انتگرال: تفاوت میان نسخهها
جز ←کتابشناسی |
|||
خط ۱۸۹: | خط ۱۸۹: | ||
== پیوند به بیرون == |
== پیوند به بیرون == |
||
{{چپچین}} |
|||
* [http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+(cos(1-x))^3+dx ماشین انتگرالگیر برای نمونه معادله <math>\int{cos^3(1-x)}.dx</math> در این لینک موجود است.] |
|||
* {{springer|title=Integral|id=p/i051340}} |
|||
* [http://www.wolframalpha.com/calculators/integral-calculator/ Online Integral Calculator], [[Wolfram Alpha]]. |
|||
* [http://www.mathstools.com/section/main/maximum_minimum_online Online Integral Calculator], by [[MathsTools]]. |
|||
{{پایان چپچین}} |
|||
=== کتابهای برخط === |
|||
{{سینماتیک}} |
|||
{{چپچین}} |
|||
{{آنالیز تابعی}} |
|||
* Keisler, H. Jerome, [http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals], University of Wisconsin |
|||
* Stroyan, K. D., [https://web.archive.org/web/20050911104158/http://www.math.uiowa.edu/~stroyan/InfsmlCalculus/InfsmlCalc.htm A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus], University of Iowa |
|||
* Mauch, Sean, [https://web.archive.org/web/20060415161115/http://www.its.caltech.edu/~sean/book/unabridged.html ''Sean's Applied Math Book''], CIT, an online textbook that includes a complete introduction to calculus |
|||
* Crowell, Benjamin, [http://www.lightandmatter.com/calc/ ''Calculus''], Fullerton College, an online textbook |
|||
* Garrett, Paul, [http://www.math.umn.edu/~garrett/calculus/ Notes on First-Year Calculus] |
|||
* Hussain, Faraz, [http://www.understandingcalculus.com Understanding Calculus], an online textbook |
|||
* Johnson, William Woolsey (1909) [http://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=miun.aam9447.0001.001;view=1up;seq=9 Elementary Treatise on Integral Calculus], link from [[HathiTrust]]. |
|||
* Kowalk, W. P., [http://einstein.informatik.uni-oldenburg.de/20910.html ''Integration Theory''], University of Oldenburg. A new concept to an old problem. Online textbook |
|||
* Sloughter, Dan, [http://math.furman.edu/~dcs/book Difference Equations to Differential Equations], an introduction to calculus |
|||
* [http://numericalmethods.eng.usf.edu/topics/integration.html Numerical Methods of Integration] at ''Holistic Numerical Methods Institute'' |
|||
* P. S. Wang, [http://www.lcs.mit.edu/publications/specpub.php?id=660 Evaluation of Definite Integrals by Symbolic Manipulation] (1972) — a cookbook of definite integral techniques |
|||
{{پایان چپچین}} |
|||
{{انتگرال}} |
|||
[[رده:انتگرالها]] |
[[رده:انتگرالها]] |
||
[[رده:توابع و نگاشتها]] |
[[رده:توابع و نگاشتها]] |
نسخهٔ ۵ دسامبر ۲۰۱۹، ساعت ۰۶:۳۶
بخشی از سری مقالات |
حسابان |
---|
اَنتِگرال (به انگلیسی: Integral)، برای اشاره به انتگرال معیّن (به انگلیسی: definite integral) یا انتگرال نامعیّن (به انگلیسی: indefinite integral) بهکار میرود.
اَنتِگرال معینِ تابع از متغیر حقیقی در بازه ، برابر است با مساحت ناحیه محصور میان نمودار این تابع، محور ، و مرزهای و . حاصل انتگرال معین، میتواند مقداری مثبت، منفی، یا صفر باشد.
اَنتِگرال نامعین را میتوان عکس مشتق بهحساب آورد.
انتگرال از مفاهیم اساسی در ریاضیات است که در کنار مشتق دو عمل اصلی حساب دیفرانسیل و انتگرال را تشکیل میدهند.
نخستین بار لایبنیتس نماد استانداردی برای انتگرال معرفی کرد.
و نقاط ابتدا و انتهای بازه هستند و تابعی انتگرالپذیر است و نمادی برای متغیر انتگرالگیری است.
از لحاظ تاریخی یک کمیت بینهایت کوچک را نشان میدهد. هر چند در تئوریهای جدید، انتگرال بر پایه متفاوتی بنا شدهاست.
انتگرال نامعین
هرگاه مشتق تابعی معلوم باشد و بخواهیم تابع را مشخص کنیم، این عمل را انتگرال نامعین نامیده و آن را با نماد نمایش میدهیم. به انتگرال نامعین، پادمشتق نیز گفتهمیشود، زیرا انتگرال نامعین، عکس مشتق است.
بنا به تعریف، نماد را انتگرال نامعین نامیده و حاصل آن را تابعی مانند در نظر میگیریم هرگاه:
که مقداری ثابت است. در واقع میتوان چنین بیان کرد:
مثال: مقدار انتگرال تابع را حساب کنید:
انتگرال معین
بنا به تعریف، نماد را انتگرال معین نامیده و حاصل آن را به ازای عددی به صورت زیر تعریف میکنیم:
و به ترتیب، کرانهای بالا و پایین انتگرال نامیده میشوند.
