اعداد اول دوقلو

اعداد اول دوقلو به اعداد اولی می‌گویند که فاصله آن‌ها دو واحد است. یعنی: $p_{k+1}-p_{k}=2$

برای مثال:

${(5,7)}$ ${(11,13)}$ ${(17,19)}$ ${(29,31)}$

طبق قضیه ویلسون:

$\;(p_{k}-1)!\equiv -1{\pmod {p_{k}}}$

$\;(pazlir)!\equiv -1{\pmod {p_{k+1}}}$

و می‌دانیم: $p_{k+1}-p_{k}=2$

پس:

یکی از مسایل حل نشده ریاضیات این است که:

مسئلهٔ حل نشدهٔ ریاضیات: آیا تعداد اعداد اول دوقلو نامتناهی است? (مسئله های حل نشدهٔ ریاضیات بیشتر )

ریاضیدانان طی چند قرن اخیر فرضیه ای را در خصوص اعداد اول دوقلو مطرح کرده‌اند که نشان می‌دهد، تعداد نامتناهی از این جفت اعداد اول وجود دارند، اما این مسئله تاکنون اثبات نشده‌است.

دستاورد ریاضی‌دانی به نام دکتر «ييتانگ ژانگ» نشان می‌دهد، مهم نیست که عدد اول دوقلو چقدر بزرگ باشد، چراکه همیشه یک جفت عدد اول دیگر هست که از آن با کمتر از ۷۰ میلیون رقم جدا شده‌است.

اگرچه این تحقیق به‌طور قطعی وجود تعداد نامتناهی اعداد اول دوقلو را نشان نمی‌دهد، اما گام مهمی برای اثبات این مسئله محسوب می‌شود.

در سال ١٩٤٠،پال اِردوش نشان داد كه يك ثابت مانند $c>1$ و بي نهايت عدد اول مانند$p_{n}$ وجود دارد به طوري كه:

${p_{n+1}-p_{n}<c.log(p_{n})}$

اين به آن معني است كه هر چقدر كه اعداد اول،بزرگ و بزرگ تر شوند،فاصله ي بين آنها نيز به آرامي رشد مي كند."رشد آرام" يعني اين فاصله ها به صورت لگاريتمي رشد مي كنند.اين نتيجه پي در پي بهبود يافت؛در سال ١٩٨٦،هِلموت مايِر ثابت اِردوش را به $c>1/4$ تعميم داد.در سال ٢٠٠٤ دنيِل گُلدِستِن و جِم يِلديريم نشان دارند كه اين ثابت مي توانيد به $c>0.085876$ برسد.در سال ٢٠٠٥،گُلدِستِن،جوناس پينتز و يِلديريم اشاره كردند كه c مي تواند به دلخواه كوچك باشد.

$\liminf _{n\to \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log p_{n}}}=0.$

با در نظر گرفتن حدس اِلیوت-هالبرستام و یا حدس ضعیف تری از آن،می توان نشان داد برای بی شمار n،حداقل دو تا از اعداد n, n+2, n+6, n+8, n+12, n+18, n+20 اول است. با استفاده از یک حدس قویتر می توان نشان داد که برای بی شمار n،حداقل دو تا از اعداد n ,n+2 ,n+4 ,n+6 اول هستند.

منابع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Twin prime». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۱ مرداد ۱۳۹۲.

سایت خبرگزاری ایسنا