انتگرال: تفاوت میان نسخه‌ها

محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده

درخط

نسخهٔ ‏۶ دسامبر ۲۰۱۹، ساعت ۱۸:۴۶

در ریاضیات، انتگرال روشی برای اختصاص اعداد به توابع است، به گونه ای که جابجایی، مساحت، حجم و دیگر مفاهیم برآمده از ترکیب داده های بی نهایت کوچک را به وسیله آن بتوان توصیف کرد. انتگرال گیری یکی از دو عمل مهم در حساب دیفرانسیل و انتگرال است، که عمل دیگر آن (عمل معکوس) دیفرانسیل گیری می باشد. برای تابع داده شده ای چون f از متغیر حقیقی x و بازه $[a,b]$ از خط حقیقی، انتگرال معین:

\int _{a}^{b}f(x)\,dx

به طور صوری به عنوان مساحت علامت دار ناحیه ای از صفحه xy که به نمودار f، محور x و خطوط عمودی x=a و x=b محدود شده است. نواحی بالای محور x به مساحت کل افزوده و نواحی پایین محور x از ان می کاهند.

عملیات انتگرال گیری، در حد یک مقدار ثابت (یعنی بدون در نظر گرفتن آن)، معکوس عملیات دیفرانسیل گیری است. بدین منظور، اصطلاح انتگرال را می توان به معنای پاد-مشتق نیز به کار برد، تابعی چون F که مشتقش تابع داده شده ای چون f باشد. در این حالت به انتگرال f، انتگرال نامعین گفته شده و به صورت زیر نوشته می شود:

F(x)=\int f(x)\,dx.

انتگرال هایی که در این مقاله مورد بحث قرار می گیرند از نوع انتگرال معین اند. قضیه اساسی حساب، دیفرانسیل گیری را به انتگرال معین ارتباط می دهد: اگر f یک تابع پیوسته حقیقی مقدار روی بازه ی $[a,b]$ باشد، آنگاه زمانی که پاد مشتق f یعنی F، معلوم باشد، انتگرال f روی آن بازه به صورت زیر داده می شود:

\int _{a}^{b}\,f(x)dx=\left[F(x)\right]_{a}^{b}=F(b)-F(a)\,.

اصول انتگرال گیری به طور مستقل توسط اسحاق نیوتون و گوتفرید ویلهلم لایبنیز در اواخر قرن هفدهم میلادی فرموله شد، آن ها انتگرال را به صورت جمع مستطیل هایی با عرض های بی نهایت کوچک می دیدند. برنارد ریمان تعریف استواری از انتگرال ارائه نمود. این تعریف بر اساس فرآیند حد گیری است که مساحت زیر نمودار یک خم را با شکستن آن ناحیه به قطعات نازک عمودی تخمین می زند. با شروع قرن نوزدهم میلادی، مفاهیم پیچیده تری از انتگرال ظهور پیدا کرد که در آن نوع تابع به علاوه دامنه انتگرال گیری تعمیم یافت. انتگرال خطی برای توابع دو یا چند متغیره تعریف شده است و بازه انتگرال گیری $[a,b]$ در آن با خمی که دو نقطه ابتدا و انتهای انتگرال گیری را به هم متصل می کند جایگزین شده است. در انتگرال سطح (یا انتگرال رویه ای)، خم با یک رویه در فضای سه بعدی جایگزین می شود.

تاریخچه

قبل از حسابان

اولین تکنیک نظام مندی که قادر به تعیین انتگرال، روش افنا بود که توسط ستاره شناس یونان باستان، اودوکسوس (حدود 370 قبل از میلاد) معرفی شد. در این روش مساحت ها و احجام به تعداد نامتناهی تکه که مساحت یا حجم هر کدام از آن تکه ها معلوم بود تقسیم بندی می شدند. ارشمیدس این روش را ارتقاء داده و از آن در قرن سوم قبل از میلاد استفاده کرد تا مساحت های سهمی و دایره را به کمک آن بدست آورد.

روش مشابهی به طور مستقل در حدود قرن سوم بعد از میلاد توسط میو هوی در چین بدست آمد، او از این روش برای بدست آوردن مساحت دایره استفاده کرد. این روش بعدها در قرن پنجم میلادی توسط ریاضیدانان پدر و پسر چینی یعنی زو چونگژی و زو گنگ برای بدست آوردن حجم یک کره ((Shea 2007); (Katz 2004، صص. 125–126)) مورد استفاده قرار گرفت.

