ژئودزیک

تنسورها
واژه‌نامه نظریه تنسورها
دامنه ریاضیات دستگاه مختصات جبر چندخطی هندسه اقلیدسی هندسه دیفرانسیل حساب دیفرانسیل خارجی حساب تنسوری فیزیک و مهندسی مکانیک محیط‌های پیوسته الکترومغناطیس پدیده‌های انتقال نسبیت عام بینایی رایانه‌ای
نمادگذاری نمادگذاری اندیسی نمادگذاری چند اندیسی قرارداد جمع‌زنی اینشتین حساب ریتچی نمایش گرافیکی پنروز نمادگذاری فوکت نمادگذاری نمایه انتزاعی تتراد(نمادگذاری اندیسی) نمادگذاری ون در وائردن
تعاریف مرتبط tensor (intrinsic definition) میدان تنسوری چگالی تنسور مختصات خمیده‌خط تنسور مخلوط تنسور پادمتقارن تنسور متقارن بسته تنسور
عملیات‌ها ضرب تنسوری ضرب فوکت فشرده سازی تنسور ترانهاده (تنسورهای مرتبه دو) بالابردن و پایین آوردن اندیسها دوگانه هاج مشتق هموردا مشتق خارجی مشتق خارجی هموردا مشتق لی
مفاهیم مرتبط بعد بردار, فضای برداری چندبردار هموردایی و پادوردایی بردارها نگاشت خطی ماتریس (ریاضی) ماتریس‌های گاما فرمول‌بندی کارتان(فیزیک) فرم دیفرانسیلی شکل خارجی شکل اتصال اسپینور بسته اسپینور ژئودزیک خمینه بسته فیبر
تنسورهای مهم ریاضیات دلتای کرونکر نماد لوی-چیویتا تنسور متریک نمادهای کریستوفل خمش ریچی تنسور ریمان تنسور ویل تنسور پیچش فیزیک ممان اینرسی تکانه زاویه‌ای تنش (فیزیک) تنسور ضربه-انرژی تنسور الکترومغناطیسی تنسور شدت میدان گلوئون تنسور اینشتین تنسور متریک
ریاضی‌دان‌ها لئونارد اویلر کارل فریدریش گاوس آگوستین لویی کوشی هرمان گراسمان گرگریو ریتچی کورباسترو تولیو لوی چیویتا برنهارت ریمان الوین برونو کریستوفل ولدمار فوکت الی کارتان هرمان ویل آلبرت اینشتین

در ریاضیات و به خصوص هندسه دیفرانسیل ٬ یک ژئودزیک تعمیمی از مفهوم خط مستقیم به روی خمینه‌ها است.در حضور یک اتصال افاین ٬ به صورت منحنی‌هایی تعریف می‌شوند کهبردار مماس آن‌ها در صورت ترانهاده شدن ٬موازی باقی بمانند.اگر این اتصال ٬ اتصال لوی-چیویتا ایجاد شده توسط متریک ریمان باشد٬ آن‌گاه ژئودزیک‌ها (به صورت محلی ) کوتاه‌ترین مسیر بین نقاط در فضا هستند.

واژۀ ژئودزیک از ژئودزی ٬ دانش اندازه‌گیری اندازه و شکل زمین برگرفته شده‌است.در ابتدا٬ منظور از یک ژئودزیک ٬ کوتاه‌ترین مسیر بین دو نقطه روی سطح زمین ٬ یعنی قسمتی از یک دایرۀ عظمیه بود.اما بعدها از این واژه تعمیم داده شد تا اندازه‌گیری‌ها در فضاهای ریاضیاتی عمومی‌تری را نیز شامل شود. برای مثال در نظریه گراف می‌توان از ژئودزیک بین دو رأس از یک گراف صحبت کرد.

هندسه متریک

در هندسه متریک یک ژئودزیک خمی است که که در همه‌جا به صورت محلی یک کمینه کنندۀ فاصله است.به‌طور دقیق‌تر یک خم γ: I → M از بازۀ I روی اعداد حقیقی به فضای متریک M یک ژئودزیک است اگر یک ثابت v ≥ 0 یافت شود به‌طوری‌که برای هر t ∈ I یک همسایگی J از t در I وجود دارد به‌طوری‌که برای هر t₁, t₂ ∈ J داشته باشیم:

$d(\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}))=v|t_{1}-t_{2}|.\,$

این رابطه ٬ ژئودزیک را به خمینه‌های ریمانی تعمیم می‌دهد. اما در هندسه متریک معمولاً v = 1 است و بنابراین:

$d(\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}))=|t_{1}-t_{2}|.\,$

اگر این تساوی آخر برای همۀ t₁ , t₂ ∈Iبرقرار باشد ژئودزیک را یک ژئودزیک کمینه‌کننده یا کوتاه‌ترین مسیر می‌نامند.

هندسه ریمانی

در یک خمینه ریمانی M' با تنسور متریک g ٬ طول یک هم پیوسته مشتق‌پذیر γ : [a,b] → M چنین تعریف می‌شود:

$L(\gamma )=\int _{a}^{b}{\sqrt {g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))}}\,dt.$

فاصله (d(p, q بین دو نقطه p و q در M به صورت اینفیمم طول روی همۀ خم‌های پیوستۀ ٬ به صورت تکه‌ای مشتق‌پدیر γ : [a,b] → M به‌طوری‌که γ(a) = p و γ(b) = q . با این تعریف از فاصله٬ ژئودزیک‌ها در یک خمینۀ ریمانی٬ مسیرهای (به صورت محلی) کمینه کنندۀ فاصله هستند.( به معنای آورده شده در بالا)

خم‌های کمینه کنندۀ L در یک مجموعه باز M را می‌توان با روش‌های حساب وردش‌ها یافت. معمولاً تابعی انرژی یا کار زیر را تعریف می‌کنند:

$E(\gamma )={\frac {1}{2}}\int g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))\,dt.$

حال کافیست که تابعی E را کمینه کنیم.براساس نابرابری کوشی-شوارتز :

$L(\gamma )^{2}\leq 2(b-a)E(\gamma )$

که شرط تساوی تنها و تنها در صورت ثابت بودن |dγ/dt| رخ می‌دهد.

حال معادلات حرکت اویلر-لاگرانژ برای تابعی E در مختصات محلی چنین می‌شوند:

${\frac {d^{2}x^{\lambda }}{dt^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {dx^{\mu }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}=0,$

که در آن $\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }$ نمادهای کریستوفل هستند. این معادله٬معادله ژئودزیک است.

پیوند به بیرون

• Caltech Tutorial on Relativity توضیحی ساده و جالب از ژئوذزیک‌ها به همراه پویانمایی
• Geodesics Revisited آشنایی با ژئودزیک‌ها به همراه کاربردها در هندسه٬مکانیک و اپتیک

منابع

Differential Geometry