عدد اول

غربال اراتوستنس الگوریتمی ساده و قدیمی برای یافتن همهٔ اعداد اول تا عدد صحیح برگزیده است. این الگوریتم پیش از غربال آتکین، که سریع‌تر و پیچیده‌تر بود، مورد استفاده قرار می‌گرفت. غربال اراتوستنس را اراتوستنس، ریاضیدان یونان باستان در قرن سوم پیش از میلاد ابداع کرد.

عدد اول (به انگلیسی: Prime number)‏ عددی طبیعی است که بر هیچ عددی بجز خود و عدد ۱ بخش‌پذیر نباشد. تنها استثنا عدد ۱ است که جزو این اعداد قرار نمی‌گیرد. اگرعددی طبیعی وبزرگ‌تر از ۱ اول نباشد مرکب است. علامت اختصاری این اعداد $n \!$ است.

رقم یکان اعداد اول بزرگ‌تر از ۱۰ فقط ممکن است ارقام ۱، ۳، ۷، و ۹ باشد.

پیدا کردن رابطه‌ای جبری برای اعداد اول جزو یکی از معماهای ریاضی باقیمانده است و هنوز کسی به فرمولی برای آنها دست نیافته است.

دنبالهٔ اعداد اول به این صورت شروع می‌شود:

۲، ۳، ۵، ۷، ۱۱، ۱۳، ۱۷، ۱۹، ۲۳، ۲۹، ۳۱، ۳۷، ۴۱، ۴۳، ۴۷، ۵۳، ۵۹، ۶۱، ۶۷، ۷۱، ۷۳، ۷۹، ۸۳، ۸۹، ۹۷، ۱۰۱، ۱۰۳، ۱۰۷، ۱۰۹، ۱۱۳، ۱۲۷، ۱۳۱، ۱۳۷، ۱۳۹ (دنبالهٔ A000040 در OEIS)

قضیه‌ها

• قضیه ۱: تعداد اعداد اول بی‌نهایت است.

به این اثبات دقت کنیداز برهان خلف استفاده می کنیم:

فرض خلف : اعداد اول متناهی است.

اعداد اول را در هم ضرب می کنیم.

$P_1,P_2,P_3, ... ,P_n$

ضرب اعداد از $P_i$ بزرگ‌تراست.

$P_1 \times P_2 \times P_3 \times ... \times P_n> P_i$

$P_1 \times P_2 \times P_3 \times ... \times P_n + 1> P_i$

$P_1 \times P_2 \times P_3 \times ... \times P_n + 1 = P_{i_1} ... P_{i_k}$

$P_1 \times P_2 \times P_3 \times ... \times P_n + 1 = P_i \times X$

$P_{i_1} \times ... \times P_{i_k} = P_i \times X$

$P_1 \times P_2 \times P_3 \times ... \times P_n +1 = Y+1$

$P_{i_1} \times Y + 1 = P_{i_1} \times X$

$P_{i_1} \times X - P_{i_1} \times Y = 1$

$P_{i_1}\times(X-Y) = 1$

$P_{i_1} = 1$

که عدد ۱ جزو اعداد اول نیست پس به تناقض می رسیم و فرض خلف باطل است. اعداد اول نامتناهی هستند.

• قضیه ۲ (قضیه اساسی حساب): هر عدد طبیعی بزرگ‌تر از ۱ را می‌توان به شکل حاصل‌ضرب اعدادی اول نوشت.
• قضیه ۳ (قضیه چبیشف):اگر n عددی طبیعی و بزرگ‌تر از ۳ باشد، حتما" بین n و ۲n عدد اولی وجود دارد.

کشف و محاسبه

بزرگ‌ترین عدد اول کشف شده برابر دو به توان ‪ 57‬میلیون و ‪ 885‬هزار و ‪ 161‬منهای یک است.این عدد یک عدد مرسن است. عدد مرسن عددی است که برابر ۲ به توان n منهای یک استگ گروه محاسباتی سراوان دیتا که یک گروه محاسباتی ارانی می‌باشد که در زمینه‌های مختلف محاسباتی از جمله اعداد اول فعالیت می‌کند اعداد بسیاری را کشف و محاسبه کرده از جمله تمام اعداد اول یک تا دویست میلیون

جایزه‌ها برای پیدا کردن اعداد اول

موسسه Electronic Frontier Foundation جایزه‌ای به مبلغ صدهزار دلار برای اولین کسی که یک عدد اول با حداقل 10 میلیون رقم پیدا کند در نظر گرفته است.همچنین مبلغ 150 هزار دلار برای کسی که یک عدد اول با 100 میلیون رقم و 250 هزار دلار برای 1 میلیارد رقم در نظر گرفته شده است.این موسسه ممکن است مبلغ 100 هزار دلار برای دپارتمان ریاضی دانشگاه UCLA که موفق به کشف یک عدد اول 13 میلیون رقمی شدند پرداخت کند.

الگوهای توزیع اعداد اول

یکی از مسائل مورد توجه ریاضی‌دانان، چگونگی توزیع و ترتیب قرارگرفتن اعداد اول درون رشته اعداد طبیعی است. این چگونگی دارای الگوهایی است که یکی از آنها به «الگوی پیشرفت عددی» معروف است.
مثلاً اگر به عدد ۵ که عددی اول است، ۶ واحد اضافه کنیم به ۱۱ و اگر به ۱۱، ۶ واحد اضافه کنیم به ۱۷ و اگر دوباره اضافه کنیم، به ۲۳ و ۲۹ می‌رسیم که همگی اعدادی اولند. اما با اضافه کردن ۶ واحد دیگر به ۳۵ می‌رسیم که عددی اول نیست و الگو متوقف می‌گردد.

مسئله مورد توجه اینست که در هر الگوی پیشرفت چند عدد اول پیش از رسیدن به اولین عدد غیر اول، بدست می‌آیند؟ طولانی‌ترین رشته‌ای که تاکنون بدست آمده، ۲۲ عدد اول را شامل است. اولین عدد اول این رشته ۱۱۴۱۰۳۳۷۸۵۰۵۵۳ بوده که اگر عدد ۴۶۰۹۰۹۸۶۹۴۲۰۰ به آن اضافه شود عدد اول بعدی بوجود می‌آید و می‌توان ۲۲ بار عدد مذکور را به اعداد اول مرحله قبل افزود و عدد اولی جدید بدست آورد. دو ریاضی‌دان اثبات کرده‌اند برای هر رشته از اعداد اول می‌توان به یک رشته عددی رسید.

جستارهای وابسته

• اعداد اول بزرگ
• بزرگ‌ترین عدد اول شناخته‌شده

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Prime_number»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد.
• محسنیان، محمد. «کندوکاو مسئله‌ای دیرینه در زمینه اعداد اول». ماهنامه علمی-فنی دانشمند، تیر ۱۳۸۷، شماره پیاپی ۵۳۷، ص ۱۷.