فرایند پواسون

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

فرایند پواسون (به انگلیسی: Poisson process) یک فرایندی تصادفی شمارشگر است که پیرامون وقوع رخدادهای تصادفی بر روی یک طول زمانی، یا یک فاصلهٔ مکانی تعریف می‌شود. در بررسی این فرایند زمان بین دو پیشامد متوالی را یک توزیع نمایی مشخص می کند و بازه های زمانی مجزا مستقل از هم در نظر گرفته می شوند. از این فرایند برای مدل سازی واپاشی رادیواکتیو، تماس های تلفنی و انتقال داده از سایتهای اینترنتی استفاده می شود. فرایند پواسون فرایند پیوسته در زمان است. همان طور که فرایند برنولی را گسسته در زمان نامید.

تعریف ریاضی[ویرایش]

به فرایند شمارشگر \{N(t);t \geqslant 0\} فرایند پواسون با نرخ \lambda> 0 ,\lambda, گفته می شود اگر که داشته باشیم:

  • N(0)=0
  • فرایند افزایشی مستقل باشد.
  • تعداد رویداد های اتفاق افتاده در بازه ی زمانی به طول \tau به صورت پواسون توزیع شده است و میانگین \lambda\tau دارد. در واقع برای تمام tها,\tau \geqslant 0
Pr\{N(t+\tau)-N(t)=k\} = \frac{e^{-\lambda \tau} (\lambda \tau)^k}{k!} \qquad k= 0,1,\ldots,
از مورد سوم داریم :


                                     \operatorname{E}[N(\tau)] = \lambda\tau
  که در واقع توضیح می دهد که چرا نرخ فرایند است.

انواع[ویرایش]

همگن[ویرایش]

فرایند همگن پواسون با پارامتر λ مشخص می شود که به نوعی شدت را نشان می دهد. تعداد پیشامد ها در یک بازه زمانی (tt + τ] از توزیع پواسون با پارامتر λτ پیروی می کند.

 P [(N(t+ \tau) - N(t)) = k] = \frac{e^{-\lambda \tau} (\lambda \tau)^k}{k!}  \qquad k= 0,1,\ldots,

که N در این رابطه N(t + τ) - N(t) = k تعداد پیشامد ها را در بازه زمانی نشان می دهد(tt + τ].

همان طور که یک متغیر تصادفی با توزیع پواسون را با پارامتر λ مشخص می شود، فرایند پواسون همگن نیز با پارامتر λ مشخص می شود که امید ریاضی تعداد پیشامدها را در واحد زمان نشان می دهد.

ناهمگن[ویرایش]

در حالت کلی پارامتر λ می تواند با زمان تغییر کند و با (λ(t نمایش داده می شود. در این صورت به این فرایند، فرایند ناهمگن پواسون می گویند.

امید vیاضی تعداد پیشامدها در بازه زمانی a تا b را با رابطه

\lambda_{a,b} = \int_a^b \lambda(t)\,dt.

محاسبه می کنند. در نتیجه تعداد پیشامدها در این بازه زمانی که برابر است با (N(b) − N(a از توزیع پواسون با پارامتر λa,b قابل محاسبه است.

 P [(N(b) - N(a)) = k] = \frac{e^{-\lambda_{a,b}} (\lambda_{a,b})^k}{k!} \qquad k= 0,1,\ldots.

در واقع فرایند همگن پواسون حالت خاصی از فرایند ناهمگن پواسون است.

فرایند فضایی[ویرایش]

یکی از انواع مهم فرایند پواسون، فرایند فضایی پواسون است. در این فرایند اگر فضا را یک بعدی (خط) در نظر گرفته شود تفاوت آن با فرایند پواسون وابسته به زمان در تفسیر متغیر شاخص آن است. اما اگر ابعاد بالاتری از این فرایند درنظر گرفته شود در این صورت متغیر شاخص فضای برداری مانند R2 یا R3 خواهد بود. متغیرهای تصادفی که در زیرفضاهای بدون اشتراک تعداد پیشامدها را می گیرند، توزیع پواسون مستقل از هم دارند. لازم است بدانیم جمع دو متغیر تصادفی مستقل با توزیع پواسون نیز متغیر تصادفی با توزیع پواسون خواهد بود و پارامتر آن برابر مجموع پارامترهای دو توزیع اولیه است.

فضا-زمان[ویرایش]

این نوع از فرایندهای پواسون وابسته هر دو مقدار فضا و زمان است. می توان در عمل با پارامتر در نظر گرفتن هر کدام از فضا و زمان در این فرایند آن را مانند فرایند زمانی یا فضایی مورد بررسی قرار داد. در اکثر مواقع این فرایند در زمان و فضا جداگانه بررسی می شود.

در مقایسه با فرایند ناهمگن پواسون، در این فرایند پارامتر λ وابسته به فضا نیز هست و به شکل \lambda(x,t) نمایش داده می شود که x در آن عضو فضای برداری V است. اگر λ نبست به هر دوی فضا و زمان ثابت باشد تعداد پیشامدهای اتفاق افتاده در یک ناحیه را می توان با فرایند پواسون مدل سازی کرد. اگر برای هر مجموعه S \subset V با اندازه متناهی \mu(S) تعداد پیشامدهای اتفاق افتاده در S باشد داریم

\lambda_S(t) = \int_S \lambda(x,t)\,d\mu(x).

ویژگی ها[ویرایش]

فرایند همگن پواسونی با پارامتر λ در نظر بگیرید. اگر Tk متغیر تصادفی برای نمایش زمان اتفاق افتادن kامین پیشامد باشد. واضح است که تعداد پیشامدهای قبل از زمان t کمتر از k است اگر و فقط اگر Tk کوچکتر از t باشد. اگر احتمال این پیشامدها با هم برابر باشد

P(T_k>t) = P(N(t)<k)\,

زمانی که منتظر اولین پیشامد هستیم را در نظر بگیرید. این زمان از t بزرگتر است اگر و فقط اگر تعداد پیشامدهای اتفاق افتاده قبل از زمان t 0 باشد. با ترکیب این مقدار و احتمال ذکر شده در بالا در بازه ثابت داریم

P(T_1>t)=P(N(t)=0)=P [(N(t) - N(0)) = 0] = \frac{e^{-\lambda t} (\lambda t)^0}{0!} = e^{-\lambda t}.

همان طور که دیده زمان انتظار اولین پیشامد توزیع نمایی با پارامتر λ دارد و در نتیجه بدون حافظه است. می توان نشان داد این رابطه برای زمان میان هر دو پیشامد متوالی نیز برقرار است. اگر بازه های زمان بین دو پیشامد متوالی را در نظر بگیریم با توجه به عدم اشتراک این بازه ها متغیر های تصادفی با توزیع یکسان و از هم مستقل خواهند بود که مقدار امید ریاضی هر کدام برابر λ-1 است.

برای مثال اگر 5دقیقه = λ باشد متوسط مدت زمانی که منتظر هستیم تا یک پیشامد بعد از یک پیشامد دیگر اتفاق بیفتد 0.2 دقیقه خواهد بود.

منابع[ویرایش]

جستارهای وابسته[ویرایش]