سرعت برداری

سرعت برداری (به انگلیسی: Velocity) یک کمیّت اندازه‌گیری بُرداری، از مقدار و جهت جابه‌جایی است. مقدار مطلق بزرگی سرعت را تندی می‌نامند. سرعت را همچنین می‌توان «نرخ جابه‌جایی» تعریف کرد.

تعریف سرعت بُرداری

سرعت نرخ تغییر موقعیت یک جسم با گذشت زمان است. سرعت یک کمیت برداری است که هم دارای اندازه (که به آن تندی گفته می‌شود) و هم دارای جهت است.

تندی میانگین $v$ جسمی که مسافت $r$ را در بازهٔ زمانی $t$ می‌پیماید، از رابطهٔ زیر به‌دست می‌آید:

$v={\frac {r}{t}}$

یا به طور دقیق‌تر: $v_{\mathrm {avg} }={\frac {\Delta r}{\Delta t}}$

سرعت لحظه‌ای ${\vec {v}}$ جسمی که موقعیت آن به صورت تابع زمان با ${\vec {x}}(t)$ داده شده‌است، برابر است با اولین مشتق موقعیت بر حسب زمان:

${\vec {v}}={\frac {d{\vec {x}}}{dt}}$

تندی لحظه‌ای نیز اندازهٔ این بردار سرعت است:

$v=\left|{\frac {d{\vec {x}}}{dt}}\right|$

این تعاریف در هر دو شاخهٔ مکانیک کلاسیک و مکانیک کوانتومی استفاده‌ی گسترده‌ای دارند.

رابطهٔ سرعت بُرداری و شتاب

شتاب تغییر سرعت جسم در خلال زمان است.

شتاب میانگین ${\vec {a}}$ جسمی که سرعت آن در بازهٔ زمانی $t$ از $v_{i}$ به $v_{f}$ تغییر می‌کند، از رابطهٔ زیر به‌دست می‌آید:

${\vec {a}}={\frac {{\vec {v}}_{f}-{\vec {v}}_{i}}{t}}$

شتاب لحظه‌ای ${\vec {a}}$ جسمی که موقعیت آن به صورت تابع زمان با ${\vec {x}}(t)$ داده شده است، برابر است با مشتق دوم موقعیت بر حسب زمان:

${\vec {a}}={\frac {d^{2}{\vec {x}}}{dt^{2}}}$

یا به بیان دیگر، مشتق اول سرعت بر حسب زمان:

${\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}$

رابطهٔ سرعت نهایی و شتاب

اگر جسمی با سرعت اولیهٔ ${\vec {v}}_{i}$ حرکت کند و شتاب ثابت ${\vec {a}}$ داشته باشد، سرعت نهایی آن پس از گذشت زمان $t$ برابر است با:

${\vec {v}}_{f}={\vec {v}}_{i}+{\vec {a}}t$

سرعت میانگین در حرکت با شتاب ثابت

در حرکت با شتاب ثابت، سرعت میانگین برابر است با میانگین حسابی سرعت اولیه و سرعت نهایی:

$v_{\mathrm {avg} }={\frac {v_{i}+v_{f}}{2}}$

این رابطه حتی در مواردی که شتاب ثابت نیست نیز صادق است؛ به شرطی که شتاب در جهت مستقیم باشد (حرکت یک‌بعدی)

رابطهٔ سرعت و جابه‌جایی

برای به‌دست آوردن جابه‌جایی $d$ جسمی که با شتاب ثابت حرکت می‌کند، می‌توان از رابطهٔ سرعت میانگین استفاده کرد و آن را در فرمول جابه‌جایی (= سرعت میانگین × زمان) جایگزین نمود تا رابطهٔ زیر به‌دست آید:

$d={\frac {v_{f}+v_{i}}{2}}\,t$

در مواردی که تنها سرعت اولیهٔ جسم را در اختیار داشته باشیم، می‌توان از فرمول زیر استفاده کرد:

$d=v_{i}t+{\frac {1}{2}}at^{2}$

با ترکیب فرمول‌های پایهٔ جابه‌جایی و سرعت نهایی، می‌توان رابطهٔ جدیدی به‌دست آورد که مستقل از زمان است:

$v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2ad$

این فرمول‌ها هم در مکانیک کلاسیک و هم در نسبیت خاص معتبر هستند. تفاوت مکانیک کلاسیک و نسبیت خاص در توصیف یک وضعیت مشابه توسط ناظران مختلف است؛ به‌ویژه، در مکانیک کلاسیک همهٔ ناظران بر مقدار زمان $t$ توافق دارند. همچنین، تبدیلات گالیله سبب می‌شوند که همهٔ ناظران لخت (فاقد شتاب) مقدار یکسانی را برای شتاب جسم اندازه‌گیری کنند - اما هیچ‌کدام از این موارد در نسبیت خاص صدق نمی‌کنند.

رابطهٔ سرعت و انرژی جنبشی

انرژی جنبشیِ یک جسم در حال حرکت با جرم آن جسم و مجذور سرعتش متناسب است:

E_{v}={\frac {1}{2}}mv^{2}

انرژی جنبشی یک کمیت نرده‌ای است.

جستارهای وابسته

منابع

Physics: Principles with Applications, by Douglas C. Giancoli, Publisher: Prentice Hall, 2004
Fundamentals of Physics, by David Halliday, Publisher: Wiley, 2007