اعداد اول فیبوناتچی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

اعداد اول فیبوناتچی به آن گروه از اعداد فیبوناتچی گویند که خود عدد اول هم باشند و آن را با F_P نمایش می دهند.

دنباله اعداد اول فیبوناتچی[ویرایش]

 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 43, 47, 83, 131, 137, 359, 431, 433, 449, 509, 569, 571, 2971, 4723

یکی از مسایل حل نشده ریاضیات این است که آیا تعداد اعداد اول فیبوناتچی بی نهایت است یا نه؟

روابط اعداد اول فیبوناتچی[ویرایش]

می دانیم که جمله عمومی اعداد فیبوناتچی به شکل زیر است:

F\left(n\right) = {{\varphi^n-(1-\varphi)^n} \over {\sqrt 5}}={{\varphi^n-(-\varphi)^{-n}} \over {\sqrt 5}}\, ,

همچنین هم ارزی زیر برای جمله عمومی اعداد اول صادق است.

P(n)\sim\ n \ln(n)

و می دانیم که جمله عمومی اعداد اول فیوناتچی از اشتراک جمله عمومی اعداد اول و اعداد فیبوناتچی به دست می آید یعنی:

F_{P_n}=F_n \cap P_n

پس برای بدست آوردن جمله عمومی اعداد اول فیبوناتچی باید معادله زیر را حل کرد

P_n=F_n

که از آن نتیجه می شود.

n=P^{-1}\left( \, F_n \, \right)=\pi(F_n)

پس جواب معادله ما که همان جمله عمومی اعداد اول فیبوناتچی است برابر با \pi(F_n) است یعنی:

F_{P_n}=\pi(F_n)

می دانیم:\pi(x)\sim\frac{x}{\ln x}.\!

پس اگر قرار باشد تعداد اعداد اول فیبوناتچی بی نهایت باشد آنگاه:

 \lim_{n \to \infty} \frac{F_{P_n}}{\frac{F_n }{ln(F_n)}} = 1

و می دانیم: F_n={{\varphi^n-(-\varphi)^{-n}} \over {\sqrt 5}}\

پس

 \lim_{n \to \infty} \frac{F_{P_n}}{\frac{{{{\varphi^n-(-\varphi)^{-n}} \over {\sqrt 5}}} }{ln({{{\varphi^n-(-\varphi)^{-n}} \over {\sqrt 5}}})}} = 1

پس:

{F_{P_n}}\sim\ {\frac{{{{\varphi^n-(-\varphi)^{-n}} \over {\sqrt 5}}} }{ln({{{\varphi^n-(-\varphi)^{-n}} \over {\sqrt 5}}})}}

منابع[ویرایش]

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Fibonacci prime»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد.

«اعداد فیبوناتچی بدست می‌آیند از یک تقسیم طولانی» عباس روح الامینی، مجله علمی اسپکتروم انگلستان، آگوست ۲۰۰۸