قطب (آنالیز مختلط)

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در آنالیز مختلط، یک قطب از یک تابع هولومورفیک نوعی از نقطهٔ تکین ساده‌است که مانند تکین 1/zn در z = 0 رفتار می‌کند. یک قطب تابع f(z) نقطهٔ z = a است که اگر z به a میل کند، f(z) به بینهایت میل می‌کند.

فرض کنید U یک زیر مجموعه‌ی باز از صفحهٔ مختلط باشد، a یک عضو U باشد و f : U − {a} → \mathbb{C} هولومورفیک باشد. اگر تابع هولومورفیک g : U\mathbb{C} و عدد طبیعی n وجود داشته باشند که

 f(z) = \frac{g(z)}{(z-a)^n}

برای هر z در U − {a} آنگاه a یک قطب f نامیده می‌شود. اگر n تا حد امکان کوچک انتخاب شود، آنگاه به آن مرتبهٔ قطب می‌گویند. یک قطب از مرتبهٔ یک، قطب ساده نامیده می‌شود.

به طور هم ارز، a یک قطب تابع f از مرتبهٔ n≥ 0 است اگر که یک همسایگی باز U از a وجود داشته باشد به طوری که f : U-{a}→\mathbb{C} هولومورفیک باشد و حد

\lim_{z\to a} (z-a)^n f(z)

موجود و مخالف صفر باشد.

نقطهٔ a یک قطب از مرتبهٔ n از f است اگر و تنها اگر جملات بسط سری لوران f حول a از درجهٔ کوچک‌تر از n- صفر باشند و جملهٔ درجهٔ ‎-n صفر نباشد.

یک قطب از مرتبهٔ صفر یک تکین برداشتنی است. در این حالت حد limza f(z) به صورت یک عدد مختلط وجود دارد. اکر مرتبهٔ قطب بزرگ‌تر از 0 باشد، آنگاه limza f(z) = ∞. اگر مشتق اول تابع f یک قطب ساده در a داشته باشد، آنگاه a یک نقطهٔ انشعاب f است. (عکس آن ممکن است برقرار نباشد).

نقطهٔ تکینی که برداشتنی یا قطب و یا نقطهٔ انشعاب نباشد یک تکین اساسی نامیده می‌شود. یک تابع هولومورفیک که نقاط تکینش فقط قطب هستند مرومورفیک نامیده می‌شود.

جستارهای وابسته[ویرایش]