پرش به محتوا

بسامد

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
بسامد
یک آونگ که ۲۵ نوسان کامل را در ۶۰ ثانیه انجام می‌دهد، و فرکانس ۰٫۴۲ هرتز دارد.
نمادهای رایج
f, ν
دستگاه بین‌المللی یکاهاهرتز (Hz)
یکاهای دیگر
یکای اصلی اس‌آیs−1
استخراج از
کمیت‌های دیگر
  • f = 1 / T
تحلیل ابعادی
مثالی از یک تابع دوره‌ای با بسامد رو به افزایش

بَسامَد[۱] یا فِرِکانس (به فرانسوی: Fréquence) برابر «تعداد رخداد یک رویداد تکراری» در «واحد زمان» است.[۲] ازاین‌رو گاهی به آن فرکانس زمانی هم می‌گویند تا بر اختلاف آن با فرکانس فضایی تأکید کنند، و گاهی نیز به آن فرکانس معمولی می‌گویند تا بر اختلاف آن با فرکانس زاویه‌ای تأکید کنند. فرکانس به هرتز (Hz) اندازه‌گیری می‌شود، که برابر تعداد تکرار یک رویداد در ثانیه است. دوره تناوب[۳] (به انگلیسی: period) به معنی مدت زمان یک چرخه در یک رویداد تکراری است، از این رو دوره تناوب وارون فرکانس است.[۴] برای مثال، اگر قلب در فرکانس ۱۲۰ بار در یک دقیقه ضربان دارد (۲ هرتز)، دوره تناوب آن T - بازه زمانی بین ضربان‌ها - برابر نیم ثانیه است (۶۰ ثانیه تقسیم بر ۱۲۰ ضربان). فرکانس یک پارامتر مهم است که مخصوصاً در علوم و مهندسی، برای تعیین نرخ پدیده‌های نوسانی و ارتعاشی از آن استفاده می‌شود، مثل ارتعاش مکانیکی، سیگنال صوتی (صداامواج رادیویی و نور.

تعاریف و واحدها

[ویرایش]
یک آونگ با دوره تناوب ۲٫۸ ثانیه و فرکانس ۰٫۳۶ Hz

برای پدیده‌های تناوبی مثل نوسان، امواج، یا برای مثال‌های حرکت همساز ساده، اصطلاح فرکانس به صورت تعداد تناوب یا ارتعاش در واحد زمان تعریف می‌شود. نماد مرسوم فرکانس f است؛ حرف یونانی (nu) هم برای این کار استفاده می‌شود.[۵] دوره تناوب برابر زمان لازم برای تکمیل یک چرخه از یک نوسان است.[note ۱] رابطه بین فرکانس و دوره تناوب توسط این معادله بیان می‌شود:[۷]

از اصطلاح «فرکانس زمانی» برای تأکید روی آنکه فرکانس توسط تعداد رخداد یک رویداد تکراری در واحد زمان، و نه واحد فاصله، مشخص می‌شود، استفاده می‌شود.

یکای فرعی SI برای فرکانس هرتز (Hz) است،[۷] که از نام فیزیکدان آلمانی هاینریش هرتز از کمیسیون بین‌المللی الکتروتکنیک در سال ۱۹۳۰ گرفته شده‌است. این واحد توسط CGPM (کنفرانس عمومی وزن و اندازه‌گیری) در سال ۱۹۶۰ قبول شده‌است، و به صورت رسمی جایگزین نام قبلی اش «چرخه در ثانیه» (cps) شده‌است. واحد SI برای دوره تناوب، مثل همه اندازه‌گیری‌های زمان، ثانیه است.[۸] یک واحد سنتی برای اندازه‌گیری، که همراه با وسایل مکانیکی دورانی استفاده می‌شود، «دور بر دقیقه» است که مخفف آن r/min یا rpm است. 60 rpm معادل یک هرتز است.[۹]

