گروه چهارتایی کلاین

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در جبر مجرد، گروه چهارتایی کلاین گروهی با چهار عضو و آبلی است. این گروه کوچکترین گروه نادوری است. نام گروه چهارتایی کلاین از ریاضی‌دان آلمانی فلیکس کلاین گرفته شده و معمولاً آن را با V برگرفته از واژهٔ آلمانی Viergruppe (به معنای چهار–گروه) نشان می‌دهند.[۱] در حد یک‌ریختی تنها دو گروه چهار عضوی وجود دارد. یکی گروه Z۴ با عمل جمع به هنگ چهار که دوری است و دیگری گروه کلاین است که دوری نیست.[۲]

ویژگی‌ها[ویرایش]

گروه چهارتایی کلاین دارای چهار عضو a و b و c و e است. که e عضو همانی است. ضرب اعضای آن به صورت زیر تعریف می‌شود:

ea = ae = a و eb = be = b و ec = ce = c و ee = e و a۲ = b۲ = c۲ = e و ab = ba = c و ac = ca = b و bc = cb = a

جدول گروه کلاین به صورت زیر است:

* e a b c
e e a b c
a a e c b
b b c e a
c c b a e

ویژگی‌های ساختاری[ویرایش]

  • گروه چهارتایی کلاین آبلی است.[۱] یعنی به ازای هر دو عضو a و b گروه داریم: ab = ba
  • گروه چهارتایی کلاین دوری نیست. زیرا عضوی وجود ندارد تا مولد گروه باشد. e مولد نیست، زیرا {e> = {e> که زیرگروه بدیهی گروه کلاین است. ار طرفی a و b و c نیز نمی‌توانند مولد باشند زیرا {a> = {e,a> و {b> = {e,b> و {c> = {e,c> که هر کدام زیرگروه‌های نابدیهی گروه کلاین هستند.[۱]
  • هر گروه نادوری از مرتبه چهار با گروه کلاین یک‌ریخت است.[۳] به عنوان مثال Z۲ × Z۲ گروهی چهار عضوی و نادوری است که با گروه کلاین یک‌ریخت می‌باشد.

جستارهای وابسته[ویرایش]

پانویس[ویرایش]

منابع[ویرایش]