فرایند ایتو

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به ناوبری پرش به جستجو
ItoIntegralWienerProcess.svg

نام گذاری حساب ایتو پس از گسترش روشهای محاسبه فرایندهای اتفاقی مانند حرکت براونی (وینر روند را ببینید) توسط Kiyoshi Itô انجام شد. این روشها کاربردهای مهمی در ریاضی مالی و معادلات دیفرانسیل اماری دارد.

مفهوم محوری انتگرال تصادفی Itô است، یک تعمیم تصادفی انتگرال ریمان–Stieltjes. در اینجا چیزی که از آن انتگرال گرفته می‌شود و نتیجه فرایندها ی تصادفی اند:

که در آن H فرایند محلی مربع-انتگرال‌پذیر طبق filtration تولید شده بر حسب X که یک حرکت براونی یا به‌طور کلی تر یک semimartingale است. نتیجه انتگرال یک فرایند تصادفی دیگر است.

نماد[ویرایش]

فرایند Y به صورت زیر تعریف می‌شود

که خود یک فرایند تصادفی با پارامتر زمان t است که گاهی اوقات به صورت Y = H · X نوشته می‌شود. همچنین انتگرال اغلب یه صورت فرم دیفرانسیلی dY=HdX نوشته می‌شود.

فرایندهای ایتو[ویرایش]

یک فرایند ایتو به این صورت تعریف شده‌است که فرایند برابر جمع انتگرال نسبت به حرکت براونی و انتگرالی نسبت به زمان قابل بیان باشد:

در اینجا B یک حرکت براونی است و لازم است که σ یک فرایند قابل پیش‌بینی و B-integrable باشد و μ نیز قابل پیش‌بینی و انتگرال پذیر است که،

برای هر t. انتگرال تصادفی را می‌توان به یک فرایند ایتو توسعه داد،

این تعریف برای همه انتگرال‌هایی که به صورت محلی محدود و قابل پیش است، تعریف شده‌است. به‌طور کلی لازم است که σ ویژگی B-integrable را داشته باشد و μ نیز Lebesgue انتگرال‌پذیر باشد، بنابرای

خواص[ویرایش]

خواص زیر را می‌توان در آثار مانند Revuz & Yor 1999 و Rogers & Williams 2000 یافت:

  • انتگرال تصادفی فرایند càdlàg است. علاوه بر آن، یک semimartingale نیز است.

لم ایتو[ویرایش]

لم ایتو نسخه قاعده زنجیره‌ای متغیرها است که روی انتگرال ایتو اعمال شده‌است. این لم یکی از قدرتمندترین و پراستفاده‌ترین قضیه‌ها ی مورد استفاده در حساب تصادفی(stochastic calclus) است. برای semimartingale x که dبعدی است و X = (X1,... ,Xd) که تا مرتبه دوم مشتق پذیر است تابع f از Rd به R که f(X) یک semimartingale و

منابع[ویرایش]