تابع هارمونیک

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

تابع هارمونیک (به انگلیسی: Harmonic function) در ریاضی، فیزیک ریاضی و نظریهٔ فرایندهای تصادفی به توابع حقیقی گفته می‌شود که دارای مشتقات جزئی مرتبه دوم پیوسته بوده و در معادلهٔ لاپلاس صدق کنند. به عبارت دیگر:

 \frac{\partial^2f}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2f}{\partial x_2^2} + \cdots + \frac{\partial^2f}{\partial x_n^2} = 0

که می‌توان آن را بصورت

 \nabla^2 f = 0

یا

\textstyle \Delta f = 0

نشان داد.


همساز-بودگی ضعیف[ویرایش]

قصد داریم مفهوم همسازی تابع را به رده‌ای موسّع‌تر از توابع دو مرتبه مشتق-پذیر گسترش دهیم. از \nabla^2 f = 0 نتیجه می‌گیریم که به ازای هر تابع هموار فشرده-محمل، برای مثال g ، داریم g \nabla^2 f = 0 . در نتیجه، با انتگرال‌گیری جزء به جزء (قضیّه گاوس-گرین-استروگرودسکیی) و توجّه به این نکته که : g فشرده-محمل است، جملات مرزی برابر صفر خواهند بود و خواهیم داشت:

\int g \nabla^2 f   = - \int \nabla g \nabla f= 0

در این تعریف کفایت می‌کند که تابع g یک مرتبه مشتق‌پذیر ضعیف با مشتق در فضای L^2 باشد، به بیان فنّی‌تر، در فضای سوبوف H^1 . هر تابع با چنین شرایطی ضعیفاٌ همساز نامیده می‌شود.

منابع[ویرایش]

  • K.A. Stroud, Dexter J. Booth, Advanced Engineering Mathematics, 4th ed. Plagrave Macmillan, New York, 2003. ISBN 1-4039-0312-3
  • Landis, Second Order Equations of Elliptic and Parabolic Type.