امواج دریایی تولید شده توسط باد، از دیدگاه دوره تناوب‌شان (و نه فرکانس) توصیف می‌شوند.[۱۰]

دوره تناوب دربرابر فرکانس

[ویرایش]

برای راحتی، امواج بزرگتر و آهسته‌تر، مثل امواج سطحی اقیانوس، گرایش دارند که توسط دوره موج و نه فرکانس توصیف شوند. امواج کوتاه و سریع، مثل صدا و رادیو، معمولاً توسط فرکانس‌شان (به جای دوره تناوب‌شان) توصیف می‌شوند. بعضی از تبدیل‌های معمول در زیر فهرست شده‌است:

فرکانس 1 mHz (10−3 Hz) 1 Hz (100 Hz) 1 kHz (103 Hz) 1 MHz (106 Hz) 1 GHz (109 Hz) 1 THz (1012 Hz)
دوره تناوب 1 ks (103 s) 1 s (100 s) 1 ms (10−3 s) ۱ µs (10−6 s) 1 ns (10−9 s) 1 ps (10−12 s)

انواع مرتبط فرکانس

[ویرایش]
نمودار رابطه بین انواع مختلف فرکانس و دیگر ویژگی‌های موج.

فرکانس زاویه‌ای معمولاً به صورت رادیان در ثانیه (rad/s) اندازه‌گیری می‌شود، اما برای سیگنال‌های زمان-گسسته، می‌توان آن را به صورت رادیان در بازه نمونه‌گیری هم بیان کرد، که یک کمیت بدون بعد است. فرکانس زاویه‌ای (در rad/s) از فرکانس معمولی (در Hz) با یک عامل ۲π بزرگتر است.

  • فرکانس فضایی مشابه فرکانس زمانی است، اما محور زمانی توسط یک یا بیشتر محور جابه‌جایی فضایی جایگزین شده‌است، مثل:

عدد موج، k، مشابه فرکانس فضایی برای فرکانس زمانی زاویه‌ای است، و در واحد رادیان در متر اندازه‌گیری می‌شود. اگر بیشتر از یک بعد فضایی داشته باشیم، عدد موج یک کمیت برداری خواهد بود.

در انتشار امواج

[ویرایش]

برای امواج متناوب در رسانه‌های غیرپاششی، (یعنی رسانه‌ای که سرعت موج مستقل از فرکانس است)، فرکانس رابطه معکوسی با طول‌موج λ (لامبدا) دارد. حتی در رسانه پاششی، فرکانس f برای یک موج سینوسی برابر سرعت فازی v برای موج، تقسیم بر طول موج λ برای موج است:

در حالت بخصوصی که امواج الکترومغناطیسی که در خلاء حرکت می‌کنند، v = c است که در آن c سرعت نور در خلاء است، و این عبارت به این صورت می‌شود:

موقعی که امواج از یک منبع تک‌رنگ از یک رسانه به دیگری حرکت می‌کند، فرکانس آن‌ها ثابت می‌ماند (فقط طول‌موج و سرعت آن‌ها تغییر می‌کند).

اندازه‌گیری

[ویرایش]

اندازه‌گیری فرکانس به این شیوه‌ها قابل انجام است:

شمارش

[ویرایش]

محاسبه فرکانس یک رویداد تکراری توسط شمارش تعداد دفعاتی که رویداد در یک دوره زمانی بخصوص رخ می‌دهد، و سپس تقسیم‌کردن این تعداد بر طول زمان دوره انجام می‌شود. برای مثال، اگر ۷۱ رویداد در ۱۵ ثانیه بروز کند، فرکانس این مقدار است:

اگر تعداد رقم خیلی بزرگ نباشد، دقیق‌تر است که بازه زمانی را برای تعداد از قبل معین از رخدادها اندازه‌گیری کنیم، بجای آنکه تعداد راخداد را در یک بازه معین اندازه بگیریم.[۱۱] روش دوم یک خطای تصادفی به رقم بین صفر و یک معرفی می‌کند، از این رو به صورت متوسط نصف رقم است. به این موضوع «خطای دروازه‌ای» گفته می‌شود، و منجر به یک خطای میانگین در فرکانس محاسبه شده به اندازه یا یک خطای کسری به اندازه می‌شود که در آن بازه زمانی و همان فرکانس اندازه‌گیری شده‌است. این خطا با فرکانس کاهش می‌یابد، از این رو، این موضوع معمولاً یک مشکل در فرکانس‌های پایین است که در آن تعداد شمار N کم است.

