عدد صحیح

مجموعهٔ اعداد درست یا صحیح به مجموعهٔ اعداد طبیعی، قرینهٔ اعداد طبیعی (یا اعداد متناظر منفی اعداد طبیعی)، و {۰} (مجموعه ای که تنها عدد صفر عضو آن است) گفته می‌شود. به زبان دیگر اعداد علامت دار (... , ۳+ , ۲+ , ۱+ , ۰ , ۱- , ۲- , ۳- , ...) را اعداد درست می‌نامیم. این مجموعه شامل اعداد درست مثبت و صفر و اعداد درست منفی است. در ریاضیّات، معمولاً این مجموعه را با Z یا $\mathbb{Z}$ (ابتدای کلمه آلمانی Zahlen به معنی اعداد) نشان می‌دهند. همانند مجموعهٔ اعداد طبیعی، مجموعهٔ اعداد درست نیز یک مجموعهٔ شمارای نامتناهی‌ست.

شاخه‌ای از ریاضیّات که به مطالعهٔ اعداد درست می‌پردازد، نظریهٔ اعداد نام دارد.

[ویرایش] خواص جبری

همانند اعداد طبیعی، $\mathbb{Z}$ نیز نسبت به دو عمل جمع و ضرب بسته است. این بدان معناست که حاصل جمع و حاصل ضرب دو عدد صحیح، خود، یک عدد درست است. بر خلاف مجموعهٔ اعداد طبیعی، از آنجا که اعداد درست منفی، و به ویژه، عدد صفر هم به $\mathbb{Z}$ تعلق دارند، این مجموعه، نسبت به عمل تفریق نیز بسته است. اما $\mathbb{Z}$ تحت عمل تقسیم بسته نیست، زیرا خارج قسمت تقسیم دو عدد صحیح، لزوماً عددی درست نخواهد بود و به کسرهایی که از تقسیم دو عدد درست حاصل‌ آمده باشد، اعداد گویا گفته میشود.

برخی از خواصّ اساسی مربوط به عملیّات جمع و ضرب در جدول زیر گنجانیده شده است (در اینجا b ،a، و c اعداد درست دل‌خواه هستند):

	جمع	ضرب
بسته بودن:	a + b &nbsp؛ یک عدد درست است	a × b &nbsp؛ یک عدد درست است
شرکت‌پذیری:	a + (b + c) = (a + b) + c	a × (b × c) = (a × b) × c
تعویض‌پذیری:	a + b = b + a	a × b = b × a
وجود یک عنصر واحد:	a + 0 = a	a × 1 = a
وجود یک عنصر عکس:	a + (−a) = 0
توزیع‌پذیری:	a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
نبود مقسوم علیه‌های صفر:		اگر ab = 0، آنگاه a = 0 یا b = 0

مطابق جدول بالا، خواصّ بسته بودن، شرکت‌پذیری و جابه‌جایی (یا تعویض‌پذیری) نسبت به هر دو عمل ضرب و جمع، وجود عضو همانی (واحد، یا یکّه) نسبت به جمع و ضرب، وجود عضو معکوس فقط نسبت به عمل جمع، و خاصیّت توزیع‌پذیری ضرب نسبت به جمع از اهمیت برخوردارند.

در مبحث جبر مجرد، پنج خاصیّت اوّل در مورد جمع، نشان می‌دهد که مجموعهٔ $\mathbb{Z}$ به همراه عمل جمع یک گروه آبلی است. امّا، از آن جا که $\mathbb{Z}$ نسبت به ضرب عضو وارون (یا معکوس) ندارد، مجموعهٔ اعداد صحیح، به همراه عمل ضرب، گروه نمی‌سازد.

مجموعهٔ ویژگی‌های ذکر شده حاکی از این است که $\mathbb{Z}$ ، به همراه عملیّات ضرب و جمع، یک حلقه است. امّا به دلیل نداشتن وارون ضربی، میدان نیست. مجموعهٔ اعداد گویا را باید کوچک‌ترین میدانی دانست که اعداد درست را در بر می‌گیرد.

اگرچه تقسیم معمولی در اعداد درست تعریف شده نیست، خاصیّت مهمّی در مورد تقسیم وجود دارد که به الگوریتم تقسیم مشهور است. یعنی به ازاء هر دو عدد درست و دل‌خواه a و b) b مخالف صفر)، q و r منحصر به فردی متعلق به مجموعهٔ اعداد درست وجود دارد، به طوری که: a = q × b + r که در این جا، q خارج قسمت و r باقیمانده تقسیم a بر b است. این کار اساس الگوریتم اقلیدس برای محاسبهٔ بزرگ‌ترین مقسوم علیه مشترک را تشکیل می‌دهد.

همچنین در جبر مجرد، بر اساس خواصی که در بالا ذکر شد، $\mathbb{Z}$ یک دامنه اقلیدسی است و در نتیجه $\mathbb{Z}$ دامنه ایده‌آل اصلی می‌باشد و هر عدد طبیعی بزرگ‌تر از یک را می‌توان به طور یکتا به حاصل‌ضرب اعداد اوّل تجزیه کرد (قضیه اساسی علم حساب).

[ویرایش] کاردینال $\mathbb{Z}$

کاردینال (تعداد از اعضای مجموعه) مجموعهٔ $\mathbb{Z}$ ، برابر الف-صفر است . این یعنی که تعداد اعضای این مجموعه با تعداد اعضای مجموعه‌های $\mathbb{N}$ ، $\mathbb{W}$ و $\mathbb{Q}$ برابر است.