تابع هارمونیک

تابع هارمونیک (به انگلیسی: Harmonic function)‏ در تعریف کلاسیک، به توابع حقیقی گفته می‌شود که دارای مشتقات جزئی مرتبه دوم پیوسته بوده و در معادلهٔ لاپلاس صدق کنند.

$\nabla^2 u = 0$

همساز-بودگی ضعیف: قسد داریم مفهوم همسازی تابع را به رده‌ای موسّع‌تر از توابع دو مرتبه مشتق-پذیر گسترش دهیم. از  : $\nabla^2 u = 0$ نتیجه می‌گیریم که به ازای هر تابع هموار فشرده-محمل، برای مثال : $v$، داریم : $v \nabla^2 u = 0$. در نتیجه، با انتگرال-گیری جزء-به-جزء (قضیّه گاوس-گرین-استروگرودسکیی) و توجّه به این نکته که : $v$ فشرده-محمل است، جملات مرزی برابر صفر خواهند بود و خواهیم داشت:

$\int v \nabla^2 u = - \int \nabla v \nabla u= 0$

در این تعریف کفایت می‌کند که تابع : $u$ یک مرتبه مشتق-پذیر ضعیف با مشتقّ در فضای $L^2$ باشد، به بیان فنّی‌تر، در فضای سوبوف  $H^1$. هر تابع با چنین شرایطی که شرط فوق را بر آورد، ضعیفاٌ همساز نامیده می‌شود.

منابع

• K.A. Stroud, Dexter J. Booth, Advanced Engineering Mathematics, 4th ed. Plagrave Macmillan, New York, 2003. ISBN 1-4039-0312-3
• Landis, Second Order Equations of Elliptic and Parabolic Type.