یک اندازه‌گیر فرکانس نی-تشدید، یک ابزار منسوخ‌شده که از حدود سال ۱۹۰۰ تا دهه ۱۹۴۰ برای اندازه‌گیری فرکانس جریان متناوب از آن استفاده می‌شد. این ابزار شامل یک نوار فلزی با نی‌های دارای طول مدرج است، که توسط آهنربای الکتریکی ارتعاش می‌کرد. وقتیکه فرکانس ناشناخته به آهنربای الکتریکی اعمال می‌شد، نی که در آن فرکانس رزونانس داشت، با یک دامنه بالا، شروع به ارتعاش می‌کرد، که در کنار درجه‌ها قابل مشاهده بود.

چرخش‌بین (استروبوسکوپ)

[ویرایش]

یک روش قدیمی برای اندازه‌گیری فرکانس اشیای چرخنده یا ارتعاشی استفاده از یک چرخش‌بین یا استروبوسکوپ است. این ابزار، یک نور چشمک‌زن تکراری شدید (نور چشمک‌زن یا نور استروب) دارد که فرکانس آن توسط یک مدار زمانی مدرج قابل تنظیم است. نور استروب به یک شیء دورانی اشاره دارد و فرکانس آن به سمت بالا و پایین تنطیم می‌شود. موقعی که فرکانس استروب برابر فرکانس شیء چرخشی یا ارتعاشی است، بین چشمک‌های نور، شیء یک چرخش نوسانی را کامل می‌کند، و به محل اولیه‌اش برمی‌گردد، از این رو موقعی که شیء توسط استروب نورانی می‌شود، شیء مانا به نظر می‌رسد. سپس فرکانس را می‌توان توسط بازخوانی مدرج روی چرخش‌بین خوانده شود. یک ایراد این روش آن است که شیء متناوب در ضرب صحیح از فرکانس استروب‌شده هم مانا به نظر می‌رسد.

شمارش‌گر فرکانس

[ویرایش]
یک شمارش‌گر فرکانس مدرن

فرکانس‌های بالاتر معمولاً توسط یک شمارش‌گر فرکانس اندازه‌گیری می‌شود. این یک ابزار الکترونیکی است که فرکانس یک سیگنال الکترونیکی تکراری عملی را اندازه‌گیری می‌کند، و نتیجه را به هرتز در یک نمایش‌گر دیجیتالی نمایش می‌دهد. این دستگاه از منطق دیجیتال برای شمارش تعداد چرخه‌ها در طول یک بازه زمانی (که توسط یک مبنای زمانی کوارتز دقیق بنا شده‌است) استفاده می‌کند. فرایندهای چرخشی که الکتریکی نیستند، مثل نرخ چرخش یک شافت، ارتعاش مکانیکی، یا امواج صوتی، را می‌توان توسط مبدل، به یک سیگنال الکترونیکی تکراری تیدیل نمود، و سپس سیگنال را به یک شمارش‌گر فرکانس اعمال کرد. تا سال ۲۰۱۸، شمارش‌گرهای فرکانس توانایی پوشش محدوده‌ای تا حدود 100 GHz را داشته‌اند. این موضوع نمایان‌گر حد روش‌های شمارش مستقیم است؛ فرکانس‌های بالاتر از این را باید با روش‌های غیرمستقیم اندازه‌گیری کرد.

