فرایند شاخه‌ای

یک فرایند تصادفی را فرایند شاخه‌ای می‌گویند در این صورت که برای مدل کردن جمعیتی به کار رود که در آن هر فرد از نسل n به تعدادی تصادفی $\kappa _{n}$ فرزند در نسل n+1 تولید کند، که $\kappa _{n}$ در هر $n$ از یک توزیع مشخص انتخاب می‌شود. به دلیل ثابت بودن تابع توزیع احتمال و وابسته بودن تعداد اعضا در هر نسل تنها به نسل قبل، این فرایند یک زنجیره مارکوف می‌سازد.این فرایندها به طور عمده برای مدل کردن تولید مثل در جمعیت‌های گوناگون به کار می‌روند، برای مثال در باکتری‌ها در هر پله ی زمانی $n$ هر باکتری به ۰، ۱ یا ۲ باکتری (فرزند) تبدیل می‌شود و یا در رآکتور هسته‌ای می‌توان برای مدل کردن تقسیم نوترونها استفاده کرد.

تمرکز اصلی در نظریهٔ فرایندهای تصادفی احتمال انقراض است، که به حالتی اشاره دارد که پس از تعداد متناهی نسل، دیگر هیچ فردی باقی نماند. می‌توان نشان داد که با فرض شروع با یک نفر در نسل صفر، متوسط اندازهٔ نسل $n$ -ام برابر است با $\mu ^{n}$ ، اگر متوسط تعداد فرزندان هر نفر $\mu$ باشد. اگر $\mu <1$ باشد، آنگاه تعداد متوسط افراد با سرعت به سمت صفر میل می‌کند که در این صورت طبق نابرابری مارکوف با احتمال ۱ منقرض می‌شود. از طرف دیگر، اگر $\mu >1$ باشد، آنگاه احتمال انقراض کمتر از ۱ است. برای $\mu =1$ ، در نهایت انقراض با احتمال ۱ رخ می‌دهد، مگر اینکه هر فرد دقیقاً یک فرزند داشته باشد.[۱]

تابع مولد

ابزاری مهم برای تحلیل فرایند شاخه‌ای تابع مولد آن است. در نظر بگیرید، احتمال آن که یک عضو در نسل بعد k فرزند داشته باشد : $P_{1}(1,k)=p_{k}$ باشد، در این صورت تابع مولد برای این فرایند به صورت زیر تعریف می‌شود:

f(s)=\sum _{k=0}^{\infty }s^{k}p_{k}

به صورت کلی s می‌تواند مختلط باشد^[۱]. اگر n بار تکرار این تابع توزیع بر خودش را : $f_{n}(s)$ تعریف کنیم، و تابع مولد احتمال را برای نسل nام به صورت : $f_{(n)}(s)$ تعریف کنیم، با استفاده از مارکوفی بودن این فرایند و استفاده از معادله چپمن کولموگروف می‌توان نشان داد که:

f_{(n)}(s)=f_{n}

این رابطه نشان می‌دهد که با تکرار تابع مولد می‌توان تابع مولد را برای نسل nام بازسازی کرد. با استفاده از تابع مولد همچنین می‌توان میانگین و دیگر مقادیر آماری فرایند را پیدا کرد:^[۲]^[۳]

EZ_{1}=\sum _{k=0}^{\infty }kP_{1}(1,k)=f^{\prime }(1)=m

EZ_{n}=\sum _{k=0}^{\infty }kP_{n}(1,k)=f_{n-1}^{\prime }(1)f^{\prime }(1)=...=[f^{\prime }(1)]^{n}=m^{n}

ویژگی‌های ابتدایی این تابع توزیع (بر حسب s) به صورت خلاصه به شکل زیر است:

در بازه $[0,1]$ همواره افزایشی است.
و $f(1)=1$ .
اگر $m\leq 1$ در بازه $[0,1)$ : $t\leq f(t)$ خواهد بود.
اگر $1\leq m$ در بازه : $[0,1)$ معادله $f(t)=t$ یک ریشه خواهد داشت.

ریشه معادله‌ی $f(t)=t$ را q اگر بنامیم، با توجه به مقدار میانگین فرایند (m) دو حالت می‌تواند اختیار کند:

$m\leq 1$ و $q=1$
$m>1$ و $q<1$

اگر تابع مولد را تکرار کنیم، نشان داده می‌شود که مقدار به دست آمده همواره به q نزدیک می‌شود، در نتیجه خواهیم داشت^[۱]:

$lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(s)=q$

انقراض

از مهم‌ترین کاربردهای فرایند شاخه‌ای، پیدا کردن احتمال انقراض در زمان (تعداد نسل) محدود است. انقراض به این معنا است که تعداد فرزندان در یک نسل برابر با 0 شود و از آن نسل به بعد هیچ نسلی عضوی نخواهد داشت. به عنوان یک مثال ساده اگر $p_{0}=0$ باشد (یعنی احتمال آن که عضوی از خود فرزندی به جا نگذارد برابر با صفر باشد)، سیستم هیچ وقت منقرض نخواهد شد^[۲]. برای سیستم‌های غیر بدیهی، احتمال انقراض وابسته به میانگین تابع احتمال (m) خواهد بود.