در خاورمیانه، حسن ابن الحیثم (نام لاتین شده او Alhazen است) (965 - 1040 میلادی) فرمولی برای جمع توان های چهارم بدست آورد. او از این فرمول برای بدست آوردن چیزی استفاده کرد که اکنون میدانیم انتگرال آن تابع است، او از آن برای محاسبه حجم یک سهمی گون استفاده کرد.^[۱]

تا قرن هفدهم میلادی پیشرفت مهمی در حساب انتگرال صورت نگرفت. در این زمان بود که روش کاوالیری یعنی روش تقسیم ناپذیرها، و همچنین کارهای فرما، بنیانگذاری حساب مدرن را کلید زدند. کاوالیری در فرمول‌های مربع کاوالیری خود، انتگرالهای $x^{n}$ را تا درجه n=9 محاسبه کرد. قدم های بعدی در اوایل قرن هفدهم میلادی توسط بارو و توریسلی برداشته شد، آن ها اولین نشانه های ارتباط انتگرال و دیفرانسیل را ارائه نمودند. بارو اولین اثبات قضیه اساسی حساب را ارائه داد. والیس روش کاوالیری را برای محاسبه انتگرال های توان های عمومی x تعمیم داد، به گونه ای که شامل توان های منفی و حتی توان های کسری نیز می شد.

مثال

انتگرال یک تابع مثبت پیوسته در بازه (۰٬۱۰) در واقع پیدا کردن مساحت محصور بین خطوط x=0 , x=۱۰ و خم منحنی $f_{x}$ است. aو b نقاط ابتدا و انتهای بازه هستند و f تابعی انتگرال‌پذیر است و dx نمادی برای متغیر انتگرال‌گیری است.

انتگرال یک تابع مساحت زیر نمودار آن تابع است.

انتگرال‌گیری

(محاسبه انتگرال) انتگرال‌گیری به معنی محاسبه سطح زیر نمودار با استفاده از روش‌ها و قوانین انتگرال‌گیری است(انتگرال معین). انتگرال را می‌توان عمل عکس مشتق معرفی نمود (انتگرال نامعین).

مهم‌ترین تعاریف در انتگرال

مثالی از انتگرال با تقسیمات ناهمسان(بزرگترین قسمت با رنگ قرمز مشخص شده است)

همگرایی مجموع‌های ریمان

از مهم‌ترین تعاریف در انتگرال می‌توان از انتگرال ریمان و انتگرال لِبِگ است. انتگرال ریمان به‌وسیله برنهارد ریمان در سال ۱۸۵۴ ارائه شد که تعریف دقیقی را از انتگرال ارائه می‌داد تعریف دیگر را هانری لبگ ارائه داد که طبق این تعریف شرایط تعویض‌پذیری حد و انتگرال با شرط مساوی ماندن عبارت، ارائه می‌کرد. از دیگر تعاریف ارائه شده در زمینه انتگرال می‌توان به انتگرال ریمان–استیلتیس اشاره کرد. پس به‌طور خلاصه سه تعریف زیر از مهم‌ترین تعاریف انتگرال می‌باشند:

محاسبه انتگرال

اکثر روش‌های اساسی حل انتگرال بر پایه قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال بنا نهاده شده‌است که بر طبق آن داریم:

f تابعی در بازه (a,b) در نظر می‌گیریم.
پاد مشتق f را پیدا می‌کنیم که تابعی است مانند f .
قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال را در نظر می‌گیریم.

بنابراین مقدار انتگرال ما برابر خواهد بود.

به این نکته توجه کنید که انتگرال واقعاً پاد مشتق نیست (یک عدد است) اما قضیه اساسی به ما اجازه می‌دهد تا از پاد مشتق برای محاسبه مقدار انتگرال استفاده کنیم. معمولاً پیدا کردن پاد مشتق تابع f کار ساده‌ای نیست و نیاز به استفاده از تکنیک‌های انتگرال‌گیری دارد این تکنیک‌ها عبارت‌اند از:

انتگرال‌گیری به‌وسیله تغییر متغیر
انتگرال‌گیری جزء به جزء: $\int u\,dv=uv-\int v\,du$
انتگرال‌گیری با تغییر متغیر مثلثاتی
انتگرال‌گیری به‌وسیله تجزیه کسرها

روش‌هایی دیگر نیز وجود دارد که برای محاسبه انتگرالهای معین به کار می‌رود همچنین می‌توان بعضی از انتگرال‌ها با ترفندهایی حل کرد برای مثال می‌توانید به انتگرال گاوسی مراجعه کنید.