روش‌های دگرآمیزی یا هیتروداین

[ویرایش]

برای فرکانس‌های بالاتر از فرکانس شمارش‌گرها، فرکانس سیگنال‌های الکترومغناطیسی معمولاً به صورت غیرمستقیم به کمک هیتروداین یا دگرآمیزی (تبدیل فرکانس) اندازه‌گیری می‌شود. در اینجا یک سیگنال مرجع از فرکانس شناخته‌شده که نزدیک فرکانس ناشناخته است با فرکانس ناشناخته، در یک وسیله ترکیب غیرخطی، مثل دیود، ترکیب می‌شود. این منجر به یک سیگنال دگرآمیزی یا «ضربه» در تفاوت بین دو فرکانس می‌شود. اگر دو سیگنال از نظر فرکانسی به هم نزدیک باشند، دگرآمیزی به اندازه‌ای کم است که توسط یک شمارش‌گر فرکانس اندازه‌گیری شود. این فرایند فقط تفاوت بین فرکانس ناشناخته و فرکانس مرجع را اندازه‌گیری می‌کند. برای رسیدن به فرکانس‌های بالاتر، چندین مرحله از دگرآمیزی قابل استفاده است. تحقیق فعلی این روش را به فرکانس‌های فروسرخ و نوری گسترش می‌دهد (تشخیص دگرآمیزی نوری).

تقسیم‌بندی باندهای فرکانسی

[ویرایش]
طبقه‌بندی فرکانس
محدودهُ فرکانس نام محدودهُ فرکانس کوتاه شده تقسیم‌بندی باند شماره باند
(۳۰– ۳)Hz فرکانس‌های فوق‌العاده پایین ELF Extremely Low Frequencies ۱
(۳۰۰۰– ۳۰۰)Hz فرکانس صدا VF Voice Frequencies ۲
(۳۰– ۳)KHz فرکانس‌های بسیار پایین VLF Very Low Frequencies ۳
(۳۰۰– ۳۰)KHz فرکانس‌های پایین LF Low Frequencies ۴
(۳۰۰۰– ۳۰۰)KHz فرکانس‌های متوسط MF Medium Frequencies ۵
(۳۰– ۳)MHz فرکانس‌های بالا HF High Frequencies ۶
(۳۰۰– ۳۰)MHz فرکانس‌های بسیار بالا VHF Very High Frequencies ۷
(۳۰۰۰– ۳۰۰)MHz فرکانس‌های ماورای بالا UHF Ultrahigh Frequencies ۸
(۳۰– ۳)GHz فرکانس‌های فوق‌العاده بسیار بالا SHF Super-High Frequencies ۹
(۳۰۰– ۳۰)GHz فرکانس‌های فوق‌العاده به شدت بالا EHF Extremely High Frequencies ۱۰
۳۰۰ GHz - 3 THz تراهرتز THF Tremendously High Frequency ۱۱

در اندازه‌گیری فرکانس صدا، امواج الکترومغناطیسی (مانند امواج رادیویی یا نور)، سیگنال‌های الکتریکی یا دیگر امواج، فرکانس بر حسب هرتز، تعداد سیکل‌های شکل موج تکرارشونده است. اگر موج، صدا باشد، فرکانس آن چیزی است که نواک (زیر و بمی) این موج را مشخص می‌کند.

فرکانس رابطه معکوسی با طول موج دارد. فرکانس f برابر است با سرعت v موج تقسیم بر طول موج:

در موارد خاص که امواج الکترومغناطیسی از خلأ عبور می‌کنند، v=c که در آن c برابر سرعت نور در خلأ است و این عبارت به صورت زیر در می‌آید:

نکته:بعضی فرکانس‌ها توسّط حواس دیگر مثل بینائی و بویائی سنجیده می‌شوند

مثال‌ها

[ویرایش]

نور

[ویرایش]
طیف کامل تابش الکترومغناطیسی که آن قسمت از طیف که برای چشم قابل مشاهده است بزرگ شده‌است.

