فرایند فلر

در نظریه احتمالات مربوط به فرایندهای تصادفی، فرایند فلر یک نوع خاص از فرایند مارکف است.

تعاریف

X را یک فضای توپولوژیک به صورت محلی فشرده و با پایگاه قابل شمارش (به انگلیسی: LCCB) و (C₀(X را فضای توابع همه مقادیر حقیقی پیوسته روی X در نظر بگیرید که با میل کردن ||X|| به بینهایت، (C₀(X صفر شود.

نیم گروه فلر بر روی (C₀(X، یک مجموعه به صورت T_t}_t ≥ 0 } از (C₀(X به خودش است به طوریکه:

• ||T_tf || ≤ ||f || برای تمام t ≥ 0 و f در(C₀(X
• خاصیت نیم گروه: T_t + s = T_t oT_s برای همه sهای t ≥ ۰;
• lim_t → 0||T_tf − f || = 0 برای هر f در(C₀(X. با استفاده از خواص نیم گروه، این عبارت معادل آن است که T_tf برای هر t در بازه صفر تا بینهایت از راست برای f پیوسته باشد.

تابع گذر فلر تابع احتمال انتقال مرتبط با نیم گروه فلر است.

فرایند فلر یک فرایند مارکوف است که تابع انتقال آن، تابع انتقال فلر باشد.

مولد

می‌توان فرایندهای فلر (یا نیم گروه‌های انتقال) را مولد بینهایت کوچک آن توصیف کرد. می گوییم یک تابع f در C₀ در دامنه مولد است اگر حد یکنواخت آن موجود باشد.

$A_{f}=\textstyle \lim _{t\to 0}\displaystyle {\frac {T_{t}f-f}{t}}$

اپراتور A مولد T_t است.

حل

حل فرایندهای فلر (یا نیم گروه) از طریق مجموعه $(R_{\lambda })_{\lambda >0}$ انجام می‌شود به طوریکه:

$R_{\lambda }f=\int _{0}^{\infty }e^{\lambda t}T_{t}fdt$

می‌توان نشان داد که تساوی زیر برای رابطه بالا برقرار است:

$R_{\lambda }R_{\mu }=R_{\mu }R_{\lambda }=(R_{\mu }-R_{\lambda })/(\lambda -\mu )$

علاوه بر این برای هر ثابت λ > 0 تصویرRλ برابر است با دامنه DA مولد A و:

$R_{\lambda }=(\lambda -A)^{-1}$

$A=\lambda -R_{\lambda }^{-1}$

نمونه

• حرکت براونی و فرایند پواسون نمونه‌هایی از فرایندهای فلر هستند. به طور کلی هر [ فرایند لوی] یک فرایند فلر است.
• فرایندها ی بسل از نوع فرایندهای فلر هستند.
• حل معادلات دیفرانسیل تصادفی با استفاده از ضرایب لاپلاسین پیوسته فرایند فلر است.
• هر فرایند فلر خاصیت قوی مارکوف را ارضا می‌کند.

جستارهای وابسته

• فرایند مارکف
• زنجیره مارکوف
• فرایند شکار
• مولد بینهایت کوچک (فرایندهای تصادفی)

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Feller process». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۱۷ دسامبر ۲۰۱۶.