ریشه‌ی معادله‌ی $f(t)=t$ به عنوان احتمال انقراض سیستم شناخته می‌شود. با توجه به مقدار m سه حالت برای آن وجود خواهد داشت^[۱]:

$m<1$ و $q=1$ ، در نتیجه احتمال انقراض برابر با ۱ خواهد بود و حتماً منقرض می‌شود.
$m=1$ و $q=1$ ، احتمال انقراض برابر با ۱ خواهد بود و سیستم به غیر از یک حالت خاص منقرض می‌شود. این حالت خاص وقتی است که $p_{1}=1$ باشد و در نتیجه آن $p_{0}=0$ خواهد بود. به این معنی که هر عضو حتماً از خود یک فرزند به جا می‌گذارد و مشخص است که در این حالت انقراض رخ نمی‌دهد. از این حالت خاص می‌توان نتیجه گرفت که واریانس احتمال (افت و خیزهای سیستم) تاثیری مهمی بر احتمال انقراض خواهند گذاشت.
$m>1$ و $q<1$ ، مقدار به دست آمده برای ریشه احتمال انقراض را نشان می‌دهد که از ۱ کمتر است ولی برابر با صفر نیست.

منابع

↑ ^۱٫۰ ^۱٫۱ ^۱٫۲ Branching Processes. K. B. Athreya • P. E. Ney.
↑ ^۲٫۰ ^۲٫۱ «Branching Process» (PDF).
↑ «Branching Process» (PDF).

پانویس

[:0-1] ۱٫۰ ^۱٫۱ ^۱٫۲ Branching Processes. K. B. Athreya • P. E. Ney.

[:1-2] ۲٫۰ ^۲٫۱ «Branching Process» (PDF).

[3] «Branching Process» (PDF).

[۱]

[۲]

[۳]

ن ب و فرایندهای تصادفی
فرایند تصادفی	فرایند برنولی فرایند شاخه‌ای فرایند رستوران چینی فرایند گالتون-واتسون متغیرهای تصادفی مستقل با توزیع یکسان زنجیره مارکوف فرایند مورن ولگشت Loop-erased ولگشت خودپرهیز (قدم زدن بدون قطع کردن خود)
Continuous time	Bessel process Birth–death process فرایند وینر Bridge Excursion Fractional Geometric Meander فرایند کوشی Contact process گام-تصادفی زمان-پیوسته Cox process Diffusion process Empirical process فرایند فلر فرایند فلمینگ-ویوت Gamma process Hunt process Interacting particle systems Itô diffusion فرایند ایتو Jump diffusion Jump process فرایند لوی Local time Markov additive process McKean–Vlasov process فرایند اورنستین-یولنبک فرایند پواسون Compound فرایند پواسون فرایند پواسون تحول شرام و لونر Semimartingale Sigma-martingale Stable process Superprocess Telegraph process Variance gamma process فرایند وینر Wiener sausage
Both	فرایند شاخه‌ای Galves–Löcherbach model فرایند گاوسی مدل پنهان مارکف زنجیره مارکوف مارتینگیل Differences Local مارتینگیل مارتینگیل Random dynamical system Regenerative process نظریه تجدید Stochastic chains with memory of variable length نویز سفید
Fields and other	فرایند دیریکله Gaussian random field Gibbs measure شبکه هاپفیلد مدل آیزینگ Potts model شبکه بولی میدان تصادفی مارکفی نظریه تراوش فرایند پیتمن-یور فرایند نقطه ای Cox فرایند پواسون میدان تصادفی گراف تصادفی
سری زمانی	واریانس ناهمسانی شرطی اتورگرسیو میانگین متحرک خودهمبسته یکپارچه مدل خودهمبسته مدل خودهمبسته میانگین متحرک واریانس ناهمسانی شرطی اتورگرسیو مدل میانگین متحرک
Financial models	مدل بلک-درمن-توی Black–Karasinski مدل بلک-شولز مدل چن Constant elasticity of variance (CEV) مدل کاکس-اینگرسول-راس Garman–Kohlhagen Heath–Jarrow–Morton (HJM) Heston Ho–Lee Hull–White LIBOR market Rendleman–Bartter SABR volatility مدل واسیچک Wilkie
بیمسنجی	Bühlmann Cramér–Lundberg Risk process Sparre–Anderson
نظریه صفs	Bulk Fluid Generalized queueing network M/G/1 صف M/M/1 M/M/c
Properties	تابع Càdlàg Continuous Continuous paths ارگادیسیتی متغیرهای تصادفی تعویض پذیر Feller-continuous فرآیندهای تصادفی گاوسی-مارکوف خاصیت مارکف Mixing Piecewise deterministic Predictable Progressively measurable Self-similar فرایند مانا Time-reversible
Limit theorems	قضیه حد مرکزی Donsker's theorem Doob's martingale convergence theorems نظریه ارگودیک Fisher–Tippett–Gnedenko theorem Large deviation principle قانون اعداد بزرگ قانون لگاریتم‌های تکراری Maximal ergodic theorem Sanov's theorem
Inequalities	Burkholder–Davis–Gundy Doob's martingale Kunita–Watanabe
Tools	Cameron–Martin formula همگرایی متغیرهای تصادفی Doléans-Dade exponential Doob decomposition theorem Doob–Meyer decomposition theorem Doob's optional stopping theorem Dynkin's formula Feynman–Kac formula Filtration Girsanov theorem Infinitesimal generator Itô integral Itô's lemma Kolmogorov continuity theorem Kolmogorov extension theorem Lévy–Prokhorov metric Malliavin calculus Martingale representation theorem Optional stopping theorem Prokhorov's theorem Quadratic variation Reflection principle Skorokhod integral Skorokhod's representation theorem تابع Càdlàg Snell envelope معادله دیفرانسیل تصادفی Tanaka زمان توقف Stratonovich integral Uniform integrability Usual hypotheses Wiener space Classical Abstract
Disciplines	بیمسنجی اقتصادسنجی نظریه ارگودیک نظریه مقدار حدی قضیه انحرافات بزرگ مالیه ریاضیاتی آمار ریاضی نظریه احتمالات نظریه صف نظریه تجدید Ruin theory آمار حسابان تصادفی سری زمانی یادگیری ماشین
List of topics