لم برنساید

در مسائل ترکیبیاتی به وفور مواردی یافت می شوند که علاقمند به شمارش تعداد حالت‌های ممکن باشیم. این در حالتی است که عموما بعضی حالت‌های در نظر گرفته شده با یکدیگر هم ارز هستند و با اعمال تبدیل‌های هم ریخت می توان آن‌ها را یکی در نظر گرفت. در این جا ساختار جبری گروه با ویژگی‌های مطلوب بسیار مورد توجه می باشد. از این رو داشتن اطلاعات اولیه راجع به این ساختار جبری توصیه می شود.

تاریخچه

این لم روشی برای شمارش افراز هایی است که در یک مجموعه به وسیله یک گروه از تبدیلات ایجاد می شود. این فرمول را ویلیام برنساید در سال 1897 در کتاب خود در مورد گروه‌های متناهی بیان کرد و آن را به فردیناند جورج فروبینیوس نسبت داد. اما پیش از آن نیز کوشی در سال 1845 مسائل مشابهی را از این روش حل کرده بود. اما به هر حال ویلیام برنساید برای اولین بار به شکل یک لم و با اثبات آن را مطرح کرد و کمک شایان توجهی در پیشروی نظریه گروه ها کرد.

شمارش و هم ارزی

مجموعه ای از اعضا مانند S را در نظر می گیریم. گروه G شامل مجموعه ای از توابع با دامنه S و برد S و عمل ترکیب دو تابع را در نظر می گیریم.

(G|G:S->S,ο)

در صورت اعمال به دسته‌های هم ارزی افراز می‌شود به نحوی که در هر یک از این دسته ها، هر عضو تحت عملی در G به سایر اعضای دسته قابل تبدیل است. و در عوض به اعضای سایر دسته‌ها قابل تبدیل نیست. رابطه R را به نحو زیر تعریف می کنیم:
برای o1≤i,j≤ |S| ، C_i,C_j ∈ S داریم C_i R C_j اگر و تنها اگر C_j = G(C_i)
رابطه R با کیفیت بالا یک رابطه هم ارزی است. زیرا :

1. (ویژگی بازتابی): برای هر C_i ∈ S نتیجه می‌شود که C_i R C_i زیرا G شامل تابع همانی است.(C_i = I(C_i
   
2. (ویژگی تقارنی):اگر برای C_i,C_j ∈ S داشته باشیم C_i R C_j پس یک f ∈ G وجود دارد به نحوی که (C_j = f(C_i. از آنجا که G گروه است و در نتیجه شامل تابع معکوس f است. f^-1 ∈ G پس می توان گفت (C_i = f^-1(C_j و داریم: C_j R C_i .
   
3. (ویژگی ترایایی):فرض می کنیم C_i,C_j,C_k ∈ S و C_i R C_j و C_j R C_k در این صورت به ازای توابع f و g متعلق به G داریم (C_j = g(C_i) ، C_k = g(C_j. با توجه به این که G گروه است و در نتیجه بسته است می توان گفت که h = fοg ∈ G در نتیجه (C_k = h(C_i پس C_i R C_k که این مؤید خصلت ترایایی می باشد.
   

شکل۲

پس R یک رابطه هم ارزی روی S است و آن را به رده‌های هم ارز افراز می کند. در نتیجه به راحتی قابل ملاحظه است که:

S=S₁ ∩ ... ∩ S_k

C_j = f_k(C_i) ∈ S_m | f_k ∈ G,C_i ∈ S_m

برای درک بهتر موضوع توجه به مثال فوق ضروری است:
مربعی که هر یک از رئوس آن می تواند یکی از دو رنگ سیاه یا سفید را بپذیرد در نظر می گیریم. هر یک از حالت‌های ممکن را یکی از اعضای مجموعه S در نظر می گیریم. به این ترتیب S دارای ۱۶ = ۴^۲ عضو می باشد. حال مجموعه حرکت‌های سلب دورانی تقارنی را به عنوان مجموعه ای از توابع با دامنه و برد S در نظر می گیریم. این مجموعه با عنوان G در شکل نمایش داده شده است و شامل اعضای زیر است.

• π_۰ : دوران به اندازه 360 درجه (^۱_۱^۲_۲^۳_۳^۴_۴) = π_۰ (در هر ردیف، رأس بالا به رأس پایین منتقل می شود. ۱ به ۱ و ۲ به ۲ و ...)
• π_۱ : دوران به اندازه 90 درجه (^۱_۲^۲_۳^۳_۴^۴_۱) = π_۱
• π_۲ : دوران به اندازه 180 درجه (^۱_۳^۲_۴^۳_۱^۴_۲) = π_۲
• π_۳ : دوران به اندازه 270 درجه (^۱_۴^۲_۱^۳_۲^۴_۳) = π_۳
• r_۱ : تقارن نسبت به محور افقی (^۱_۴^۲_۳^۳_۲^۴_۱) = r_۱
• r_۲ : تقارن نسبت به محور عمودی (^۱_۲^۲_۱^۳_۴^۴_۳) = r_۲
• r_۳ : تقارن نسبت به قطر اصلی (^۱_۳^۲_۲^۳_۱^۴_۴) = r_۳
• r_۴ : تقارن نسبت به قطر فرعی (^۱_۱^۲_۴^۳_۳^۴_۲) = r_۴

