متغیرهای تصادفی تعویض پذیر

در آمار دنباله ای از متغیرهای تصادفی تعویض پذیر (به انگلیسی: exchangeable) دنباله ای است که در آن نمونه های آینده مانند نمونه های اولیه رفتار کنند.

تعریف

در صورتی که دنباله ای بی نهایت X₁، X₂، X₃، ... از متغیرهای تصادفی داشته باشیم، و به ازای هر جایگشت دلخواه σ تعداد محدودی از از آنها را جابجا کنیم، و دنباله ی جدیدی درست کنیم

$X_{\sigma (1)},X_{\sigma (2)},X_{\sigma (3)},\dots$$X_{\sigma (1)},X_{\sigma (2)},X_{\sigma (3)},\dots$

توزیع مشترک دنباله ی جدید عیناً برابر با توزیع مشترک دنباله قبل از جابجایی باشد.

ارتباط بین تعویض پذیری و IID بودن

مجموعه ای از متغیرهای تصادفی که IID متغیرهای تصادفی مستقل با توزیع یکسان مشروط بر فرض دانستن اطلاعات توزیع، تعویض پذیر هستند. این نتیجه مستقیماً از تعریف دنباله ی تعویض پذیر بر اساس توزیع مشترک بدست می آید. یا به عبارت دیگر می توان یک دنباله ی تعویض پذیر را معادل با یک دنباله ی IID مشروط به ساختار توزیعی آنها تعریف کرد. توجه باید کرد که این مسئله تنها در مورد دنباله با طول بی نهایت صادق است.

یک دنباله ی تعویض پذیر با طول بی نهایت، اکیداً ایستا است و قاتون اعداد بزرگ به فرم نظریه ارگودیک (Birkhoff-Khinchin theorem) در مورد آن صدق می کند. یعنی می توان با نسبت دادن توصیفی برای توزیع داده ها، خطای تجمعی نمونه ها اکیداً محدود کرد. هرچه نمونه های واقعی به نمونه های تعویض پذیر شباهت بیشتری داشته باشند، این استدلال واقعی تر است.

می توان توصیف ریاضی مفاهیم بالا را اینگونه بیان کرد. فرض کنیم دنباله ی بینهایت ${\mathbf {X}}=(X_{1},X_{2},X_{3},...)$${\mathbf {X}}=(X_{1},X_{2},X_{3},...)$ را داشته باشیم، توزیع نمونه ای $F_{\mathbf {X}}$$F_{\mathbf {X}}$ را اینگونه تعریف می کنیم:

$F_{\mathbf {X}}(x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}I(X_{i}\leq x).$$F_{\mathbf {X}}(x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}I(X_{i}\leq x).$

اگر دنباله ${\mathbf {X}}$${\mathbf {X}}$ تعویض پذیر باشد، بدین معنی است که المان های ${\mathbf {X}}|F_{\mathbf {X}}$${\mathbf {X}}|F_{\mathbf {X}}$ از هم مستقل هستند. این بدی معنی است که می توان توزیع مشترک هر زیر مجموعه ای از متغیر ها به این صورت جدا کرد:

$p(X_{1},X_{2},...,X_{n})=\int \prod _{i=1}^{n}p(X_{i}|\theta )\,dP(\theta ).$$p(X_{1},X_{2},...,X_{n})=\int \prod _{i=1}^{n}p(X_{i}|\theta )\,dP(\theta ).$

جستارهای وابسته

• آماره-u

منابع

• Aldous, David J.، Exchangeability and related topics، in: École d'Été de Probabilités de Saint-Flour XIII — 1983, Lecture Notes in Math. 1117, pp. 1–198, Springer, Berlin, 1985. ISBN 978-3-540-15203-3 doi:10.1007/BFb0099421
• Borovskikh, Yu. V. (1996). U-statistics in Banach spaces. Utrecht: VSP. pp. xii+420. ISBN 90-6764-200-2. MR 1419498. 
• Chow, Yuan Shih and Teicher, Henry، Probability theory. Independence, interchangeability, martingales، Springer Texts in Statistics, 3rd ed.، Springer, New York, 1997. xxii+488 pp. ISBN 0-387-98228-0
• Diaconis, Persi (2009). "Book review: Probabilistic symmetries and invariance principles (Olav Kallenberg, Springer, New York, 2005)". Bulletin of the Amererican Mathematical Society (New Series) 46 (4): 691–696. doi:10.1090/S0273-0979-09-01262-2. MR 2525743. 
• Kallenberg, O.، Probabilistic symmetries and invariance principles. Springer-Verlag, New York (2005). 510 pp. ISBN 0-387-25115-4.
• O'Neill, B. (2009) Exchangeability, Correlation and Bayes' Effect. International Statistical Review 77(2)، pp. 241–250. ISBN 978-3-540-15203-3 doi:10.1111/j.1751-5823.2008.00059.x
• Taylor, Robert Lee; Daffer, Peter Z.; Patterson, Ronald F. (1985). Limit theorems for sums of exchangeable random variables. Rowman and Allanheld. pp. 1–152. 

مطالعه ی بیشتر

• Kingman, J. F. C.، Uses of exchangeability، Ann. Probability 6 (1978) 83–197 MR494344 JSTOR 2243211