از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
در مکانیک کلاسیک ، یک نوسانگر هماهنگ سیستمی است ذره از موقعیت تعادل خود به اندازه x دور شده‌است و یک نیروی بازگردانده F به آن وارد می‌شود:
F
→
=
−
k
x
→
{\displaystyle {\vec {F}}=-k{\vec {x}}\,}
که k یک ضریب مثبت است.
اگر F تنها نیروی وارد بر ذره باشد نام آن نوسانگر هماهنگ ساده می‌شود، و تحت حرکت هماهنگ ساده حول نقطه تعادل سینوسی خواهد بود دامنه و بسامد نوسان آن ثابت خواهد بود.
اگر یک نیروی اصطکاکی وجود داشته باشد نوسان مورد نظر میرا می‌شود.
در مکانیک کوانتمی نوسانگر هماهنگ کوانتمی نیز وجود دارد که از اعمال شرایط کوانتمی بر پتانسیل‌های نوسانگر هماهنگ بدست می‌آید.
نوسانگر هماهنگ ساده [ ویرایش ] نوسان هماهنگ ساده، حرکتی هماهنگ است که در آن میرایی وجود ندارد. بنابرین نیروی وارد بر آن از فرمول زیر بدست می‌آید:
F
=
m
a
=
m
d
2
x
d
t
2
=
−
k
x
.
{\displaystyle F=ma=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-kx.}
حل این معادله دیفرانسیل نتیجه زیر را دارد:
x
(
t
)
=
A
cos
(
2
π
f
t
+
ϕ
)
,
{\displaystyle x(t)=A\cos \left(2\pi ft+\phi \right),}
که
f
=
1
2
π
k
m
=
1
T
.
{\displaystyle f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}={\frac {1}{T}}.}
این حرکت یک تابع متناوب است.
انرژی پتانسیل ذخیره شده در نوسانگر از رابطه زیر بدست می‌آید:
U
=
1
2
k
x
2
.
{\displaystyle U={\frac {1}{2}}kx^{2}.}
یک
آونگ ساده در شرایط عدم
میرایی و دامنه محدود، حرکت هماهنگ ساده نشان می‌دهد.
بافرض آن‌که میرایی وجود ندارد و دامنهٔ حرکت کوچک است، معادلهٔ دیفرانسیل حاکم بر یک آونگ ساده به صورت زیر است (برای حصول این معادله، می‌توان آونگ را به میزان اندکی منحرف کرد و از قانون دوم اویلر -فرم زاویه‌ای قانون دوم حرکت- بهره گرفت):
d
2
θ
d
t
2
+
g
ℓ
θ
=
0.
{\displaystyle {\mathrm {d} ^{2}\theta \over \mathrm {d} t^{2}}+{g \over \ell }\theta =0.}
جواب این معادله به صورت زیر است:
θ
(
t
)
=
θ
0
cos
(
g
ℓ
t
)
|
θ
0
|
≪
1
{\displaystyle \theta (t)=\theta _{0}\cos \left({\sqrt {g \over \ell }}t\right)\quad \quad \quad \quad |\theta _{0}|\ll 1}
که در آن
θ
0
{\displaystyle \theta _{0}}
دوره تناوب ، زمان لازم برای یک نوسان، از حاصل‌ضرب
2
π
{\displaystyle 2\pi }
g
ℓ
{\displaystyle {\sqrt {g \over \ell }}}
T
0
=
2
π
ℓ
g
|
θ
0
|
≪
1.
{\displaystyle T_{0}=2\pi {\sqrt {\ell \over g}}\quad \quad \quad \quad |\theta _{0}|\ll 1.}
سیستم‌های معادل [ ویرایش ]
حرکت انتقالی
حرکت دورانی
مدار RLC
مدار RLC
موقعیت
x
{\displaystyle x\,}
زاویه
θ
{\displaystyle \theta \,\!}
بار
q
{\displaystyle q\,}
ولتاژ
e
{\displaystyle e\,}
سرعت برداری
d
x
d
t
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\,}
سرعت زاویه‌ای
d
θ
d
t
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\,}
جریان الکتریکی
d
q
d
t
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}\,}
d
e
d
t
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} e}{\mathrm {d} t}}\,}
جرم (فیزیک)
M
{\displaystyle M\,}
ممان اینرسی
I
{\displaystyle I\,}
القاوری
L
{\displaystyle L\,}
ظرفیت خازنی
C
{\displaystyle C\,}
قانون هوک
K
{\displaystyle K\,}
ثابت پیچشی
μ
{\displaystyle \mu \,}
ظرفیت خازنی
1
/
C
{\displaystyle 1/C\,}
سوسپتانس
1
/
L
{\displaystyle 1/L\,}
اصطکاک
γ
{\displaystyle \gamma \,}
اصطکاک دورانی
Γ
{\displaystyle \Gamma \,}
مقاومت الکتریکی
R
{\displaystyle R\,}
مقاومت الکتریکی
1
/
R
{\displaystyle 1/R\,}
Drive نیرو
F
(
t
)
{\displaystyle F(t)\,}
Drive گشتاور
τ
(
t
)
{\displaystyle \tau (t)\,}
e
{\displaystyle e\,}
d
i
/
d
t
{\displaystyle \mathrm {d} i/\mathrm {d} t\,}
تشدید
f
n
{\displaystyle f_{n}\,}
1
2
π
K
M
{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {K}{M}}}\,}
1
2
π
μ
I
{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {\mu }{I}}}\,}
1
2
π
1
L
C
{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {1}{LC}}}\,}
1
2
π
1
L
C
{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {1}{LC}}}\,}
معادلات دیفرانسیل:
M
x
¨
+
γ
x
˙
+
K
x
=
F
{\displaystyle M{\ddot {x}}+\gamma {\dot {x}}+Kx=F\,}
I
θ
¨
+
Γ
θ
˙
+
μ
θ
=
τ
{\displaystyle I{\ddot {\theta }}+\Gamma {\dot {\theta }}+\mu \theta =\tau \,}
L
q
¨
+
R
q
˙
+
q
/
C
=
e
{\displaystyle L{\ddot {q}}+R{\dot {q}}+q/C=e\,}
C
e
¨
+
e
˙
/
R
+
e
/
L
=
i
˙
{\displaystyle C{\ddot {e}}+{\dot {e}}/R+e/L={\dot {i}}\,}
Wikipedia contributors, "Harmonic oscillator," Wikipedia, The Free Encyclopedia, http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Harmonic_oscillator&oldid=485806633 (accessed May 3, 2012).