نور مرئی یک موج الکترومغناطیس است، که شامل میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی است که در فضا حرکت می‌کنند. فرکانس موج تعیین‌کننده رنگ آن است: 400 THz یا ۴×۱۰۱۴ Hz برابر نور قرمز و 800 THz یا (۸×۱۰۱۴ Hz) برابر نور بنفش است، و بین این‌ها (در محدوده 400–800 THz) همه رنگ‌های دیگر طیف مرئی قرار دارد. یک موج الکترومغناطیسی با فرکانس کمتر از ۴×۱۰۱۴ Hz برای چشم انسان غیرقابل مرئی است؛ به این موج‌ها تابش فروسرخ (IR) گفته می‌شود. در فرکانس‌های کمتر، به این موج ریزموج گفته می‌شود، و در فرکانس‌های هنوز کمتر به آن موج رادیویی گفته می‌شود. به صورت مشابه، امواج الکترومغناطیسی با فرکانس بالاتر از ۸×۱۰۱۴ Hz نیز برای چشم انسان غیرمرئی است؛ به این موج‌ها تابش فرابنفش (UV) گفته می‌شود. موج‌های با فرکانس بالاتر پرتو ایکس نام دارند، و هنوز بالاتر پرتو گاما هستند.

همه این امواج، از پایین‌ترین-فرکانس امواج رادیویی تا بالاترین-فرکانس پرتو گاما، از بنیاد یکسان هستند، به همه آن‌ها تابش الکترومغناطیسی گفته می‌شود. همه آن‌ها در خلاء با یک سرعت مشابه حرکت می‌کنند (سرعت نور)، که این باعث می‌شود طول‌موج آن‌ها به صورت وارون با فرکانس‌شان متناسب شود.

که در آن c سرعت نور (c در خلاء یا کمتر در دیگر رسانه‌ها)، f فرکانس است و λ طول‌موج است.

در رسانه‌های پاششی، مثل شیشه، سرعت به فرکانس وابسته است، از این رو طول‌موج کاملاً به صورت وارون متناسب با فرکانس نیست.

صدا

[ویرایش]
طیف موج صوتی، که بعضی کاربردها در آن برجسته شده‌است.

صدا به صورت امواج ارتعاش مکانیکی فشار و جابجایی، در هوا و دیگر مواد منتشر می‌شود.[۱۲] به صورت کلی، مولفه‌های فرکانسی صدا تعیین‌کننده «رنگ» آن یا تمبر آن هستند. موقعی که دربارهٔ فرکانس (به صورت منفرد) از یک صدا صحبت می‌کنیم، این یعنی ویژگی که بیشتر تعیین‌کننده زیروبمی آن است.[۱۳]

فرکانس‌هایی که گوش می‌تواند آن را بشوند به یک محدوده بخصوص از فرکانس‌ها محدود است. محدوده فرکانسی قابل شنیدن برای انسان‌ها معمولاً تقریبا بین 20 Hz و 20,000 Hz (20 kHz) است، اگرچه حد فرکانس بالایی معمولاً با سن کاهش می‌یابد. گونه‌های دیگر موجودات محدوده شنوایی متفاوتی دارند. برای مثال، بعضی از نژادهای سگ می‌توانند ارتعاش‌هایی تا 60,000 Hz را درک کنند.[۱۴]

در دیگر رسانه‌ها، مثل هوا، سرعت صوت تقریباً مستقل از فرکانس است، از این رو طول‌موج امواج صدا (فاصله بین تکرارها) تقریباً به صورت وارون با فرکانس متناسب است.

