لم برنساید

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در مسائل ترکیبیاتی به وفور مواردی یافت می شوند که علاقه‌مند به شمارش تعداد حالت‌های ممکن باشیم. این در حالتی است که عموماً بعضی حالت‌های در نظر گرفته شده با یکدیگر هم ارز هستند و با اعمال تبدیل‌های هم ریخت می توان آن‌ها را یکی در نظر گرفت. در این جا ساختار جبری گروه با ویژگی‌های مطلوب بسیار مورد توجه می باشد. از این رو داشتن اطلاعات اولیه راجع به این ساختار جبری توصیه می شود.

تاریخچه[ویرایش]

این لم روشی برای شمارش افراز هایی است که در یک مجموعه به وسیله یک گروه از تبدیلات ایجاد می شود. این فرمول را ویلیام برنساید در سال 1897 در کتاب خود در مورد گروه‌های متناهی بیان کرد و آن را به فردیناند جورج فروبینیوس نسبت داد. اما پیش از آن نیز کوشی در سال 1845 مسائل مشابهی را از این روش حل کرده بود. اما به هر حال ویلیام برنساید برای اولین بار به شکل یک لم و با اثبات آن را مطرح کرد و کمک شایان توجهی در پیشروی نظریه گروه ها کرد.

شمارش و هم ارزی[ویرایش]

مجموعه ای از اعضا مانند S را در نظر می گیریم. گروه G شامل مجموعه ای از توابع با دامنه S و برد S و عمل ترکیب دو تابع را در نظر می گیریم.

(G|G:S->S,ο)


در صورت اعمال به دسته‌های هم ارزی افراز می‌شود به نحوی که در هر یک از این دسته ها، هر عضو تحت عملی در G به سایر اعضای دسته قابل تبدیل است. و در عوض به اعضای سایر دسته‌ها قابل تبدیل نیست. رابطه R را به نحو زیر تعریف می کنیم:
برای o1≤i,j≤ |S| ، Ci,Cj ∈ S داریم Ci R Cj اگر و تنها اگر Cj = G(Ci)
رابطه R با کیفیت بالا یک رابطه هم ارزی است. زیرا :

  1. (ویژگی بازتابی): برای هر Ci ∈ S نتیجه می‌شود که Ci R Ci زیرا G شامل تابع همانی است.(Ci = I(Ci
  2. (ویژگی تقارنی):اگر برای Ci,Cj ∈ S داشته باشیم Ci R Cj پس یک f ∈ G وجود دارد به نحوی که (Cj = f(Ci. از آنجا که G گروه است و در نتیجه شامل تابع معکوس f است. f-1 ∈ G پس می توان گفت (Ci = f-1(Cj و داریم: Cj R Ci .
  3. (ویژگی ترایایی):فرض می کنیم Ci,Cj,Ck ∈ S و Ci R Cj و Cj R Ck در این صورت به ازای توابع f و g متعلق به G داریم (Cj = g(Ci) ، Ck = g(Cj. با توجه به این که G گروه است و در نتیجه بسته است می توان گفت که h = fοg ∈ G در نتیجه (Ck = h(Ci پس Ci R Ck که این مؤید خصلت ترایایی می باشد.
شکل۲

پس R یک رابطه هم ارزی روی S است و آن را به رده‌های هم ارز افراز می کند. در نتیجه به راحتی قابل ملاحظه است که:

S=S1 ∩ ... ∩ Sk


Cj = fk(Ci) ∈ Sm | fk ∈ G,Ci ∈ Sm


برای درک بهتر موضوع توجه به مثال فوق ضروری است:
مربعی که هر یک از رئوس آن می تواند یکی از دو رنگ سیاه یا سفید را بپذیرد در نظر می گیریم. هر یک از حالت‌های ممکن را یکی از اعضای مجموعه S در نظر می گیریم. به این ترتیب S دارای ۱۶ = ۴۲ عضو می باشد. حال مجموعه حرکت‌های سلب دورانی تقارنی را به عنوان مجموعه ای از توابع با دامنه و برد S در نظر می گیریم. این مجموعه با عنوان G در شکل نمایش داده شده است و شامل اعضای زیر است.

  • π۰ : دوران به اندازه 360 درجه (۱۱۲۲۳۳۴۴) = π۰ (در هر ردیف، رأس بالا به رأس پایین منتقل می شود. ۱ به ۱ و ۲ به ۲ و ...)
  • π۱ : دوران به اندازه 90 درجه (۱۲۲۳۳۴۴۱) = π۱
  • π۲ : دوران به اندازه 180 درجه (۱۳۲۴۳۱۴۲) = π۲
  • π۳ : دوران به اندازه 270 درجه (۱۴۲۱۳۲۴۳) = π۳
  • r۱ : تقارن نسبت به محور افقی (۱۴۲۳۳۲۴۱) = r۱
  • r۲ : تقارن نسبت به محور عمودی (۱۲۲۱۳۴۴۳) = r۲
  • r۳ : تقارن نسبت به قطر اصلی (۱۳۲۲۳۱۴۴) = r۳
  • r۴ : تقارن نسبت به قطر فرعی (۱۱۲۴۳۳۴۲) = r۴

