استوانه

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
یک استوانه

اُستوانه یکی از پایه‌ای ترین شکل‌های منحنی فضایی در هندسه است که سطح دور آن را مجموعه نقاطی تشکیل می‌دهد که در فاصلهٔ یکسان از یک خط راست قرار دارند، این خط راست محور نام دارد. دو سر این شکل فضایی به کمک دو صفحهٔ عمود بر محور استوانه بسته می‌شود. سطح و حجم استوانه از گذشته‌های دور برای ریاضی‌دانان معلوم بوده‌است.

در هندسهٔ دیفرانسیل یک استوانه را به صورت یک سطح خط‌کشیده تعریف می‌کنند که مولد آن یک دسته خط موازی می‌باشد. استوانه‌ای که مقطع عرضی آن یک بیضی، سهمی یا هذلولی باشد به ترتیب استوانهٔ بیضی‌گون، استوانهٔ سهمی‌گون و استوانهٔ هذلولی‌گون می‌نامند.

کاربرد روزانه[ویرایش]

در کاربر روزانه یک استوانه به صورت حجمی که دو سر آن بوسیلهٔ یک دایرهٔ راست بسته شده تعریف می‌شود. مانند منشوری که دو سر آن دایره‌های همنهشت قرار دارند (مانند شکل). اگر شعاع استوانه r باشد و بلندی آن h، آنگاه حجم آن برابر خواهد بود با:

سطح کل آن نیز برابر است با:

  • سطح قاعدهٔ بالایی: r۲) +
  • سطح قاعدهٔ پایینی: r۲) +
  • سطح جانبی: (۲πrh)

پس سطح جانبی آن بدون قاعده‌های بالا و پایین می‌شود:

و سطح کل آن همراه با دو قاعدهٔ بالا و پایین می‌شود:

.

اگر قرار باشد برای یک حجم داده شده استوانه‌ای پیدا کنیم که دارای کمترین سطح جانبی باشد، باید بلندی استوانه اندازهٔ قطر آن باشد یا . و اگر قرار باشد برای یک سطح جانبی داده شده، استوانه‌ای پیدا کنیم که بزرگترین حجم را داشته باشد، باز باید ارتفاع برابر با قطر یا باشد. مانند استوانه‌ای که در یک مکعب جای می‌گیرد (قطر قاعده = ارتفاع).

حجم[ویرایش]

یک استوانهٔ دایره‌ای راست با بلندی h و شعاع قاعدهٔ r را اگر چنان قرار دهیم که مبدا مختصات در مرکز دایرهٔ قاعدهٔ آن قرار گیرد و ارتفاع آن در جهت مثبت محور xها باشد. آنگاه صفحهٔ راستی که در فاصلهٔ x از قاعده، استوانه را قطع می‌کند، مساحتی برابر با A(x) دارد، مقدار این مساحت برابر است با:

A(x)=\pi r^2

یا

A(y)=\pi r^2

یک جزء از حجم، استوانهٔ راستی است که قاعدهٔ آن مساحتی برابر با Awi دارد و ضخامتی برابر با Δix دارد. پس اگر V حجم استوانهٔ دایره‌ای راست باشد، با استفاده از جمع‌های ریمانی داریم:

\mathrm{Volume \; of \; cylinder}=\lim_{||\Delta \to 0 ||} \sum_{i=1}^n A(w_i) \Delta_i x
=\int_{0}^{h} A(y) \, dy
=\int_{0}^{h} \pi r^2 \, dy
=\pi\,r^2\,h\,

با استفاده از مختصات استوانه‌ای حجم را می‌توان بوسیلهٔ انتگرال‌گیری بدست آورد:

=\int_{0}^{h} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{r} s \,\, ds \, d\phi \, dz
=\pi\,r^2\,h\,

قطاع‌های استوانه‌ای[ویرایش]

قطاع‌های استوانه‌ای از برخورد یک یا چند استوانه با یک یا چند صفحه ایجاد می‌شود. برای یک استوانهٔ راست دایره‌ای چهار احتمال وجود دارد. صفحه مماس با استوانه‌است درنتیجه نقطهٔ مشترک صفحه و استوانه تنها یک خط راست است؛ صفحه و استوانه یکدیگر را قطع نمی‌کنند؛ یا به صورت راست قطع می‌کند به گونه‌ای که نقطه‌های مشترک آن‌ها دو خط موازی می‌شود. صفحه و استوانه یکدیگر را قطع می‌کنند و تشکیل یک بیضی می‌دهند، در صورتی که صفحه عمود بر محور استوانه باشد، تشکیل یک دایره را می‌دهند.[۱]

دیگر گونه‌های استوانه[ویرایش]

یک استوانهٔ بیضی‌گون

یک استوانهٔ بیضی‌گون یا بیضوی، یک رویهٔ درجهٔ دوم است که در دستگاه مختصات دکارتی از رابطهٔ زیر پیروی می‌کند:

\left(\frac{x}{a}\right)^2+ \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1

رابطهٔ بالا که برای یک برای یک استوانهٔ بیضی‌گون نوشته شده‌است، حالت کلی تر رابطهٔ استوانهٔ دایره ای است (). رابطهٔ عمومی تر استوانه برای حالتی است که سطح مقطع یک خم دلخواه باشد.

رابطهٔ استوانه مربوط به یک رویهٔ درجهٔ دوم است چون حداقل یکی از محورهای مختصات (در این مورد، محور z)ها) در آن ظاهر نشده‌است.

در یک استوانهٔ مایل قاعده‌های بالا و پایین کمی نسبت به یکدیگر جابه‌جا شده‌اند.

گونه‌های دیگری از استوانه وجود دارد که چندان معمول نیستند. این گونه‌ها عبارتند از استوانه‌های بیضی‌گون پنداری:

\left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2 = -1

استوانه‌های هذلولی‌گون:

\left(\frac{x}{a}\right)^2 - \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1

استوانه‌های سهمی‌گون:

 {x}^2+2a{y}=0 \,

برای نمایش سطح استوانه‌ای به دور یک محور دلخواه:

 v = (\alpha, \beta, \gamma) \,

باید از مختصات کروی استفاده کرد:

\rho=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2\,
\theta=arctan\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)
\phi=arcsin\left(\frac{\gamma}{\rho}\right)

حال از فرمول آشنای: A^2 + B^2 = R^2 \, استفاده می‌کنیم:

که در آن A=-xsin(\theta)+ycos(\theta)cos(\phi)+zcos(\theta)sin(\phi)

و B = -ysin(\phi)+zcos(\phi)

و R شعاع استوانه‌است. معمولاً این نتیجه‌ها با استفاده از ماتریس‌های دوران بدست می‌آید.

در دنیای بیرون[ویرایش]

در دنیای بیرون، یک استوانه را می‌توان به صورت مخروطی تعریف کرد که راس آن در بینهایت قرار دارد.

در دنیای بیرون، یک استوانه را می‌توان به صورت مخروطی تعریف کرد که راس آن در بینهایت قرار دارد.

یادداشت و منبع[ویرایش]

پیوند به بیرون[ویرایش]