از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
مشتق پارامتری یک نوع مشتق در حسابان است و زمانی که هر دو متغیر وابسته و مستقل x و y به متغیر سومی (مانند t که زمان در نظر گرفته می‌شود) وابسته باشند بکار می‌رود.
به عنوان مثال مجموعه از توابع را در نظر بگیرید که در آن:
x
(
t
)
=
4
t
2
{\displaystyle x(t)=4t^{2}\,}
و
y
(
t
)
=
3
t
.
{\displaystyle y(t)=3t.\,}
مشتق اول معادله پارامتری بالا:
d
y
d
t
d
x
d
t
=
y
˙
(
t
)
x
˙
(
t
)
,
{\displaystyle {\frac {\frac {dy}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}={\frac {{\dot {y}}(t)}{{\dot {x}}(t)}},}
که در آن،
x
˙
(
t
)
{\displaystyle {\dot {x}}(t)}
قاعده زنجیری برای مشتق‌های:
d
y
d
x
=
d
y
d
t
⋅
d
t
d
x
,
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}\cdot {\frac {dt}{dx}},}
افتاد، یا به عبارت دیگر
d
y
d
x
=
d
y
d
t
d
x
d
t
.
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {\frac {dy}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}.}
که شکل رایج تر آن به صورت:
d
y
d
t
=
d
y
d
x
⋅
d
x
d
t
{\displaystyle {\frac {dy}{dt}}={\frac {dy}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}}
می‌باشد و مشتق هر دو طرف با معادله بالا را نتیجه می‌دهد.
d
x
d
t
{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}}
d
x
d
t
=
8
t
{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=8t}
و
d
y
d
t
=
3
,
{\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=3,}
می‌شود که فرمول آن به صورت زیر می‌شود
d
y
d
x
=
y
˙
x
˙
=
3
8
t
,
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}={\frac {3}{8t}},}
زمانی که
x
˙
{\displaystyle {\dot {x}}}
y
˙
{\displaystyle {\dot {y}}}
مشتق دوم یک معادله پارامتری به صورت زیر می‌باشد:
d
2
y
d
x
2
{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}}
=
d
d
x
(
d
y
d
x
)
{\displaystyle ={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)}
=
d
d
t
(
d
y
d
x
)
⋅
d
t
d
x
{\displaystyle ={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)\cdot {\frac {dt}{dx}}}
=
d
d
t
(
y
˙
x
˙
)
1
x
˙
{\displaystyle ={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}\right){\frac {1}{\dot {x}}}}
=
x
˙
y
¨
−
y
˙
x
¨
x
˙
3
{\displaystyle ={\frac {{\dot {x}}{\ddot {y}}-{\dot {y}}{\ddot {x}}}{{\dot {x}}^{3}}}}
