مشتق لی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در ریاضیات ٬ مشتق لی که به افتخار سوفوس لی نام‌گذاری شده است٬ تغییر یک میدان تانسوری ( در حالت کلی٬شامل میدان نرده‌ای و میدان برداری و یک-فرم)را در جهت یک شارش یک میدان برداری دیگر به‌دست می‌دهد.[۱][۲] این تغییر در دستگاه ها مختصات مختلف ناوردا است و به همین دلیل مشتق لی بر روی هر منیفلد دیفرانسیل‌پذیر تعریف می‌شود.

تعریف[ویرایش]

مشتق لی یک تابع[ویرایش]

چند تعریف برای مشتق لی یک تابع وجپد دارد.

  • می‌توان مشتق لی رابراساس تعریف میدان‌های برداری به عنوان عملگرهای دیفرانسیلی مرتبه اول تعریف کرد. با فرض تابع ƒ : MR و یک میدان برداری X تعریف شده روی M ٬ مشتق لی  \mathcal{L}_X f یک تابع در راستای میدانX با اعمال میدان به دست می‌آید.می‌توان آن را مشتق جهت‌دار f در راستای X پنداشت.ینابراین در یک نقطه pM داریم:
(\mathcal{L}_{\!X} f)(p) \triangleq X_p(f) \triangleq (Xf)(p)
براساس تعریف مشتق‌گیری ٬می‌توان این مشتق را روی M چنین نیز نوشت:
(\mathcal{L}_{\!X} f)(p) \triangleq \operatorname{d}f_p\, (X_p)

با انتخاب مختصات xa و با نوشتن :X=X^a\partial_a که در آن \partial_a = \frac{\partial}{\partial x^a} بردارهای یکه برای دسته(باندل) مماس‌ها هستند٬ خواهیم داشت:

(\mathcal{L}_{\!X} f)(p) =X^a(p)(\partial_a f)(p).

مشتق لی یک میدان برداری[ویرایش]

ابتدا یک براکت لی از دو میدان برداری X و Y‌تعریف می‌کنیم. یک تعریف عبارت است از:

\mathcal{L}_X Y = [X,Y]

تعریف‌های دیگر چنین‌اند: ( \Phi^X_{t} تبدیل شار(فلو)‌و d عملگر نگاشت مماس مشتق است)

منابع[ویرایش]

  1. Andrzej Trautman (2008), "Remarks on the history of the notion of Lie differentiation", “Variations, Geometry and Physics” in honour of Demeter Krupka’s sixty-fifth birthday O. Krupková and D. J. Saunders (Editors) Nova Science Publishers, pp. 297-302
  2. Ślebodziński W. (1931), Sur les équations de Hamilton, Bull. Acad. Roy. d. Belg. 17 (5) pp. 864-870
  3. Kolář, I., Michor, P., and Slovák, J. (1993). p. 21.