تابع انتگرالپذیر
اگر تابعی دارای انتگرال باشد به آن انتگرالپذیر گویند.
تعبیر هندسی انتگرال
از نظر هندسی انتگرال برابر است با مساحت سطح محصور زیر نمودار.
نکته انتگرال نمودار سه بعدی(انتگرال دوگانه) معرف حجم محصور زیر نمودار است و انتگرال سهگانه معرف پارالل زیر نمودار است (غیرقابل تصور).
مثال
انتگرال یک تابع مثبت پیوسته در بازه (۰٬۱۰) در واقع پیدا کردن مساحت محصور بین خطوط x=0 , x=۱۰ و خم منحنی است. aو b نقاط ابتدا و انتهای بازه هستند و f تابعی انتگرالپذیر است و dx نمادی برای متغیر انتگرالگیری است.
انتگرال یک تابع مساحت زیر نمودار آن تابع است.
انتگرالگیری
(محاسبه انتگرال) انتگرالگیری به معنی محاسبه سطح زیر نمودار با استفاده از روشها و قوانین انتگرالگیری است(انتگرال معین). انتگرال را میتوان عمل عکس مشتق معرفی نمود (انتگرال نامعین).
مهمترین تعاریف در انتگرال
از مهمترین تعاریف در انتگرال میتوان از انتگرال ریمان و انتگرال لِبِگ است. انتگرال ریمان بهوسیله برنهارد ریمان در سال ۱۸۵۴ ارائه شد که تعریف دقیقی را از انتگرال ارائه میداد تعریف دیگر را هانری لبگ ارائه داد که طبق این تعریف شرایط تعویضپذیری حد و انتگرال با شرط مساوی ماندن عبارت، ارائه میکرد. از دیگر تعاریف ارائه شده در زمینه انتگرال میتوان به انتگرال ریمان–استیلتیس اشاره کرد. پس بهطور خلاصه سه تعریف زیر از مهمترین تعاریف انتگرال میباشند:
محاسبه انتگرال
اکثر روشهای اساسی حل انتگرال بر پایه قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال بنا نهاده شدهاست که بر طبق آن داریم:
- f تابعی در بازه (a,b) در نظر میگیریم.
- پاد مشتق f را پیدا میکنیم که تابعی است مانند f .
- قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال را در نظر میگیریم.
بنابراین مقدار انتگرال ما برابر خواهد بود.
به این نکته توجه کنید که انتگرال واقعاً پاد مشتق نیست (یک عدد است) اما قضیه اساسی به ما اجازه میدهد تا از پاد مشتق برای محاسبه مقدار انتگرال استفاده کنیم. معمولاً پیدا کردن پاد مشتق تابع f کار سادهای نیست و نیاز به استفاده از تکنیکهای انتگرالگیری دارد این تکنیکها عبارتاند از:
- انتگرالگیری بهوسیله تغییر متغیر
- انتگرالگیری جزء به جزء:
- انتگرالگیری با تغییر متغیر مثلثاتی
- انتگرالگیری بهوسیله تجزیه کسرها
روشهایی دیگر نیز وجود دارد که برای محاسبه انتگرالهای معین به کار میرود همچنین میتوان بعضی از انتگرالها با ترفندهایی حل کرد برای مثال میتوانید به انتگرال گاوسی مراجعه کنید.
تقریب انتگرالهای معین
محاسبه سطح زیر نمودار بهوسیله مستطیلهایی زیر نمودار. هر چه قدر عرض مستطیلها کوچک میشوند مقدار دقیق تری از مقدار انتگرال بدست میآید.
انتگرالهای معین ممکن است با استفاده از روشهای انتگرالگیری عددی، تخمین زده شوند. یکی از عمومیترین روشها، روش مستطیلی نامیده میشود در این روش ناحیه زیر نمودار تابع به یک سری مستطیل تبدیل شده و جمع مساحت آنها نشان دهنده مقدار تقریبی انتگرال است. از دیگر روشهایی معروف برای تخمین مقدار انتگرال روش سیمپسون و روش ذوزنقهای است. اگر چه روشهای عددی مقدار دقیق انتگرال را به ما نمیدهند ولی در بعضی از مواقع که انتگرال تابعی قابل حل نیست یا حل آن مشکل است کمک زیادی به ما میکند.
کاربرد
انتگرالها در واقع مساحت محصور در زیر نمودار هستند و در فیزیک میتوان برای کاربردهای زیادی تعریف کرد مانند کار انجام شده در یک فر آیند ترمودینامیکی از انتگرال رابطه فشار و حجم به دست میآید. اما بهطور کلی میتوان آن را تغییرات کمیت حاصل ضرب افقی و عمودی نمودار نامید مثلاً: در یک رابطه کمیتها را تحلیل ابعادی میکنیم مثلاً رابطه سرعت و زمان را به صورت زیر نوشته میشود:
سپس دو تحلیل را در هم ضرب میکنیم:
پس مساحت محصور در زیر نمودار برابر با تغییرات طول (جابجایی) است.