خط جریان

[ویرایش]

در اروپا، آفریقا، استرالیا، ساکنان جنوب آمریکای جنوبی، بیشتر آسیا، و روسیه، فرکانس جریان متناوب در پریزهای الکتریکی خانگی برابر ۵۰ هرتز (نزدیک تون G) است، درحالیکه در آمریکای شمالی و ساکنان شمال آمریکای جنوبی، فرکانس جریان متناوب در پریزهای الکتریکی خانگی ۶۰ هرتز است (بین تن‌های B♭ و B، یعنی، یک سوم کوچک بالای فرکانس اروپایی). فرکانس «وزوز» در ضبط صدا نشان‌دهنده آن است که ضبط در کجا انجام شده‌است، در کشورهایی که از شبکه فرکانس اروپایی یا اینکه آمریکایی استفاده می‌کنند.

فرکانس نادوره‌ای

[ویرایش]

فرکانس نادوره‌ای برابر نرخ رویداد یا رخداد یک پدیده غیر-متناوب، شامل فرایندهای تصادفی، مثل واپاشی هسته‌ای است. این موضوع در واحد اندازه‌گیری ثانیه وارون (s−1[۱۵] یا، در حالات رادیواکتیو بکرل بیان می‌شود.[۱۶]

این موضوع به صورت یک نسبت f = N/T تعریف می‌شود، که شامل تعداد دفعاتی است که یک رخداد (N) در یک مدت زمان (T) روی می‌دهد؛ این موضوع یک کمیت فیزیکی از نوع نرخ زمانی است.

فرکانس در آمار

[ویرایش]

در علم آمار فرکانسیک واقعه برابر است با تعداد دفعات رخ دادن یک حادثه در آزمایش یا مطالعه‌ای که در یک دوره زمانی صورت می‌گیرد. فرکانس‌ها معمولاً به صورت گرافیکی در نمودار هیستوگرام نمایش داده می‌شوند.

تاثیر فرکانس بر مغز[۱۷]

[ویرایش]

تأثیر فرکانس بر مغز یک موضوع پژوهشی پیچیده‌است که در حال حاضر تا حد زیادی توسط دانشمندان مطالعه شده‌است. مغز انسان فعالیت‌های الکتریکی تولید می‌کند که می‌توان آن‌ها را به عنوان امواج مغزی یا همان موج‌های EEG الکتروانسفالوگرام نامید. این موج‌ها بر اساس فرکانس و نوع فعالیت مغزی به پنج دسته تقسیم می‌شوند:

۱. امواج دلتا (Delta):

 - فرکانس: کمتر از ۴ هرتز
 - فعالیت: درخواب عمیق و فعالیت‌های ترمیمی مغز

۲. امواج تتا (Theta):

 - فرکانس: ۴ تا ۸ هرتز
 - فعالیت: در حالت خواب عمیق، خواب REM، و در برخی از وضعیت‌های ذهنی خاص

۳. امواج آلفا (Alpha):

 - فرکانس: ۸ تا ۱۳ هرتز
 - فعالیت: در حالت خواب خفیف، استراحت و وضعیت‌های ذهنی آرام

۴. امواج بتا (Beta):

 - فرکانس: ۱۳ تا ۳۰ هرتز
 - فعالیت: در وضعیت‌های ذهنی فعال، تمرکز، بیداری و فعالیت‌های روزمره

۵. امواج گاما (Gamma):

 - فرکانس: ۳۰ هرتز به بالا
 - فعالیت: در وضعیت‌های ذهنی مرتبط با تمرکز بالا، یادگیری، حل مسائل پیچیده و وضعیت‌های ذهنی خاص

در ادامه می‌توان به پنج اثر فرکانس بر عملکرد ذهنی مغز اشاره کرد:

۱. افزایش تمرکز:
 - امواج بتا و گاما معمولاً با افزایش تمرکز و حل مسائل پیچیده مرتبط هستند.
۲. آرامش و استراحت:
 - امواج آلفا اغلب با وضعیت‌های استراحت، آرامش و حالت‌های ترنج مرتبط می‌شوند.
۳. فعالیت ذهنی عمیق:
 - امواج دلتا معمولاً با فعالیت‌های ذهنی عمیق و خواب مرتبط هستند.
۴. تحلیل حرکات چشم:
 - امواج تتا اغلب با حالت خواب REM (راپید ای یو موومنت) و تحلیل حرکات چشم مرتبط می‌شوند.
۵. حالت‌های تغییر یافته ذهنی:
 - امواج گاما اغلب در حالت‌های ذهنی تغییر یافته مانند تفکر ابتکاری، خلاقیت و حل مسائل پیچیده دیده می‌شوند.

