مربع

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

Square - geometry.svg

مربع یا چهارگوش در هندسه یک چهار ضلعی منتظم است به عبارت دیگر خمی بسته‌است که چهار ضلع دارد که همهٔ این ضلع‌ها با هم برابر اند و با یکدیگر دو به دو زاویهٔ ۹۰ درجه یا راست می‌سازند.[۱] تعریف دیگر برای مربع عبارت است از: مربع، راست‌گوشه‌ای یا مستطیلی است که ضلع‌های مجاورش طولی برابر دارند. یک مربع که نام چهار گوشه‌اش ABCD باشد به صورت ABCD \square نمایش داده می‌شود.

مربع حالت دو بُعدی یا n=۲ از خانوادهٔ ابرمکعب‌ها و n-ابرهشت‌وجهی‌ها است.

شناسه[ویرایش]

یک چهارضلعی محدب یک مربع است اگر و تنها اگر یکی از شرط‌های زیر را داشته باشد:[۲][۳]

پیرامون و سطح[ویرایش]

مساحت یک مربع برابر است با حاصل ضرب طول ضلع‌های مجاورش.

پیرامون یک مربع با ضلع n برابر است با:

محیط: n × ۴

و مساحت آن برابر است با:

مساحت: n۲

به صورت سنتی در ریاضی به توان دوم یک عبارت مربع آن عبارت گفته می‌شود مانند رابطهٔ بالا که در آن مساحت برابر توان دوم ضلع بود. در ادامه چنین کاربردی عبارت مربع کامل نیز به واژه نامهٔ ریاضیات افزوده شد به معنی به توان دو رساندن.

دستگاه مختصات و معادله‌ها[ویرایش]

گوشه‌های یک مربع که مرکز آن بر روی مبدا مختصات قرار دارد و طول لبه‌های آن (ضلع) ۲ است بر روی نقطه‌های (±۱،  ±۱) جای می‌گیرد. درون این چهارگوش از تمامی نقطه‌های xi, yi ساخته شده در حالی که −۱ <xi و −۱ <yi

معادلهٔ زیر:

\max(x^2, y^2) = 1

توضیح دهندهٔ یک مربع با طول لبه‌های ۲ و مرکزی در مبدا مختصات است. این معادله به این معنا است که x۲ یا y۲ کمتر از یک اند. در این حالت شعاع دایرهٔ محیطی مربع برابر با نصف قطر مربع است و مقدار آن برابر با \scriptstyle \sqrt{2} می‌باشد. به این ترتیب معادلهٔ دایرهٔ محیطی عبارت است از:

x^2 + y^2 = 2.

ساخت[ویرایش]

ساخت یک مربع با کمک پرگار و خط کش بدون اندازه‌گیری.

پویانمایی روبرو چگونگی کشیدن یک مربع با کمک یک پرگار و سَتّاره را نمایش می‌دهد.

همچنین نگاه کنید به سه بخش کردن زاویه

ویژگی‌ها[ویرایش]

یک مربع حالت ویژه‌ای از یک لوزی (ضلع‌های برابر، زاویه‌های روبروی برابر)، یک بادبادک (دو جفت ضلع مجاور برابر)، یک متوازی‌الأضلاع (ضلع‌های روبروی موازی)، یک چهارضلعی یا چهاروجهی و یک راست‌گوشه (ضلع‌های روبروی برابر، زاویه‌های راست) است. به این معنی که مربع همهٔ ویژگی این شکل‌های هندسی نام برده شده را دارد.[۴]

هندسهٔ نااقلیدوسی[ویرایش]

در هندسهٔ نااقلیدوسی مربع‌ها بیشتر چهارگوش‌هایی با چهار ضلع و زاویهٔ برابرند. در هندسهٔ کروی، مربع، چهارگوشی است که هر ضلع آن کمانی از دایرهٔ بزرگ است که فاصلهٔ برابر دارند در نتیجه در زاویه‌های برابر با هم برخورد می‌کنند. بر خلاف مربع در هندسهٔ مسطحه، زاویه‌های مربع بزرگتر از زاویهٔ راست گوشه است. هرچه مربع کروی بزرگتر باشد زاویه‌های بزرگتری هم دارد.

در هندسهٔ هذلولی گون مربع با زاویهٔ راست اصلاً وجود ندارد. در این هندسه مربع‌ها زاویه‌هایی کوچکتر از زاویهٔ راست دارند. هرچه مربع هذلولی گون بزرگتر باشد زاویه‌های آن کوچکتر خواهد بود.

چند نمونه:

Square on sphere.svg
شش مربع می‌تواند یک کره را بپوشانند بگونه‌ای که در هر گوشه (راس) سه مربع جای می‌گیرد و زاویهٔ درونی ۱۲۰ درجه می‌سازد. به چنین شکلی، مکعب کروی می‌گوییم. رمز اشلفلی آن {۴٬۳} است.
Square on plane.svg
در هندسهٔ اقلیدوسی مربع در صفحه چهار گوشه با زاویه‌های ۹۰ درجه و چهار صلع برابر دارد. رمز اشلفلی آن {۴٬۴} است.
Square on hyperbolic plane.png
در صفحهٔ هذلولی گون در هر گوشهٔ مربع ۵ مربع در پیرامون جای می‌گیرد و زاویه‌های ۷۲ درجه ساخته می‌شود. رمز اشلفلی آن {۴٬۵} است. در حقیقت به ازای n ≥ ۵ برای فرش کردن صفحه پیرامون هر گوشه، n مربع جای می‌گیرد.

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

جستجو در ویکی‌انبار در ویکی‌انبار پرونده‌هایی دربارهٔ مربع موجود است.
  1. Weisstein, Eric W. "Square." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
  2. Zalman Usiskin and Jennifer Griffin, "The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition", Information Age Publishing, 2008, p. 59, ISBN 1-59311-695-0.
  3. J. Wilson, Problem set 1.3, 2010, [۱]
  4. http://www.mathsisfun.com/quadrilaterals.html/