ژئودزیک

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در ریاضیات و به خصوص هندسه دیفرانسیل ٬ یک ژئودزیک تعمیمی از مفهوم خط مستقیم به روی خمینه‌ها است.در حضور یک اتصال افاین ٬ به صورت منحنی هایی تعریف می‌شوند کهبردار مماس آن‌ها در صورت ترانهاده شدن ٬موازی باقی بمانند.اگر این اتصال ٬ اتصال لوی-چیویتا ایجاد شده توسط متریک ریمان باشد٬ آن‌گاه ژئودزیک‌ها (به صورت محلی ) کوتاه‌ترین مسیر بین نقاط در فضا هستند.

واژه‌ی ژئودزیک از ژئودزی ٬ دانش اندازه‌گیری اندازه و شکل زمین برگرفته شده است.در ابتدا٬ منظور از یک ژئودزیک ٬ کوتاه‌ترین مسیر بین دو نقطه روی سطح زمین ٬ یعنی قسمتی از یک دایره‌ی عظمیه بود.اما بعدها از این واژه تعمیم داده شد تا اندازه‌گیری‌ها در فضاهای ریاضیاتی عمومی‌تری را نیز شامل شود. برای مثال در نظریه گراف می‌توان از ژئودزیک بین دو رأس از یک گراف صحبت کرد.

هندسه متریک[ویرایش]

در هندسه متریک یک ژئودزیک خمی است که که در همه‌جا به صورت محلی یک کمینه کننده‌ی فاصله است.به طور دقیق‌تر یک خم γ: I → M از بازه‌ی I روی اعداد حقیقی به فضای متریک M یک ژئودزیک است اگر یک ثابت v ≥ 0 یافت شود به‌طوری که برای هر t ∈ I یک همسایگی J از t در I وجود دارد به طوری‌که برای هر t1, t2J داشته باشیم:

d(\gamma(t_1),\gamma(t_2))=v|t_1-t_2|.\,

این رابطه ٬ ژئودزیک را به خمینه‌های ریمانی تعمیم می‌دهد. اما در هندسه متریک معمولاً v = 1 است و بنابراین:

d(\gamma(t_1),\gamma(t_2))=|t_1-t_2|.\,

اگر این تساوی آخر برای همه‌ی t1 , t2Iبرقرار باشد ژئودزیک را یک ژئودزیک کمینه‌کننده و یا کوتاه‌ترین مسیر می‌نامند.

هندسه ریمانی[ویرایش]

در یک خمینه ریمانی M' با تانسور متریک g ٬ طول یک هم پیوسته مشتق‌پذیر γ : [a,b] → M چنین تعریف می‌شود:

L(\gamma)=\int_a^b \sqrt{  g_{\gamma(t)}(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t)) }\,dt.

فاصله d(p, q) بین دو نقطه p و q در M به صورت اینفیمم طول روی همه‌ی خم‌های پیوسته‌ی ٬ به صورت تکه‌ای مشتق‌پدیر γ : [a,b] → M به طوریکه γ(a) = p و γ(b) = q . با این تعریف از فاصله٬ ژئودزیک‌ها در یک خمینه‌ی ریمانی٬ مسیرهای (به صورت محلی) کمینه کننده‌ی فاصله هستند.( به معنای آورده شده در بالا)

خم‌های کمینه کننده‌ی L در یک مجموعه باز M را می‌توان با روش‌های حساب وردش‌ها یافت. معمولاً تابعی انرژی یا کار زیر را تعریف می‌کنند:

E(\gamma)=\frac{1}{2}\int g_{\gamma(t)}(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t))\,dt.

حال کافیست که تابعی E را کمینه کنیم.براساس نابرابری کوشی-شوارتز :

L(\gamma)^2\le 2(b-a)E(\gamma)

که شرط تساوی تنها و تنها در صورت ثابت بودن |dγ/dt| رخ می‌دهد.

حال معادلات حرکت اویلر-لاگرانژ برای تابعی E در مختصات محلی چنین می‌شوند:

\frac{d^2x^\lambda }{dt^2} + \Gamma^{\lambda}_{\mu \nu }\frac{dx^\mu }{dt}\frac{dx^\nu }{dt} = 0,

که در آن \Gamma^\lambda_{\mu\nu} نمادهای کریستوفل هستند. این معادله٬معادله ژئودزیک است.

پیوند به بیرون[ویرایش]

منابع[ویرایش]

Differential Geometry