معادله تولمن-اوپنهایمر-ولکوف

Tolman–Oppenheimer–Volkoff equation

از حل معادلات میدان اینشتین برای نواحی جرم دار که در آن عناصر تانسور ضربه-انرژی صفر نیستند (و قطعاً به چگالی جرم و انرژی میدان مرتبط می‌باشند) می توان عناصر متریک (سنجه) فضا-زمان را در داخل اجرام ثقیل (همچون ستاره های نوترونی) به صورت تابعی از شعاع و جرم آنها محاسبه کرده و سپس فشار داخلی جرم نسبیتی را بر حسب شعاع ارائه دهیم:

$\frac{dP(r)}{dr}=-\frac{G}{r^2}\left[\rho(r)+\frac{P(r)}{c^2}\right]\left[M(r)+4\pi r^3 \frac{P(r)}{c^2}\right]\left[1-\frac{2GM(r)}{c^2r}\right]^{-1} \;$

روش حل بدین قرار است که می دانیم برای پیوستار چهار بعدی فضا-زمان متریک متقارن چنین است

$c^{2} d\tau^{2} = g_{00}dt^{2} + g_{11}dr^{2} + g_{22}d\theta^{2} + g_{33}d\phi^2 \;$

و برای مدل کروی به صورت تابعی از شعاع کره دارای مولفه های مکانی و زمانی متغیر با شعاع است

$g_{00} = e^{\nu(r)} c^2 \;$ و $g_{11} = - e^{\lambda(r)} \;$

لذا فرم کلی آن برا این اساس چنین خواهد بود

$c^{2} d\tau^{2} = e^{\nu(r)} c^2 dt^{2} - e^{\lambda(r)} dr^{2} - r^2 d\theta^{2} - r^2 \sin^2 \theta d\phi^2 \;$

پس از محاسبه عناصر تانسور اینشتین برای این متریک و سپس با در اختیار داشتن تانسور ضربه-انرژی و قرار دادن این مقادیر در معادلات میدان اینشتین به راحتی می توان عناصر مکانی و زمانی این متریک را طوری بدست آورد که:

$ds^2=e^{\nu(r)} c^2 dt^2 - (1-2GM(r)/rc^2)^{-1} dr^2 - r^2(d\theta^2 + \sin^2 \theta d\phi^2) \;$

$\frac{d\nu(r)}{dr}=- \left(\frac{2}{P(r)+\rho(r)c^2} \right) \frac{dP(r)}{dr} \;$

جستارهای وابسته

• معادلات میدان اینشتین
• تانسور ضربه-انرژی
• فضا-زمان

منابع

• a b c d e J.R. Oppenheimer and G.M. Volkoff (1939). "On Massive Neutron Cores". PhysicalReview 55 (4): 374–381. Bibcode 1939PhRv...55..374O. DOI:10.1103/PhysRev.55.374.
• R.C. Tolman (1934). "Effect of Inhomogeneity on Cosmological Models". Proceedings of the National Academy of Sciences 20 (3): 169–176. Bibcode 1934PNAS...20..169T. DOI:10.1073/pnas.20.3.169.
• R.C. Tolman (1939). "Static Solutions of Einstein's Field Equations for Spheres of Fluid". Physical Review 55 (4): 364–373. Bibcode 1939PhRv...55..364T. DOI:10.1103/PhysRev.55.364.
• I. Bombaci (1996). "The Maximum Mass of a Neutron Star". Astronomy and Astrophysics 305: 871–877. Bibcode 1996A&A...305..871B.