تابع مرومورفیک

در آنالیز مختلط، یک تابع مرومورفیک روی یک زیرمجموعه باز D از صفحه مختلط، یک تابع است که روی تمام D به جز نقاط تکین خود هولومورفیک است، که این نقاط قطب‌های تابع هستند. (نام‌گذاری از کلمهٔ باستانی یونانی "meros"، به معنی جزء در برابر "holos"به معنی کل می‌آید.) این چنین توابع را گاهی توابع منظم یا روی D منظم می‌گویند. هر تابع مرومورفیک روی D می‌تواند به صورت نسبت بین دو تابع هولومورفیک (با مخرجی که ثابت 0 نباشد.) تعریف‌شده روی D بیان شود. بنابراین قطب‌ها در صفرهای مخرج اتفاق می‌افتند. پس ذاتا یک تابع مرومورفیک نسبت دو تابع «مؤدب» (هولومورفیک) است. چنین تابعی به جز در نقاطی که مخرج تابع صفر است و مقدار تابع بینهایت خواهد شد، همچنان «مؤدب» می‌ماند. از دید جبری اگر D همبند باشد، آنگاه مجموعهٔ توابع مرومورفیک، میدان کسرهای دامنهٔ انتگرال از مجموعهٔ توابع هولومورفیک است. این قایل قیاس با رابطهٔ بین $\mathbb{Q}$، اعداد کسری، و $\mathbb{Z}$، اعداد صحیح است.

مثالها

• تمام توابع گویا مانند

f(z) = (z³ − 2z + 1)/(z⁵ + 3z − 1) ‎

در کل صفحهٔ مختلط مرومورفیک‌اند.

• توابع f(z) = exp(z)/z و f(z) = sin(z)/(z − ۱)^۲

همانند تابع گاما و تابع زیتای ریمان بر روی کل صفحهٔ مختلط مرومورفیک‌اند.

• تابع

f(z) = exp(۱/z) در تمام صفحهٔ مختلط به جز مبدا تعریف شده است. با این وجود، ۰ قطب این تابع نیست، بلکه یک نقطه تکین اساسی است. بنابراین، این تابع در تمام صفحهٔ مختلط مرومورفیک نیست. با این وجود، روی C\{۰} مرومورفیک (حتی هولومورفیک) است.

خصوصیات

از آنجایی که قطب‌های یک تابع مرومورفیک منفردند، پس شمارایند. مجموعهٔ قطبها می‌تواند نامتناهی باشد همانطور که با تابع زیر نشان داده شده است

f(z)=۱/sin(z).

با استفاده از پیوستگی تحلیلی برای زدودن نقطه تکین منفرد، توابع مرومورفیک می‌توانند جمع، تفریق، و ضرب شوند، و تقسیم f/g می‌تواند شکل بگیرد مگر اینکه روی یک مؤلفهٔ همبند D ، g(z) = ۰. بنابراین، اگر D همبند باشد، توابع مرومورفیک یک میدان تشکیل می‌دهند. در حقیقت یک میدان الحاقی از اعداد مختلط.