جستارهای وابسته
منابع
در ویکیانبار پروندههایی دربارهٔ انتگرال موجود است. |
تاریخچه
- Meyer Hirsch, Integraltafeln, oder, Sammlung von Integralformeln (Duncker und Humblot, Berlin, 1810)
- Meyer Hirsch, Integral Tables, Or, A Collection of Integral Formulae (Baynes and son, London, 1823) [English translation of Integraltafeln]
- David Bierens de Haan, Nouvelles Tables d'Intégrales définies (Engels, Leiden, 1862)
- Benjamin O. Pierce A short table of integrals - revised edition (Ginn & co. , Boston, 1899)
پانویس
کتابشناسی
- Apostol, Tom M. (1967), Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra (2nd ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1
- Bourbaki, Nicolas (2004), Integration I, Springer Verlag, ISBN 3-540-41129-1. In particular chapters III and IV.
- Burton, David M. (2005), The History of Mathematics: An Introduction (6th ed.), McGraw-Hill, p. 359, ISBN 978-0-07-305189-5
- Cajori, Florian (1929), A History Of Mathematical Notations Volume II, Open Court Publishing, pp. 247–252, ISBN 978-0-486-67766-8
- Dahlquist, Germund; Björck, Åke (2008), "Chapter 5: Numerical Integration", Numerical Methods in Scientific Computing, Volume I, Philadelphia: SIAM, archived from the original on 2007-06-15
- Folland, Gerald B. (1984), Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (1st ed.), John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-80958-6
- Fourier, Jean Baptiste Joseph (1822), Théorie analytique de la chaleur, Chez Firmin Didot, père et fils, p. §231
Available in translation as Fourier, Joseph (1878), The analytical theory of heat, Freeman, Alexander (trans.), Cambridge University Press, pp. 200–201 - Heath, T. L., ed. (2002), The Works of Archimedes, Dover, ISBN 978-0-486-42084-4
(Originally published by Cambridge University Press, 1897, based on J. L. Heiberg's Greek version.) - Hildebrandt, T. H. (1953), "Integration in abstract spaces", Bulletin of the American Mathematical Society, 59 (2): 111–139, doi:10.1090/S0002-9904-1953-09694-X, ISSN 0273-0979
- Kahaner, David; Moler, Cleve; Nash, Stephen (1989), "Chapter 5: Numerical Quadrature", Numerical Methods and Software, Prentice Hall, ISBN 978-0-13-627258-8
- Kallio, Bruce Victor (1966), A History of the Definite Integral (PDF) (M.A. thesis), University of British Columbia
- Katz, Victor J. (2004), A History of Mathematics, Brief Version, Addison-Wesley, ISBN 978-0-321-16193-2
- Leibniz, Gottfried Wilhelm (1899), Gerhardt, Karl Immanuel (ed.), Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern. Erster Band, Berlin: Mayer & Müller
- Lieb, Elliott; Loss, Michael (2001), Analysis, Graduate Studies in Mathematics, vol. 14 (2nd ed.), American Mathematical Society, ISBN 978-0821827833
- Miller, Jeff, Earliest Uses of Symbols of Calculus, retrieved 2009-11-22
- O’Connor, J. J.; Robertson, E. F. (1996), A history of the calculus, retrieved 2007-07-09
- Rudin, Walter (1987), "Chapter 1: Abstract Integration", Real and Complex Analysis (International ed.), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-100276-9
- Saks, Stanisław (1964), Theory of the integral (English translation by L. C. Young. With two additional notes by Stefan Banach. Second revised ed.), New York: Dover
- Shea, Marilyn (May 2007), Biography of Zu Chongzhi, University of Maine, retrieved 9 January 2009
- Siegmund-Schultze, Reinhard (2008), "Henri Lebesgue", in Timothy Gowers; June Barrow-Green; Imre Leader (eds.), Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press.
- Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (2002), "Topics in Integration", Introduction to Numerical Analysis (3rd ed.), Springer, ISBN 978-0-387-95452-3.
- W3C (2006), Arabic mathematical notation
پیوند به بیرون
کتابهای برخط
- Keisler, H. Jerome, Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals, University of Wisconsin
- Stroyan, K. D., A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus, University of Iowa
- Mauch, Sean, Sean's Applied Math Book, CIT, an online textbook that includes a complete introduction to calculus
- Crowell, Benjamin, Calculus, Fullerton College, an online textbook
- Garrett, Paul, Notes on First-Year Calculus
- Hussain, Faraz, Understanding Calculus, an online textbook
- Johnson, William Woolsey (1909) Elementary Treatise on Integral Calculus, link from HathiTrust.
- Kowalk, W. P., Integration Theory, University of Oldenburg. A new concept to an old problem. Online textbook
- Sloughter, Dan, Difference Equations to Differential Equations, an introduction to calculus
- Numerical Methods of Integration at Holistic Numerical Methods Institute
- P. S. Wang, Evaluation of Definite Integrals by Symbolic Manipulation (1972) — a cookbook of definite integral techniques