فرایندهای تصادفی گاوسی-مارکوف

فرآیندهای تصادفی گاوسی-مارکوف (برگرفته شده از نام کارل فریدریش گاوس و آندری مارکوف) فرآیندهای تصادفی هستند که ویژگیها و ملزومات فرایندهای گاوسی و فرآیندهای مارکوف را همزمان دارند. فرایند گاوس مارکوف ایستا (همچنین شناخته شده به عنوان فرایند Ornstein–Uhlenbeck) استثنا بوده چرا که یکتا است؛ جز موارد جزئی.

هر فرایند گاوس–مارکف $X(t)$ دارای سه خاصیت زیر است:

1. اگر $h(t)$ تابع غیر صفر عددی از زمان t باشد،$Z(t)=h(t)X(t)$ نیز فرایند گاوسی–مارکف است.
2. اگر $f(t)$ تابع غیرنزولی عددی از زمان t باشد، $Z(t)=X(f(t))$ نیز فرایند گاوسی–مارکف است.
3. اگر $h(t)$ تابع غیرصفر عددی،$f(t)$ تابع غیرنزولی عددی باشد، داریم $X(t)=h(t)W(f(t))$ که $W(t)$ فرایند استاندارد وینر است.

خاصیت (۳) به این معنی است که هر فرایند گاوسی-مارکوف را می‌توان از ترکیب کردن فرایند استاندارد وینر (SWP) بدست آورد.

خواص فرآیندهای گاوس-مارکف ایستا

فرایند گاوسی–مارکف ایستا با واریانس ${\textbf {E}}(X^{2}(t))=\sigma ^{2}$ و ثابت زمانی $\beta ^{-1}$ دارای خاصیت‌های زیر می‌باشد.

همبستگی نمایی:

${\textbf {R}}_{x}(\tau )=\sigma ^{2}e^{-\beta |\tau |}.\,$

تابع چگالی طیف توان (PSD) است که شبیه به توزیع کوشی است:

${\textbf {S}}_{x}(j\omega )={\frac {2\sigma ^{2}\beta }{\omega ^{2}+\beta ^{2}}}.\,$

(توجه داشته باشید که از منظر فاکتورهای مقیاسی، توزیع کوشی و این طیف متفاوت هستند)

توجه داشته باشید که نکته اشاره شده در بالا، فاکتور طیفی زیر را نتیجه می‌دهد:

${\textbf {S}}_{x}(s)={\frac {2\sigma ^{2}\beta }{-s^{2}+\beta ^{2}}}={\frac {{\sqrt {2\beta }}\,\sigma }{(s+\beta )}}\cdot {\frac {{\sqrt {2\beta }}\,\sigma }{(-s+\beta )}}.$

که در فیلترینگ وینر و دیگر موارد مهم و کاربردی است.

استثناهای جزئی در موارد بالا وجود دارد.

جستارهای وابسته

• فرایند اورنستین-یولنبک