عدد گویا

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
(تغییرمسیر از اعداد گویا)
پرش به: ناوبری، جستجو

اعداد گویا یا اعداد منطقی در حقیقت همان کسرها (نه همه کسرها) هستند که دارای علامت‌های مثبت و منفی هستند. درواقع اعداد صحیح،طبیعی و اعداد حسابی همه زیر مجموعه‌ای از اعداد گویا هستند. اعداد گویا را می‌توان روی محور نمایش داد. مخرج تمامی اعداد طبیعی یک است و علامت آن‌ها مثبت در نتیجه همهٔ آنان کسر هستند. اعداد اعشاری را می‌توان جزو اعداد گویا به حساب آورد زیرا هر عدد اعشاری را می توان به صورت کسری نوشت که مخرج آن یکی از توانهای مثبت 10 و صورت آن یک عدد صحیح باشد. برای نمایش آنان روی محور می‌توان آنان را به کسر تبدیل نمود. اعداد گویا حاصل تقسیم دو عدد (تقسیم یک عدد صحیح بر یک عدد طبیعی[۱]) هستند. بی نهایت کسر بین دو عدد گویا وجود دارد. اعداد گویا با علامت مثبت بزرگتر از اعداد گویا با علامت منفی هستند. اعداد گویا از منفی بی نهایت تا مثبت بی نهایت ادامه دارند. ضمنا نماد اعداد گویا Q می باشد.

اشتباه نسبتاً رایج، گاهی اعداد کسری را با اعداد گویا یکی می‌دانند. این در حالی‌ست که، اعداد گویا فقط کسرهایی هستند که از تقسیم دو عدد صحیح حاصل‌آمده باشد. به عنوان نمونه، نسبت \frac{\sqrt{3}}{2} کسر هست، ولی، گویا نیست، بلکه اصم یا عدد گنگ است.

بطور کلی می توان اعداد گویا را بدین سان نمایش داد : {x/y|x,y ϵZ ,y≠0|}


مقایسه ی اعداد گویا: برای مقایسه اعداد گویای مثبت پس از هم مخرج کردن آنها، صورتهایشان را مقایسه میکنیم؛ هر کدام که بزرگتر بود، آن عدد بزرگتر است. برای هم مخرج کردن، صورت و و مخرج هر یک از اعداد گویا را در مخرج دیگری ضرب میکنیم.
مثال: کدام یک از از اعداد گویای \frac{5}{11} = \frac{3}{7} بزرگتر هستند؟
پاسخ:

\frac{5}{11} = \frac{5 * 7}{11 * 7} = \frac{35}{77} , \frac{3}{7} = \frac{3 * 11}{7 * 11} = \frac{33}{77}


از آنجا که 33<35 است، پس \frac{35}{77} > \frac{33}{77} یعنی \frac{5}{11} > \frac{3}{7}
نکته: بین دو عدد گویای مثبت که صورتشان برابر است، عددی که مخرجش کوچکتر است، از عدد دیگر بزرگتر میباشد.


جمع و تفریق اعداد گویا: برای جمع و تفریق اعداد گویا ابتدا مخرج کسرها را یکسان میکنیم، سپس یکی از مخرج ها را نوشته و صورت ها را با هم جمع یا تفریق میکنیم.

فرم کلی:
\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+/-bc}{bd}.

مثال:
\frac{4}{3} + \frac{2}{5} = \frac{20+6}{15} = \frac{26}{15}

\frac{5}{6} - \frac{5}{4} = \frac{20-30}{24} =\frac{-10}{24}


ضرب و تقسیم اعداد گویا:برای ضرب اعداد گویا، صورت‌ها را در هم و مخرج‌ها را نیز درهم ضرب می‌کنیم. اما برای تقسیم دو عدد گویا، عدد اول را در معکوس عدد دوم ضرب می‌کنیم.

فرم کلی:
\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}.

\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{ad}{bc}.

مثال:
\frac{2}{5} \cdot \frac{14}{35} = \frac{2 \cdot 14 }{5 \cdot 35} = \frac{28}{175}

\frac{5}{7} \div \frac{3}{5} = \frac{5 \cdot 5 }{7 \cdot 3} = \frac{25}{21}


بدست آوردن عدد یا اعداد گویا بین دو عدد گویا: مخرج کسرهای دو عدد گویا را یکسان میکنیم. سپس کسری می‌نویسیم که مخرج آن با مخرج کسرها یکسان و صورت آن عددی بین عددهای صورت‌های دو عدد گویا باشد.

مثال:
عدد یا اعداد گویای بین عددهای \frac{1}{2} , \frac{2}{3} پیدا کنید.

اول یکسان سازی .... 
\frac{1}{2} = \frac{1 * 3}{2 * 3} = \frac{3}{6} , \frac{2}{3} = \frac{2 * 2}{3 * 2} = \frac{4}{6}


سپس صورت و مخرج این کسرها را در 4 ضرب می‌کنیم. پس، باید بین \frac{12}{24} , \frac{16}{24} اعداد گویا را بیابیم.

اعداد \frac{13}{24} , \frac{14}{24} , \frac{15}{24} بین اعداد مورد نظر ما هستند. 


روش ساده تر نوشتن یک کسر بین دو کسر گویا این است که صورت دو کسر را با هم جمع کنیم و در صورت کسر جدید بنویسیم و مخرج دو کسر را نیز جمع کرده و در مخرج کسر جدید بنویسیم. کسر جدید بین دو کسر خواهد بود.
مثال:

عدد یا اعداد گویای بین عددهای \frac{1}{2} , \frac{2}{3} پیدا کنید.

\frac{1}{2} < \frac{1 + 2}{2 + 3} < \frac{2}{3}




\frac{1}{2} < \frac{3}{5} < \frac{2}{3}



منابع[ویرایش]

  1. chap.sch.ir صفحه ۸.

Wikipedia contributors، "Rational number،" Wikipedia، The Free Encyclopedia، http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Rational_number&oldid=206998939

کتاب ریاضی 1 اول دبیرستان.