هر فرد و هر شرایط ذهنی ممکن است موج‌های مغزی خود را بر اساس وضعیت و شرایط خود تغییر دهد. این تفاوت‌ها و تغییرات ممکن است ناشی از عوامل مختلفی نظیر استرس، تغییر در وضعیت خواب، یادگیری، و حتی مصرف مواد مخدر باشند.

یادداشت‌ها

[ویرایش]
  1. The term spatial period, sometimes used in place of wavelength, is a different quantity.[۶]

پانویس

[ویرایش]
  1. «بَسامد» [فیزیک] هم‌ارزِ «frequency»؛ منبع: گروه واژه‌گزینی. جواد میرشکاری، ویراستار. دفتر اول. فرهنگ واژه‌های مصوب فرهنگستان. تهران: انتشارات فرهنگستان زبان و ادب فارسی. شابک ۹۶۴-۷۵۳۱-۳۱-۱ (ذیل سرواژهٔ بَسامد)
  2. "Definition of FREQUENCY". Retrieved 3 October 2016.
  3. «دورهٔ تناوب، دوره» [فیزیک] هم‌ارزِ «period»؛ منبع: گروه واژه‌گزینی. جواد میرشکاری، ویراستار. دفتر اول. فرهنگ واژه‌های مصوب فرهنگستان. تهران: انتشارات فرهنگستان زبان و ادب فارسی. شابک ۹۶۴-۷۵۳۱-۳۱-۱ (ذیل سرواژهٔ دورهٔ تناوب)
  4. "Definition of PERIOD". Retrieved 3 October 2016.
  5. Serway & Faughn 1989, p. 346.
  6. Boreman, Glenn D. "Spatial Frequency". SPIE. Retrieved 22 January 2021.
  7. ۷٫۰ ۷٫۱ Serway & Faughn 1989, p. 354.
  8. "Resolution 12 of the 11th CGPM (1960)". BIPM (International Bureau of Weights and Measures). Archived from the original on 8 April 2020. Retrieved 21 January 2021.
  9. Davies 1997, p. 275.
  10. Young 1999, p. 7.
  11. Bakshi, K.A.; A.V. Bakshi; U.A. Bakshi (2008). Electronic Measurement Systems. US: Technical Publications. pp. 4–14. ISBN 978-81-8431-206-5.[پیوند مرده]
  12. "Definition of SOUND". Retrieved 3 October 2016.
  13. Pilhofer, Michael (2007). Music Theory for Dummies. For Dummies. p. 97. ISBN 978-0-470-16794-6.
  14. Elert, Glenn; Timothy Condon (2003). "Frequency Range of Dog Hearing". The Physics Factbook. Retrieved 2008-10-22.
  15. Lombardi, Michael A. (2007). "Fundamentals of Time and Frequency". In Bishop, Robert H. (ed.). Mechatronic Systems, Sensors, and Actuators: Fundamentals and Modeling (به انگلیسی). Austin: CRC Press. ISBN 978-1-4200-0900-2.
  16. Bureau International des Poids et Mesures, Le Système international d’unités (SI) / The International System of Units (SI), 9th ed.[پیوند مرده] (Sèvres: 2019), ISBN 978‑92‑822‑2272‑0, sub§2.3.4, Table 4.
  17. https://www.healthline.com/health-news/your-brain-on-binaural-beats#The-illusion-of-binaural-beats

منابع

[ویرایش]

http://www.merriam-webster.com/dictionary/frequency