گروه چهارتایی کلاین

در جبر مجرد، گروه چهارتایی کلاین گروهی با چهار عضو و آبلی است. این گروه کوچکترین گروه نادوری است. نام گروه چهارتایی کلاین از ریاضی‌دان آلمانی فلیکس کلاین گرفته شده و معمولاً آن را با V برگرفته از واژهٔ آلمانی Viergruppe (به معنای چهار–گروه) نشان می‌دهند. در حد یک‌ریختی تنها دو گروه چهار عضوی وجود دارد. یکی گروه Z_۴ با عمل جمع به هنگ چهار که دوری است و دیگری گروه کلاین است که دوری نیست.

ویژگی‌ها

گروه چهارتایی کلاین دارای چهار عضو a و b و c و e است. که e عضو همانی است. ضرب اعضای آن به صورت زیر تعریف می‌شود:

ea = ae = a و eb = be = b و ec = ce = c و ee = e و a^۲ = b^۲ = c^۲ = e و ab = ba = c و ac = ca = b و bc = cb = a

جدول گروه کلاین به صورت زیر است:

*	e	a	b	c
e	e	a	b	c
a	a	e	c	b
b	b	c	e	a
c	c	b	a	e

ویژگی‌های ساختاری

• گروه چهارتایی کلاین آبلی است. یعنی به ازای هر دو عضو a و b گروه داریم: ab = ba
• گروه چهارتایی کلاین دوری نیست. زیرا عضوی وجود ندارد تا مولد گروه باشد. e مولد نیست، زیرا {e> = {e> که زیرگروه بدیهی گروه کلاین است. ار طرفی a و b و c نیز نمی‌توانند مولد باشند زیرا {a> = {e,a> و {b> = {e,b> و {c> = {e,c> که هر کدام زیرگروه‌های نابدیهی گروه کلاین هستند.
• هر گروه نادوری از مرتبه چهار با گروه کلاین یک‌ریخت است. به عنوان مثال Z_۲ × Z_۲ گروهی چهار عضوی و نادوری است که با گروه کلاین یک‌ریخت می‌باشد.

جستارهای وابسته

• نظریه گروه‌ها

منابع

• فرالی، جان ب. (۱۳۸۳). بهزاد، مهدی، ویراستار. نخستین درس در جبر مجرد. ج. اول. ترجمهٔ مسعود فرزان. تهران: مرکز نشر دانشگاهی. شابک ۹۶۴-۰۱-۰۳۵۱-۹.
• ساراسینو، دان (۱۳۸۱). جبر مجرد. ترجمهٔ محمدرضا فلکی. مشهد: اقلیدس. شابک ۹۶۴-۹۱۲۱۰-۹-۹.