قاعده جمع

قاعده جمع در حسابان، روش پیدا کردن مشتق یک تابع است که آن، تابع، از مجموع دو یا چند تابع دیگر حاصل شده باشد. اگر تابعی از مجموع دو تابع u و v حاصل شده باشد آنگاه داریم:

${\frac {d}{dx}}(u+v)={\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{dx}}$

اگر تابعی از مجموع چند تابع حاصل شده باشد آنگاه داریم:

${\frac {d}{dx}}(u+v+w+\dots )={\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{dx}}+{\frac {dw}{dx}}+\cdots$

اثبات

اثبات ساده

اگر تابع (h(x) = f(x) + g(x را در نظر گرفت و فرض کرد که f و g در هر نقطه‌ای مانند x مشتق پذیر هستند. آنگاه باید ثابت کرد که تابع h در x مشتق پذیر است و مشتق آن تابعی مانند (h'(x می‌باشد که از (f'(x)+g'(x حاصل شده‌است.

$h'(x)=\lim _{a\to 0}{\frac {h(x+a)-h(x)}{a}}$

$=\lim _{a\to 0}{\frac {[f(x+a)+g(x+a)]-[f(x)+g(x)]}{a}}$

$=\lim _{a\to 0}{\frac {f(x+a)-f(x)+g(x+a)-g(x)}{a}}$

$=\lim _{a\to 0}{\frac {f(x+a)-f(x)}{a}}+\lim _{a\to 0}{\frac {g(x+a)-g(x)}{a}}$

$=f'(x)+g'(x)$

اثبات پیچیده‌تر

اگر تابع y از مجموع دو تابع u و v حاصل شده باشد:

$y=u+v\,$

اگر y, u و v با اندک افزایش Δy, Δu و Δv، افزایش یابند آنگاه به ترتیب داریم:

$y+\Delta {y}=(u+\Delta {u})+(v+\Delta {v})=u+v+\Delta {u}+\Delta {v}=y+\Delta {u}+\Delta {v}.\,$

بنابراین:

$\Delta {y}=\Delta {u}+\Delta {v}.\,$

و حالا با تقسیم Δx بر دوطرف معادله داریم:

${\frac {\Delta {y}}{\Delta {x}}}={\frac {\Delta {u}}{\Delta {x}}}+{\frac {\Delta {v}}{\Delta {x}}}.$

و اگر Δx به ۰ میل کند:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{dx}}.$

با در نظرف گرفتن y = u + v , مشتق جمع می‌دهد:

${\frac {d}{dx}}\left(u+v\right)={\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{dx}}.$

می‌توان روش را برای تفریق نیز بسط داد:

${\frac {d}{dx}}\left(u-v\right)={\frac {d}{dx}}\left(u+(-v)\right)={\frac {du}{dx}}+{\frac {d}{dx}}\left(-v\right).$

و با لحاظ کردن ضریب k=−۱ داریم:

${\frac {d}{dx}}\left(u-v\right)={\frac {du}{dx}}+\left(-{\frac {dv}{dx}}\right)={\frac {du}{dx}}-{\frac {dv}{dx}}.$

بنابراین قانون برای جمع و تفریق اینگونه تعریف می‌شود:

${\frac {d}{dx}}\left(u\pm v\right)={\frac {du}{dx}}\pm {\frac {dv}{dx}}.$

جستارهای وابسته

• قاعده ضرب
• قاعده زنجیری
• قواعد مشتق‌گیری

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Sum rule in differentiation». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۱۴ آبان ۱۳۹۴.
• باریس پاولوویچ دمیدوویچ (۱۳۸۹)، تمرین‌ها و مسائل آنالیز ریاضی، پرویز شهریاری، وزارت علوم و آموزش عالی، شابک ۹۷۸-۹۶۴-۰۰-۰۲۸۲-۷
• جورج توماس و راس فینی (۱۳۷۰)، حساب دیفرانسیل و انتگرال و هندسهٔ تحلیلی، مرکز نشر دانشگاهی، شابک ۹۷۸-۹۶۴-۰۱-۰۵۳۶-۸