گروه دوری

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در جبر، گروه دوری گروهی است که توسط یک عضوش تولید می‌شود. به ازای هر عدد طبیعی n یک گروه دوری از مرتبهٔ n وجود دارد. هر دو گروه دوری متناهی هم‌مرتبه، یک‌ریخت هستند.

تعریف[ویرایش]

به ازای گروه مفروض G و عضوی چون a از G اگر G = \{ a^n | n\in \mathbb{Z} \} آنگاه a را مولدی برای G و <G = <a را دوری می‌نامیم.

مثال‌ها[ویرایش]

  • در گروه {Z۴ = {۰، ۱، ۲، ۳ داریم:
{۰} = <۰>
{۰، ۱، ۲، ۳} = <۱>
{۲} = <۲>
{۰، ۱، ۲، ۳} = <۳>
یعنی <Z۴ = <۱> = <۳. بنابراین Z۴ دوری است و هر یک از ۱ و ۳ یک مولد آن هستند.

قضیه‌ها[ویرایش]

  • فرض کنیم G یک گروه و a عضو G باشد. در اینصورت
H = \{ a^n | n\in \mathbb{Z} \}
زیر گروهی از G و کوچک‌ترین زیر گروه G شامل a است. بدین معنی که هر زیرگروه شامل a شامل H هم هست. H را زیر گروه دوری G شامل a می‌نامیم.
  • هر گروه دوری آبلی است.
  • هر زیرگروه یک گروه دوری، خود دوری است.
  • مجموعهٔ {n-۱ , ... , ۱، ۰} با عمل جمع به هنگ n گروهی دوری است دارای n عضو که با Zn نمایش داده می‌شود.
  • هر گروه دوری نامتناهی G با گروه جمعی Z از اعداد صحیح یک‌ریخت (ایزومورف) است.

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]