تقریب انتگرال‌های معین

محاسبه سطح زیر نمودار به‌وسیله مستطیل‌هایی زیر نمودار. هر چه قدر عرض مستطیل‌ها کوچک می‌شوند مقدار دقیق تری از مقدار انتگرال بدست می‌آید.

انتگرال‌های معین ممکن است با استفاده از روش‌های انتگرال‌گیری عددی، تخمین زده شوند. یکی از عمومی‌ترین روش‌ها، روش مستطیلی نامیده می‌شود در این روش ناحیه زیر نمودار تابع به یک سری مستطیل تبدیل شده و جمع مساحت آن‌ها نشان دهنده مقدار تقریبی انتگرال است. از دیگر روش‌هایی معروف برای تخمین مقدار انتگرال روش سیمپسون و روش ذوزنقه‌ای است. اگر چه روش‌های عددی مقدار دقیق انتگرال را به ما نمی‌دهند ولی در بعضی از مواقع که انتگرال تابعی قابل حل نیست یا حل آن مشکل است کمک زیادی به ما می‌کند.

Darboux sums

Darboux upper sums of the function y = x²

Darboux lower sums of the function y = x²

کاربرد

انتگرال‌ها در واقع مساحت محصور در زیر نمودار هستند و در فیزیک می‌توان برای کاربردهای زیادی تعریف کرد مانند کار انجام شده در یک فر آیند ترمودینامیکی از انتگرال رابطه فشار و حجم به دست می‌آید. اما به‌طور کلی می‌توان آن را تغییرات کمیت حاصل ضرب افقی و عمودی نمودار نامید مثلاً: در یک رابطه کمیت‌ها را تحلیل ابعادی می‌کنیم مثلاً رابطه سرعت و زمان را به صورت زیر نوشته می‌شود:

v=[L]/[T]t=[T]\!

سپس دو تحلیل را در هم ضرب می‌کنیم:

[L]\!

پس مساحت محصور در زیر نمودار برابر با تغییرات طول (جابجایی) است.

پانویس

↑ Katz, V.J. 1995. "Ideas of Calculus in Islam and India." Mathematics Magazine (Mathematical Association of America), 68(3):163–174.

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Cantor's Theorem». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۱۳ نوامبر ۲۰۱۹.

کتابشناسی

Apostol, Tom M. (1967), Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra (2nd ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1
Bourbaki, Nicolas (2004), Integration I, Springer Verlag, ISBN 3-540-41129-1. In particular chapters III and IV.
Burton, David M. (2005), The History of Mathematics: An Introduction (6th ed.), McGraw-Hill, p. 359, ISBN 978-0-07-305189-5
Cajori, Florian (1929), A History Of Mathematical Notations Volume II, Open Court Publishing, pp. 247–252, ISBN 978-0-486-67766-8
Dahlquist, Germund; Björck, Åke (2008), "Chapter 5: Numerical Integration", Numerical Methods in Scientific Computing, Volume I, Philadelphia: SIAM, archived from the original on 2007-06-15
Folland, Gerald B. (1984), Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (1st ed.), John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-80958-6
Fourier, Jean Baptiste Joseph (1822), Théorie analytique de la chaleur, Chez Firmin Didot, père et fils, p. §231
Available in translation as Fourier, Joseph (1878), The analytical theory of heat, Freeman, Alexander (trans.), Cambridge University Press, pp. 200–201
Heath, T. L., ed. (2002), The Works of Archimedes, Dover, ISBN 978-0-486-42084-4
(Originally published by Cambridge University Press, 1897, based on J. L. Heiberg's Greek version.)
Hildebrandt, T. H. (1953), "Integration in abstract spaces", Bulletin of the American Mathematical Society, 59 (2): 111–139, doi:10.1090/S0002-9904-1953-09694-X, ISSN 0273-0979
Kahaner, David; Moler, Cleve; Nash, Stephen (1989), "Chapter 5: Numerical Quadrature", Numerical Methods and Software, Prentice Hall, ISBN 978-0-13-627258-8
Kallio, Bruce Victor (1966), A History of the Definite Integral (PDF) (M.A. thesis), University of British Columbia
Katz, Victor J. (2004), A History of Mathematics, Brief Version, Addison-Wesley, ISBN 978-0-321-16193-2
Leibniz, Gottfried Wilhelm (1899), Gerhardt, Karl Immanuel (ed.), Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern. Erster Band, Berlin: Mayer & Müller
Lieb, Elliott; Loss, Michael (2001), Analysis, Graduate Studies in Mathematics, vol. 14 (2nd ed.), American Mathematical Society, ISBN 978-0821827833
Miller, Jeff, Earliest Uses of Symbols of Calculus, retrieved 2009-11-22
O’Connor, J. J.; Robertson, E. F. (1996), A history of the calculus, retrieved 2007-07-09
Rudin, Walter (1987), "Chapter 1: Abstract Integration", Real and Complex Analysis (International ed.), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-100276-9
Saks, Stanisław (1964), Theory of the integral (English translation by L. C. Young. With two additional notes by Stefan Banach. Second revised ed.), New York: Dover
Shea, Marilyn (May 2007), Biography of Zu Chongzhi, University of Maine, retrieved 9 January 2009
Siegmund-Schultze, Reinhard (2008), "Henri Lebesgue", in Timothy Gowers; June Barrow-Green; Imre Leader (eds.), Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press.
Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (2002), "Topics in Integration", Introduction to Numerical Analysis (3rd ed.), Springer, ISBN 978-0-387-95452-3.
W3C (2006), Arabic mathematical notation

