نماد لوی-چیویتا

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

نماد لوی-چیویتا (به انگلیسی: Levi-Civita symbol) یک شبه تانسور همسانگرد است که برای ساده سازی در محاسبات تانسوری بسیار مفید است. نامیده شده به نام ریاضیدان ایتالیایی تولیو لوی-چیویتا (Tullio Levi-Civita).

نمایش نماد لوی-چیویتا در سه بعد

تعریف[ویرایش]

نماد لوی-چیویتا در سه بعد به صورت زیر تعریف می‌شود:

 \varepsilon_{ijk} = 
\begin{cases}
+1 & \mbox{if } (i,j,k) \mbox{ is } (1,2,3), (3,1,2) \mbox{ or } (2,3,1), \\
-1 & \mbox{if } (i,j,k) \mbox{ is } (3,2,1), (1,3,2) \mbox{ or } (2,1,3), \\
0 & \mbox{otherwise: }i=j \mbox{ or } j=k \mbox{ or } k=i,
\end{cases}

همچنین این نماد را می‌توان از رابطه زیر بدست آورد:


  \varepsilon_{ijk} = -[(i-j)^2%3][(i-k)^2%3][(j-k)^2%3][(j-(i%3)-\frac{1}{2})^2-\frac{5}{4}]

که % نماد عملگر باقی‌مانده است.

کاربرد[ویرایش]

از این نماد مفید برای ساده سازی عبارات طولانی و پیچیده استفاده می‌شود. به عنوان مثال در ضرب خارجی a و b داریم:


\mathbf{a \times b} =
 \begin{vmatrix} 
 \mathbf{e_1} & \mathbf{e_2} & \mathbf{e_3} \\
 a_1 & a_2 & a_3 \\
 b_1 & b_2 & b_3 \\
 \end{vmatrix}
= \sum_{i,j,k=1}^3 \varepsilon_{ijk} \mathbf{e_i} a_j b_k

که با استفاده از قرارداد جمع‌زنی انیشتین به صورت زیر در می‌آید:


\mathbf{a \times b} = \varepsilon_{ijk} \mathbf{e_i} a_j b_k

و یا اگر A یک ماتریس 3در3 باشد، دترمینان آن را به صورت خلاصه زیر می‌توان نمایش داد:


\det A = \sum_{i,j,k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_{1i} a_{2j} a_{3k} = \varepsilon_{ijk} a_{1i} a_{2j} a_{3k}

تعمیم[ویرایش]

این نماد را برای ابعاد دیگر هم می‌توان تعریف کرد. به این صورت که برای \varepsilon_{ijkl} اگر ijkl... جایگشت زوجی از (1,2,3,4,...) باشد برابر +1 و اگر جایگشت فردی از آن باشد برابر -1 است. به عبارت دیگر:

\varepsilon_{ijk\ell\dots} =
\left\{
\begin{matrix}
+1 & \mbox{if }(i,j,k,\ell,\dots) \mbox{ is an even permutation of } (1,2,3,4,\dots) \\
-1 & \mbox{if }(i,j,k,\ell,\dots) \mbox{ is an odd permutation of } (1,2,3,4,\dots) \\
0 & \mbox{if any two labels are the same}
\end{matrix}
\right.

جستارهای وابسته[ویرایش]

تانسور[ویرایش]

خط تورفتهمتن کوچک

منابع[ویرایش]