مجموعه باز

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
در شکل، مجموعه نقاط (x, y) که در x۲ + y۲ < r۲ صدق می‌کنند با رنگ قرمز مشخص شده که تشکیل یک مجموعهٔ باز را می‌دهد. (x, y)هایی که در x۲ + y۲ = r۲ صدق می‌کنند نیز نقاط مرزی هستند که با رنگ آبی مشخص شده‌اند. اجتماع نقاط آبی (نقاط مرزی) و نقاط قرمز (مجموعه باز) تشکیل یک مجموعه بسته می‌دهد.

مجموعه باز مجموعه‌ای است که هیچیک از نقاط مرزی خود را شامل نمی‌شود. متمم هر مجموعه باز یک مجموعه بسته است و برعکس. مجموعه‌هایی هستند که نه بازند و نه بسته، یعنی نه هیچکدام و نه همهٔ نقاط مرزی خود را شامل نمی‌شوند.

تعریف[ویرایش]

به طور کلی مجموعه‌های باز به دو صورت تعریف می‌شوند. براساس تعریف نخست یک مجموعه باز است اگر و تنها اگر هیچ کدام از نقاط مرزی خود را شامل نشود و بر طبق تعریف دوم یک مجموعه باز است اگر و تنها اگر هر یک از نقاطش نقطه درونیش باشد. ثابت می‌شود که این دو تعریف معادلند.

در توپولوژی[ویرایش]

اگر X فضایی توپولوژیک با توپولوژی \mathcal{T} باشد، زیر مجموعه U از X را یک مجموعهٔ باز X خوانیم هرگاه U متعلق به \mathcal{T} باشد.

قضیه‌ها[ویرایش]

مثال‌ها[ویرایش]

  • بر خط حقیقی، بازهٔ (–۱ و ۳) یا مجموعهٔ اعداد حقیقی بین ۱– و ۳، باز است. زیرا دو نقطهٔ ۱– و ۳ که نقاط مرزی این مجموعه هستند عضو آن نمی‌باشند. همچنین تمام نقاط این مجموعه (بازه) نقاط درونی هستند.

منابع[ویرایش]