پیوند به بیرون

"Integral", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Online Integral Calculator, Wolfram Alpha.
Online Integral Calculator, by MathsTools.

کتاب‌های برخط

Keisler, H. Jerome, Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals, University of Wisconsin
Stroyan, K. D., A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus, University of Iowa
Mauch, Sean, Sean's Applied Math Book, CIT, an online textbook that includes a complete introduction to calculus
Crowell, Benjamin, Calculus, Fullerton College, an online textbook
Garrett, Paul, Notes on First-Year Calculus
Hussain, Faraz, Understanding Calculus, an online textbook
Johnson, William Woolsey (1909) Elementary Treatise on Integral Calculus, link from HathiTrust.
Kowalk, W. P., Integration Theory, University of Oldenburg. A new concept to an old problem. Online textbook
Sloughter, Dan, Difference Equations to Differential Equations, an introduction to calculus
Numerical Methods of Integration at Holistic Numerical Methods Institute
P. S. Wang, Evaluation of Definite Integrals by Symbolic Manipulation (1972) — a cookbook of definite integral techniques

[katz-1] Katz, V.J. 1995. "Ideas of Calculus in Islam and India." Mathematics Magazine (Mathematical Association of America), 68(3):163–174.

[۱]

@@ خط ۱۶: / خط ۱۶: @@
 اصول انتگرال گیری به طور مستقل توسط [[آیزاک نیوتن|اسحاق نیوتون]] و [[گوتفرید لایبنیتس|گوتفرید ویلهلم لایبنیز]] در اواخر قرن هفدهم میلادی فرموله شد، آن ها انتگرال را به صورت جمع مستطیل هایی با عرض های بی نهایت کوچک می دیدند. [[برنهارت ریمان|برنارد ریمان]] تعریف استواری از انتگرال ارائه نمود. این تعریف بر اساس فرآیند [[حد (ریاضی)|حد]] گیری است که مساحت زیر نمودار یک خم را با شکستن آن ناحیه به قطعات نازک عمودی تخمین می زند. با شروع قرن نوزدهم میلادی، مفاهیم پیچیده تری از انتگرال ظهور پیدا کرد که در آن نوع تابع به علاوه دامنه انتگرال گیری تعمیم یافت. انتگرال خطی برای توابع دو یا چند متغیره تعریف شده است و بازه انتگرال گیری <math>[a, b]</math> در آن با خمی که دو نقطه ابتدا و انتهای انتگرال گیری را به هم متصل می کند جایگزین شده است. در انتگرال سطح (یا انتگرال رویه ای)، خم با یک رویه در فضای سه بعدی جایگزین می شود.
-== انتگرال نامعین ==
-هرگاه [[مشتق]] تابعی معلوم باشد و بخواهیم تابع را مشخص کنیم، این عمل را انتگرال‌ نامعین نامیده و آن را با نماد <math>\int</math> نمایش می‌دهیم. به انتگرال نامعین، '''پادمشتق''' نیز گفته‌می‌شود، زیرا انتگرال نامعین، عکس [[مشتق|مشتق‌]] است.
+== تاریخچه ==
-بنا به تعریف، نماد <math>\int{f(x)}.dx</math> را انتگرال نامعین نامیده و حاصل آن را تابعی مانند <math>F(x)+c</math> در نظر می‌گیریم هرگاه:
+=== قبل از حسابان ===
-{{وسط|<math>\int{f(x)}.dx=F(x)+c</math>}}
+اولین تکنیک نظام مندی که قادر به تعیین انتگرال، روش افنا بود که توسط ستاره شناس یونان باستان، اودوکسوس (حدود 370 قبل از میلاد) معرفی شد. در این روش مساحت ها و احجام به تعداد نامتناهی تکه که مساحت یا حجم هر کدام از آن تکه ها معلوم بود تقسیم بندی می شدند. ارشمیدس این روش را ارتقاء داده و از آن در قرن سوم قبل از میلاد استفاده کرد تا مساحت های سهمی و دایره را به کمک آن بدست آورد.