هر یک از این تبدیل‌ها را می توان به صورت حاصل ضرب دورهای مجزا نوشت که در هر یک از این دورها عناصر به صورت گردشی جابجا می شوند، برای مثال:
r_۲ = (^۱_۲^۲_۱^۳_۴^۴_۳) = ۰(۱۲).(۳۴)
π_۲ = (^۱_۳^۲_۴^۳_۱^۴_۲) = ۰(۱۲۳۴)
در حالت کلی مشاهده می‌شود که این گروه G آبلی نیست.
در صورتی که تبدیل f بر مجموعه S اعمال شود، ^*f را تشکیل می دهد. در همین چارچوب به صورت حاصل ضرب دورهای مجزا می توان نوشت:
π_۱^* = (C_۱) (C_۲C_۳C_۴C_۵) (C_۶C_۷C_۸C_۹) (C_۱۰C_۱۱) (C_۱۲C_۱۳C_۱۴C_۱۵) (C_۱۶)۰

r_۳^* = (C_۱) (C_۲)(C_۳C_۵)(C_۴) (C_۶C_۷)(C_۸C_۹) (C_۱۰)(C_۱۱) (C_۱۲C_۱۴)(C_۱۳C_۱۵) (C_۱۶)۰
همان طور که مشاهده می شود، برای این دو نمونه و نیز سایر تبدیل ها، دوری وجود ندارد که بین دو دسته هم ارزی عضو مشترک داشته باشد.
در حالت کلی، S مجموعه پیکر بندیهاست و G تبدیل هایی که روی S عمل می کنند. رابطه R بر S به وسیله xRy تعریف شود، در صورتی که برای π هایی متلق به G باشد، π^* = y، آن گاه R یک رابطه هم ارزی است.

لم برنساید

تابع مولد دومتغیره زیر جهت شمارش تعداد پیکر بندی‌های نا هم ارز S برای حالت خاص بحث شده است.

f(r,w) = r^۴ + r^۳w + ۲r^۲w^۲ + rw^۳ + w^۴

که ضریب هر جمله تعداد پیکر بندی متمایزی که با i رنگ w و n-i رنگ r می توان درست کرد، می باشد. به این تابع فهرست الگویی می گویند.
در لم(قضیه) ای موسوم به برنساید رابطه ای برای شمارش تعداد این پیکر بندی‌های نا هم ارز ارائه شده است:

$\frac{1}{|G|}\sum_{\pi \in G}\psi(\pi ^*)$

که در آن (^*π)ψ تعدادی از پیکر بندی‌های S است که به وسیله ^*π تثبیت می شوند.

مثال کاربردی

به چند طریق می توان رئوس مربعی را رنگ آمیزی کرد به نحوی که امکان گردش در فضا وجود داشته باشد؟

برای حل از لم برنساید استفاده می کنیم:

• $\psi(\pi_0 ^*)=3^4$ زیرا تبدیل همانی تمام پیکربندی‌های S را ثابت نگه می دارد.
• $\psi(\pi_1 ^*)=\psi(\pi_3 ^*)=3$ تنهای پیکربندی هایی را ثابت نگه می دارند که تمام رئوسشان رنگ یکسانی داشته باشند.
• $\psi(\pi_2 ^*)=3^2$ برای دو رأس در انتخاب رنگ آزادی عمل داریم اما رنگ رئوس روبروی آنها باتوجه به رنگ این دو رأس تعیین می شود.
• $\psi(r_1 ^*)=r(\pi_2 ^*)=3^2$ این بار هم برای دو رأس در انتخاب رنگ آزادی عمل داریم اما رنگ رئوس مجاور آنها با توجه به رنگ این دو رأس تعیین می شود.
• $\psi(r_3 ^*)=r(\pi_4 ^*)=3^3$ در این تبدیل برای سه رأس آزادی انتخاب داریم. زیرا دو رأس اصلا تغییر مکان نمی دهند و دو رأس دیگر که روبرو هستند همرنگ خواهند بود.

بنا براین:

$\frac{3^4+3+3^2+3+3^2+3^2+3^3+3^3}{8}=21$

قضیه برنساید

بعضا از لم برنساید با عنوان قضیه برنساید یاد می شود.

در صورتی که قضیه ای دیگر در نظریه گروه ها وجود دارد که موسوم به قضیه برنساید است.

این قضیه بیان می‌کند که هر گروه که مرتبه آن به شکل $p^a q^b$(که p,q اعداد اول و a,b اعداد طبیعی هستند) قابل تجزیه باشد یک گروه حل پذیر است.

نخستین نتیجه ای که از این قضیه گرفته می‌شود این است که اگر یک گروه غیر آبلی ساده متناهی داشته باشیم، از مرتبه ای تجذیه پذیر به سه عامل اول خواهد بود.

منابع و مآخذ

• رالف گریمالدی. ریاضیات گسسته و ترکیبیاتی از دیدگاه کاربردی حلد دوم. ترجمهٔ محمد علی عمیدی. تهران: مرکز نشر دانشگاهی، 1385. شابک ‎۹۶۴-۰۱-۰۸۹۰-۱. 
• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Burnside`s lemma»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در آوریل ۲۰۱۰).
• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Burnside theorem»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در آوریل ۲۰۱۰).