هر یک از این تبدیل‌ها را می توان به صورت حاصل ضرب دورهای مجزا نوشت که در هر یک از این دورها عناصر به صورت گردشی جابجا می شوند، برای مثال:
r۲ = (۱۲۲۱۳۴۴۳) = ۰(۱۲).(۳۴)
π۲ = (۱۳۲۴۳۱۴۲) = ۰(۱۲۳۴)
در حالت کلی مشاهده می‌شود که این گروه G آبلی نیست.
در صورتی که تبدیل f بر مجموعه S اعمال شود، *f را تشکیل می دهد. در همین چارچوب به صورت حاصل ضرب دورهای مجزا می توان نوشت:
π۱* = (C۱) (C۲C۳C۴C۵) (C۶C۷C۸C۹) (C۱۰C۱۱) (C۱۲C۱۳C۱۴C۱۵) (C۱۶

r۳* = (C۱) (C۲)(C۳C۵)(C۴) (C۶C۷)(C۸C۹) (C۱۰)(C۱۱) (C۱۲C۱۴)(C۱۳C۱۵) (C۱۶
همان طور که مشاهده می شود، برای این دو نمونه و نیز سایر تبدیل ها، دوری وجود ندارد که بین دو دسته هم ارزی عضو مشترک داشته باشد.
در حالت کلی، S مجموعه پیکر بندیهاست و G تبدیل هایی که روی S عمل می کنند. رابطه R بر S به وسیله xRy تعریف شود، در صورتی که برای π هایی متلق به G باشد، π* = y، آن گاه R یک رابطه هم ارزی است.

لم برنساید[ویرایش]

تابع مولد دومتغیره زیر جهت شمارش تعداد پیکر بندی‌های نا هم ارز S برای حالت خاص بحث شده است.

f(r,w) = r۴ + r۳w + ۲r۲w۲ + rw۳ + w۴

که ضریب هر جمله تعداد پیکر بندی متمایزی که با i رنگ w و n-i رنگ r می توان درست کرد، می باشد. به این تابع فهرست الگویی می گویند.
در لم(قضیه) ای موسوم به برنساید رابطه ای برای شمارش تعداد این پیکر بندی‌های نا هم ارز ارائه شده است:

 \frac{1}{|G|}\sum_{\pi  \in G}\psi(\pi ^*)

که در آن (*π)ψ تعدادی از پیکر بندی‌های S است که به وسیله *π تثبیت می شوند.

مثال کاربردی[ویرایش]

به چند طریق می توان رئوس مربعی را رنگ آمیزی کرد به نحوی که امکان گردش در فضا وجود داشته باشد؟

برای حل از لم برنساید استفاده می کنیم:

  • \psi(\pi_0 ^*)=3^4 زیرا تبدیل همانی تمام پیکربندی‌های S را ثابت نگه می دارد.
  • \psi(\pi_1 ^*)=\psi(\pi_3 ^*)=3 تنهای پیکربندی هایی را ثابت نگه می دارند که تمام رئوسشان رنگ یکسانی داشته باشند.
  • \psi(\pi_2 ^*)=3^2 برای دو رأس در انتخاب رنگ آزادی عمل داریم اما رنگ رئوس روبروی آنها باتوجه به رنگ این دو رأس تعیین می شود.
  • \psi(r_1 ^*)=r(\pi_2 ^*)=3^2 این بار هم برای دو رأس در انتخاب رنگ آزادی عمل داریم اما رنگ رئوس مجاور آنها با توجه به رنگ این دو رأس تعیین می شود.
  • \psi(r_3 ^*)=r(\pi_4 ^*)=3^3 در این تبدیل برای سه رأس آزادی انتخاب داریم. زیرا دو رأس اصلاً تغییر مکان نمی‌دهند و دو رأس دیگر که روبرو هستند همرنگ خواهند بود.

بنا براین:

 \frac{3^4+3+3^2+3+3^2+3^2+3^3+3^3}{8}=21

قضیه برنساید[ویرایش]

بعضاً از لم برنساید با عنوان قضیه برنساید یاد می شود.

در صورتی که قضیه ای دیگر در نظریه گروه ها وجود دارد که موسوم به قضیه برنساید است.

این قضیه بیان می‌کند که هر گروه که مرتبه آن به شکل p^a q^b(که p,q اعداد اول و a,b اعداد طبیعی هستند) قابل تجزیه باشد یک گروه حل پذیر است.

نخستین نتیجه ای که از این قضیه گرفته می‌شود این است که اگر یک گروه غیر آبلی ساده متناهی داشته باشیم، از مرتبه ای تجذیه پذیر به سه عامل اول خواهد بود.

شاخص دور[ویرایش]

روش شمارش پولیا[ویرایش]

منابع و مآخذ[ویرایش]

  • رالف گریمالدی. ریاضیات گسسته و ترکیبیاتی از دیدگاه کاربردی حلد دوم. ترجمهٔ محمد علی عمیدی. تهران: مرکز نشر دانشگاهی، 1385. شابک ‎۹۶۴-۰۱-۰۸۹۰-۱. 
  • مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Burnside`s lemma»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در آوریل ۲۰۱۰).
  • مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Burnside theorem»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در آوریل ۲۰۱۰).