-که <math>c</math> مقداری ثابت است. در واقع می‌توان چنین بیان کرد:
-{{وسط|<math>F'(x)=f(x)\Leftrightarrow\int{f(x)}.dx=F(x)+c </math>}}
-<div style="background-color:#fafafa; border:1px solid #a2a9b1; padding:1em;">
-<span style="font-size: large;">'''مثال:'''</span>
-مقدار انتگرال تابع <math>f(x)=\sqrt{x} + 2x^2 - 8</math> را حساب کنید:
-{{چپ‌چین}}
-<math>\int{f(x)}.dx=\int{(x^{ \frac{1}{2}}+2x^2-8)}.dx = \int{ x^{\frac{1}{2}}}.dx + 2 \int{x^2}.dx - 8 \int{dx} = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+ \frac{2}{3}x^3-8x+C</math>
+روش مشابهی به طور مستقل در حدود قرن سوم بعد از میلاد توسط میو هوی در چین بدست آمد، او از این روش برای بدست آوردن مساحت دایره استفاده کرد. این روش بعدها در قرن پنجم میلادی توسط ریاضیدانان پدر و پسر چینی یعنی زو چونگژی و زو گنگ برای بدست آوردن حجم یک کره ({{harvnb|Shea | 2007}}; {{harvnb|Katz|2004|pp=125–126}}) مورد استفاده قرار گرفت.
-:::<math>\Rightarrow \int{f(x)}.dx=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+ \frac{2}{3}x^3-8x+C</math>
-{{پایان چپ‌چین}}
-</div>
+در خاورمیانه، حسن ابن الحیثم (نام لاتین شده او Alhazen است) (965 - 1040 میلادی) فرمولی برای جمع توان های چهارم بدست آورد. او از این فرمول برای بدست آوردن چیزی استفاده کرد که اکنون میدانیم انتگرال آن تابع است، او از آن برای محاسبه حجم یک سهمی گون استفاده کرد.<ref name=katz>Katz, V.J. 1995. "Ideas of Calculus in Islam and India." ''Mathematics Magazine'' (Mathematical Association of America), 68(3):163–174.</ref>
-== انتگرال معین ==
-{{اصلی|پاد مشتق}}
-بنا به تعریف، نماد <math>\int_a^b f(x).dx</math> را انتگرال معین نامیده
-و حاصل آن را به ازای <math>a<x<b</math> عددی به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
+تا قرن هفدهم میلادی پیشرفت مهمی در حساب انتگرال صورت نگرفت. در این زمان بود که روش کاوالیری یعنی روش تقسیم ناپذیرها، و همچنین کارهای فرما، بنیانگذاری حساب مدرن را کلید زدند. کاوالیری در فرمول‌های مربع کاوالیری خود، انتگرالهای <math>x^n</math> را تا درجه n=9 محاسبه کرد. قدم های بعدی در اوایل قرن هفدهم میلادی توسط بارو و توریسلی برداشته شد، آن ها اولین نشانه های ارتباط انتگرال و دیفرانسیل را ارائه نمودند. بارو اولین اثبات قضیه اساسی حساب را ارائه داد. والیس روش کاوالیری را برای محاسبه انتگرال های توان های عمومی x تعمیم داد، به گونه ای که شامل توان های منفی و حتی توان های کسری نیز می شد.
-<math>\int_a^b f(x).dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)</math>
-<math>a</math> و <math>b</math> به ترتیب، کران‌های بالا و پایین انتگرال نامیده می‌شوند.
-== تابع انتگرال‌پذیر ==
-اگر تابعی دارای انتگرال باشد به آن انتگرال‌پذیر گویند.
-== تعبیر هندسی انتگرال ==
-از نظر هندسی انتگرال برابر است با مساحت سطح محصور زیر نمودار.
-'''نکته'''
-انتگرال نمودار سه بعدی(انتگرال دوگانه) معرف '''حجم''' محصور زیر نمودار است و انتگرال سه‌گانه معرف پارالل زیر نمودار است (غیرقابل تصور).
 === مثال ===