ژئودزیک

تانسورها
واژه‌نامه نظریه تانسورها
دامنه ریاضیات دستگاه مختصات جبر چندخطی هندسه اقلیدسی هندسه دیفرانسیل حساب دیفرانسیل خارجی حساب تانسوری فیزیک و مهندسی مکانیک محیط‌های پیوسته الکترومغناطیس پدیده‌های انتقال نسبیت عام بینایی رایانه‌ای
نمادگذاری نمادگذاری اندیسی نمادگذاری چند اندیسی قرارداد جمع‌زنی اینشتین حساب ریتچی نمایش گرافیکی پنروز نمادگذاری فوکت نمادگذاری نمایه انتزاعی تتراد(نمادگذاری اندیسی) نمادگذاری ون در وائردن
تعاریف مرتبط tensor (intrinsic definition) میدان تانسوری چگالی تانسور مختصات خمیده‌خط تانسور مخلوط تانسور پادمتقارن تانسور متقارن بسته تانسور
عملیات‌ها ضرب تانسوری ضرب فوکت فشرده سازی تانسور ترانهاده (تانسورهای مرتبه دو) بالابردن و پایین آوردن اندیسها دوگانه هاج مشتق هموردا مشتق خارجی مشتق خارجی هموردا مشتق لی
مفاهیم مرتبط بعد بردار, فضای برداری چندبردار هموردایی و پادوردایی بردارها نگاشت خطی ماتریس (ریاضی) ماتریس‌های گاما فرمول‌بندی کارتان(فیزیک) فرم دیفرانسیلی شکل خارجی شکل اتصال اسپینور بسته اسپینور ژئودزیک خمینه بسته فیبر
تانسورهای مهم ریاضیات دلتای کرونکر نماد لوی-چیویتا تانسور متریک نمادهای کریستوفل خمش ریچی تانسور ریمان تانسور ویل تانسور پیچش فیزیک ممان اینرسی تکانه زاویه‌ای تنش (فیزیک) تانسور ضربه-انرژی تانسورهای الکترومغناطیس تانسور شدت میدان گلوئون تانسور اینشتین تانسور متریک(نسبیت عام)
ریاضی‌دان‌ها لئونارد اویلر کارل فریدریش گاوس آگوستین لویی کوشی هرمان گراسمان گرگریو ریتچی کورباسترو تولیو لوی چیویتا برنهارت ریمان الوین برونو کریستوفل ولدمار فوکت الی کارتان هرمان ویل آلبرت اینشتین

در ریاضیات و به خصوص هندسه دیفرانسیل ٬ یک ژئودزیک تعمیمی از مفهوم خط مستقیم به روی خمینه‌ها است.در حضور یک اتصال افاین ٬ به صورت منحنی هایی تعریف می‌شوند کهبردار مماس آن‌ها در صورت ترانهاده شدن ٬موازی باقی بمانند.اگر این اتصال ٬ اتصال لوی-چیویتا ایجاد شده توسط متریک ریمان باشد٬ آن‌گاه ژئودزیک‌ها (به صورت محلی ) کوتاه‌ترین مسیر بین نقاط در فضا هستند.

واژۀ ژئودزیک از ژئودزی ٬ دانش اندازه‌گیری اندازه و شکل زمین برگرفته شده است.در ابتدا٬ منظور از یک ژئودزیک ٬ کوتاه‌ترین مسیر بین دو نقطه روی سطح زمین ٬ یعنی قسمتی از یک دایرۀ عظمیه بود.اما بعدها از این واژه تعمیم داده شد تا اندازه‌گیری‌ها در فضاهای ریاضیاتی عمومی‌تری را نیز شامل شود. برای مثال در نظریه گراف می‌توان از ژئودزیک بین دو رأس از یک گراف صحبت کرد.

هندسه متریک

در هندسه متریک یک ژئودزیک خمی است که که در همه‌جا به صورت محلی یک کمینه کنندۀ فاصله است.به طور دقیق‌تر یک خم γ: I → M از بازۀ I روی اعداد حقیقی به فضای متریک M یک ژئودزیک است اگر یک ثابت v ≥ 0 یافت شود به‌طوری که برای هر t ∈ I یک همسایگی J از t در I وجود دارد به طوری‌که برای هر t₁, t₂ ∈ J داشته باشیم:

$d(\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}))=v|t_{1}-t_{2}|.\,$$d(\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}))=v|t_{1}-t_{2}|.\,$

این رابطه ٬ ژئودزیک را به خمینه‌های ریمانی تعمیم می‌دهد. اما در هندسه متریک معمولاً v = 1 است و بنابراین:

$d(\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}))=|t_{1}-t_{2}|.\,$$d(\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}))=|t_{1}-t_{2}|.\,$

اگر این تساوی آخر برای همۀ t₁ , t₂ ∈Iبرقرار باشد ژئودزیک را یک ژئودزیک کمینه‌کننده و یا کوتاه‌ترین مسیر می‌نامند.

هندسه ریمانی

در یک خمینه ریمانی M' با تانسور متریک g ٬ طول یک هم پیوسته مشتق‌پذیر γ : [a,b] → M چنین تعریف می‌شود:

$L(\gamma )=\int _{a}^{b}{\sqrt {g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))}}\,dt.$$L(\gamma )=\int _{a}^{b}{\sqrt {g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))}}\,dt.$

فاصله (d(p, q بین دو نقطه p و q در M به صورت اینفیمم طول روی همۀ خم‌های پیوستۀ ٬ به صورت تکه‌ای مشتق‌پدیر γ : [a,b] → M به طوریکه γ(a) = p و γ(b) = q . با این تعریف از فاصله٬ ژئودزیک‌ها در یک خمینۀ ریمانی٬ مسیرهای (به صورت محلی) کمینه کنندۀ فاصله هستند.( به معنای آورده شده در بالا)

خم‌های کمینه کنندۀ L در یک مجموعه باز M را می‌توان با روش‌های حساب وردش‌ها یافت. معمولاً تابعی انرژی یا کار زیر را تعریف می‌کنند:

$E(\gamma )={\frac {1}{2}}\int g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))\,dt.$$E(\gamma )={\frac {1}{2}}\int g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))\,dt.$

حال کافیست که تابعی E را کمینه کنیم.براساس نابرابری کوشی-شوارتز :

$L(\gamma )^{2}\leq 2(b-a)E(\gamma )$$L(\gamma )^{2}\leq 2(b-a)E(\gamma )$

که شرط تساوی تنها و تنها در صورت ثابت بودن |dγ/dt| رخ می‌دهد.

حال معادلات حرکت اویلر-لاگرانژ برای تابعی E در مختصات محلی چنین می‌شوند:

${\frac {d^{2}x^{\lambda }}{dt^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {dx^{\mu }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}=0,$${\frac {d^{2}x^{\lambda }}{dt^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {dx^{\mu }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}=0,$

که در آن $\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }$$\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }$ نمادهای کریستوفل هستند. این معادله٬معادله ژئودزیک است.

پیوند به بیرون

• Caltech Tutorial on Relativity توضیحی ساده و جالب از ژئوذزیک‌ها به همراه پویانمایی
• Geodesics Revisited آشنایی با ژئودزیک‌ها به همراه کاربردها در هندسه٬مکانیک و اپتیک

منابع

Differential Geometry