مکانیک لاگرانژی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

نسخه‌ای که می‌بینید نسخه‌ای قدیمی از صفحه است که توسط Dexbot (بحث | مشارکت‌ها) در تاریخ ‏۱ مهٔ ۲۰۲۱، ساعت ۱۰:۳۹ ویرایش شده است. این نسخه ممکن است تفاوت‌های عمده‌ای با نسخهٔ فعلی داشته باشد.

مکانیک لاگرانژی فورمول‌بندی و نمایش دوباره‌ای‌ست از مکانیک کلاسیک توسط ژوزف لویس لاگرانژ (در ۱۷۸۸ میلادی) که بر اساس کمینه‌سازی یک تابعی (Functional) به نام کنش (Action) استوار ست (اصل کمترین کنش). بنا به تعریف، لاگرانژین تفاضل انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل است. یعنی داریم:

در اینجا، تکامل سیستم از حالتی به حالت دیگر به نحوی صورت می‌گیرد که انتگرال لاگرانژین کمینه شود. مثلاً، در ساده‌ترین حالت، کُنشِ مکان یک ذره در مکانیک کلاسیک با توجیهی لاگرانژی به صورت زیر نوشته می‌شود:

در اینجا x خود تابعی از زمان است. . کمینه‌کردن کمیت S منجر به معادلاتی می‌شود که اصطلاحاً به آن‌ها معادلات اولر-لاگرانژ می‌گویند:

که می‌شود:

که همان قانون دوم نیوتن است. زمانیکه ما ذره را به صورت نسبیتی بررسی کنیم. لاگرانژی دیگر یک کمیت نرده‌ای نیست، بلکه، یک چاربردار است. تفاضل چابردار جنبشی و پتانسیل به ما چاربردار لاگرانژی را میدهد. و کنش انتگرال چاربردار دیفرانسیلی مکان روی چاربردار لاگرانژی خواهد بود.

همانطور که می‌دانیم، دسترسی کلاسیک به مکانیک کوانتومی از طریق مکانیک همیلتونی صورت می‌پذیرد. از طرف دیگر ریچارد فاینمن موفق شد از طریق مکانیک لاگرانژی به دسترسی مدرن‌تری به سوی مکانیک کوانتومی دست یابد که این دسترسی مدرن از طریق انتگرال مسیر فاینمن (یا انتگرال تابعی) امکان‌پذیر است.

جستارهای وابسته

منابع

  • Goldstein, H. Classical Mechanics, second edition, (Addison-Wesley, 1980)

پیوند به بیرون