معادلات فریدمان

معادلات فریدمان(به انگلیسی: Friedmann equations) از حل معادلات میدان اینشتین برای متریک فریدمان-لومتر-رابرتسون-واکر می‌توان به راحتی معادلات انبساط جهان همگن و ایزوله با چگالی انرژی $\!\rho$ و چگالی فشار $\!p$ را بر حسب عامل مقیاس و مشتقات مرتبه اول و دوم آن نسبت به زمان به دست آورد. این کار اولین بار توسط الکساندر فریدمان در سال ۱۹۲۲ انجام گردید و معادلات مشابهی با انحنای فضایی منفی در سال ۱۹۲۴ توسط وی ارائه شد. دو معادله مستقل فضایی و زمانی فریدمان به ترتیب عبارتند از

${\frac {{\dot {a}}^{2}+kc^{2}}{a^{2}}}={\frac {8\pi G\rho +\Lambda c^{2}}{3}}$

${\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {4\pi G}{3}}\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right)+{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}$

که در آن $H\equiv {\frac {\dot {a}}{a}}$ به پارامتر هابل و G ثابت گرانشی نیوتن و Λ ثابت کیهان شناسی و c سرعت نور نام دارند. اغلب می‌توان با ارتباط بین پارامتر هابل و عامل مقیاس این معادلات را با پارامتر هابل بازنویسی کرد

$H^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\rho -{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}$

${\dot {H}}+H^{2}=-{\frac {4\pi G}{3}}\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right).$

به $k \over a^{2}$ انحنای فضایی گفته می‌شود که به ترتیب برای k=+۱ جهان با انحنای مثبت (بسته) و k=-۱ جهان با انحنای منفی (باز) و k=۰ جهان با انحنای صفر (تخت) خواهد بود. در این معادلات اسکالر ریچی به صورت $R={\frac {6}{a^{2}}}({\ddot {a}}a+{\dot {a}}^{2}+kc^{2})$ محاسبه می‌شود. اگر از معادله اول فریدمان نسبت به زمان مشتق بگیریم و از معادله دوم نیز استفاده کنیم با صرف نظر از ثابت کیهان شناسی داریم

${\dot {\rho }}=-3H\left(\rho +{\frac {p}{c^{2}}}\right),$

جستارهای وابسته

• معادلات میدان اینشتین
• مشتق هموردا
• متریک فریدمان-لومتر-رابرتسون-واکر
• عامل مقیاس
• ثابت کیهان شناسی

منابع

• Friedman, A (1922). "Über die Krümmung des Raumes". Z. Phys. 10 (1): 377–386. Bibcode 1922ZPhy...10..377F. (German) (English translation in: Friedman, A (1999). "On the Curvature of Space". General Relativity and Gravitation 31 (12): 1991–2000. Bibcode 1999GReGr..31.1991F.)
• Friedmann, A (1924). "Über die Möglichkeit einer Welt mit konstanter negativer Krümmung des Raumes". Z. Phys. 21 (1): 326–332. Bibcode 1924ZPhy...21..326F. (German) (English translation in: Friedmann, A (1999). "On the Possibility of a World with Constant Negative Curvature of Space". General Relativity and Gravitation 31 (12): 2001–2008. Bibcode 1999GReGr..31.2001F .)
• Ray A d'Inverno, Introducing Einstein's Relativity, ISBN 0-19-859686-3.
• Rees, M. , Just Six Numbers, (2000) Orion Books, London, p. 81, p. 82