زیرگروه نرمال

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

در جبر مجرد، یک زیرگروه نرمال (به انگلیسی: Normal Subgroup) (که به آن زیرگروه ناوردا یا زیرگروه خود-الحاقی نیز می‌گویند)[۱] زیرگروهی است که تحت مزدوج‌گیری توسط اعضای گروهی که داخل آن قرار دارد ناورداست. به بیان دیگر، یک زیرگروه از گروهی چون در نرمال است اگر و تنها اگر برای تمام و نتیجه شود . نمادگذاری رایج برای زیرگروه نرمال است.

زیرگروه‌های نرمال مهم‌اند، چرا که آن‌ها(و فقط آن‌ها) را می‌توان برای ساخت گروه‌های خارج قسمتیِ گروهِ داده شده مورد استفاده قرار داد. به علاوه، زیرگروه‌‎های نرمال دقیقاً هسته‌های همریختی‌های گروهی با دامنه اند؛ لذا می‌توان از این زیرگروه‌ها به طور ذاتی برای طبقه‌بندی چنین همریختی‌هایی بهره جست.

اواریسته گالوا اولین کسی بود که متوجه اهمیت وجود زیرگروه‌های نرمال شد.[۲]

تعاریف[ویرایش]

یک زیرگروه از را زیرگروه نرمال از گویند، اگر تحت مزدوج‌گیری ناوردا باشد؛ یعنی مزدوج عنصر دلخواهی از تحت عنصر دلخواهی از همیشه در قرار بگیرد.[۳] نمادگذاری این رابطه است.

شرایط معادل[ویرایش]

برای هر زیرگروه از ، شرایط زیر معادل‌اند با این که زیر گروه نرمالی از باشد. بنابراین هر کدام از آن‌ها را می‌توان به عنوان تعریف زیرگروه نرمال به کار برد:

  • تصویر تزویجی (تصویر تحت مزدوج گیری) تحت هر عنصر زیرمجموعه‌ای از باشد.[۴]
  • تصویر تزویجی تحت هر عنصر برابر باشد.[۴]
  • برای تمام ، همدسته‌های چپ و راست و برابر باشند.[۴]
  • همدسته‌های چپ و راست در با هم یکی شوند.[۴]
  • ضرب یک عنصر از همدسته چپ نسبت به و یک عنصر از همدسته چپ نسبت به ، عنصری از همدسته چپ نسبت به باشد: یعنی اگر از و نتیجه شود که .
  • برابر اجتماع رده‌های تزویجی باشد.[۲]
  • تحت درون‌ریختی‌های داخلی از حفظ شود.[۵]
  • همریختی گروهی چون وجود دارد چنان که هسته آن باشد.[۲]
  • برای تمام و ، جابجاگر در باشد.
  • هر دو عنصر گروه در رابطه زیر صدق کنند:

پانویس[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  • Bergvall, Olof; Hynning, Elin; Hedberg, Mikael; Mickelin, Joel; Masawe, Patrick (16 May 2010). "On Rubik's Cube" (PDF). KTH.
  • Cantrell, C.D. (2000). Modern Mathematical Methods for Physicists and Engineers. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-59180-5.
  • Dõmõsi, Pál; Nehaniv, Chrystopher L. (2004). Algebraic Theory of Automata Networks. SIAM Monographs on Discrete Mathematics and Applications. SIAM.
  • Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.
  • Fraleigh, John B. (2003). A First Course in Abstract Algebra (7th ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-15608-2.
  • Hall, Marshall (1999). The Theory of Groups. Providence: Chelsea Publishing. ISBN 978-0-8218-1967-8.
  • Hungerford, Thomas (2003). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer.
  • Judson, Thomas W. (2020). Abstract Algebra: Theory and Applications.
  • Robinson, Derek J. S. (1996). A Course in the Theory of Groups. Graduate Texts in Mathematics. 80 (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-1-4612-6443-9. Zbl 0836.20001.
  • Thurston, William (1997). Levy, Silvio, ed. Three-dimensional geometry and topology, Vol. 1. Princeton Mathematical Series. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08304-9.
  • Bradley, C. J. (2010). The mathematical theory of symmetry in solids : representation theory for point groups and space groups. Oxford New York: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-958258-7. OCLC 859155300.

پیوند به بیرون[ویرایش]