اعداد فرما

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

عدد فرما عدد صحیح و مثبتی است بصورت F_{n} = 2^{2^n} + 1 که در آن n عددی صحیح و غیر منفی است.

اگر چنین عددی اول هم باشد آنرا «عدد اول فرما» می نامند.

این اعداد را بنام پییر دو فرما نام‌گذاری کرده‌اند.

اگر 2^m+1 اول باشد، می‌توان نشان داد m=2^n.

اثبات (با عکس نقیض): فرض کنید m توانی از ۲ نباشد، بنابراین m دارای یک شمارنده فرد مانند 2k+1 (بزرگ‌تر از یک) است. بنابراین

m=(2k+1)r

حال خواهیم داشت که 2^m+1 با استفاده از اتحاد دارای تجزیهٔ غیر بدیهی می‌شود. که این خلاف اول بودن این عدد است، پس این عدد به صورت 2^{2^n} است. بنابراین هر عدد اولی که بصورت 2^m+1 باشد، عدد فرما است.

فرما که اغلب حدس‌هایش برای ریاضیدانان در خور توجه و قابل اعتماد بود مشاهده کرد که با گذاشتن چند عدد ۰ و ۱ و ۲ و ۳ و ۴ به جای n در فرمول بالا F اول است.

در سال ۱۷۳۲ اویلر نشان داد که F(5) مرکب است. تاکنون فقط به ازای n=0,...,4 عدد اول فرما یافت شده است.

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

Wikipedia contributors، "Fermat number،" Wikipedia، The Free Encyclopedia، http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Fermat_number&oldid=211537779