جزوه های دانشگاهی

• دوره فیزیک مدرن: نسبیت خاص (دانشگاه استانفورد) مجوعه کلاسهای درسی پروفسور لئونارد ساسکیند متشکل از هشت جلسه کلاس در مورد نسبیت خاص
• جزوه های کلاس نسبیت خاص پروفسور ساسکیند
• جزوه های نسبیت خاص مقدمه ای استاندارد برای نسبیت خاص شامل تصاویر و توضیحات و نمودارهای فضازمان از دانشگاه پلی تکنیک ویرجینیا.
• جزوه های نسبیت خاص توسط جی دی کرسر از دانشگاه مک کوایری استرالیا.

نسبیت خاص برای مخاطبین عام (بدون نیاز به دانستن دانش ریاضی)

• Wikibooks: Special Relativity
• Einstein Light [۲]، مقدمه ای غیر تخصصی (فیلم و نمایش هایی که با بسیاری از صفحات حاوی توضیحات مفصل تر برای سطوح مختلف بدو ن استفاده از ریاضیات و با استفاده از آن همراه شده ) .
• Einstein Online مقدمه ای بر نظریه نسبیت، از انستیتوی فیزیک گرانشی ماکس پلانک
• شنیداری: Cain/Gay (2006) - Astronomy Cast. نظریه نسبیت خاص انیشتین

توضیح نظریه نسبیت خاص (با کمک ریاضیات ساده و پیشرفته)

• مفاهیم بنیادی نوشته گرگ ایگان.
• یادداشت های هاگ در نسبیت خاص مقدمه ای خوب بر نسبیت عام در سطح کارشناسی با استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال.
• ماشین حساب نسبیت : نسبیت خاص - نتیجه گیری E = mc² با استفاده از حساب انتگرال و جبر.
• Motion Mountain, Volume II - مقدمه ای پیشرفته بر نسبیت خاص همراه با تاثیرات دیداری آن.
• MathPages - بازتابهایی از نسبیت یک کتاب آنلاین کامل در مورد نسبیت با منبع شناسی بسیار گسترده .
• Relativity مقدمه بر نسبیت خاص در سطح کارشناسی بدون استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال.
• کتاب الکترونیکی رایگان Relativity: the Special and General Theory در پروژهٔ گوتنبرگ، از آلبرت انیشتین
• فهمیدن نسبیت خاص نظریه نسبیت خاص به صورتی که به آسانی فهمیده می شود.
• An Introduction to the Special Theory of Relativity (1964) نوشته Robert Katz، "مقدمه ای که برای دانشجویانی که آشنایی مقدماتی با فیزیک و حساب دیفرانسیل دارند سودمند خواهد بود" (130 pp; pdf format).

تصویر سازی

• نورپردازی نسبیت خاص نرم افزاری که سناریو های مختلفی را تخت تاثیر نسبیت خاص تصویر سازی می کند.
• نسبیت بی درنگ دانشگاه ملی استرالیا. ویزگیهای دیداری تجربه شده توسط نسبیت خاص.
• سفر در فضازمان مجموعه ای متنوع از تصویر سازیهای پدیده های نسبیتی از حرکت نسبیتی به سوی سیاهچاله.
• از دید انیشتین دانشگاه ملی استرالیا. توضیح آثار دیداری نسبیتی با فیلم و عکس.
• Warp Special Relativity Simulator برنامه ای رایانه ای برای نمایش آثار نزدیک شدن به سرعت نور.
• کلیپ های انیمیشن تصویر سازی تبدیلات لورنتس.
• انیمیشن های فلش تعاملی به تصویر کشیدن چارچوبهای لورنتسی و گالیله ای, پارادوکس قطار و تونل, پارادوکس دوقلوها, انتشار موج, همزمانی ساعتهاو غیره.
• نورشناسی نسبیتی در دانشگاه ملی استرالیا
• [۳] برنامه ای بر پایه openGL که آثار نسبیت خاص را در ظاهر اجسام متحرک نشان می دهد.