حسابان تغییرات

حسابان تغییرات یا حساب تغییرات یا حساب وردشی (به انگلیسی: Calculus of variations)‏، (به آلمانی: Variationsrechnung)‏ به شاخه‌ای از ریاضیات گفته می‌شود که موضوع مورد مطالعهٔ آن تابعی‌ها یا به نوعی توابع توابع در ریاضی باشد. در مقایسه، علم حسابان معمولی به مطالعهٔ توابعی می‌پردازد که متغیر مستقل درآن‌ها متغیر عددی است و نه یک تابع.

نیازها و انگیزه‌ها

از عمده‌ترین انگیزه‌های ابداع و گسترش حساب تغییرات را می‌توان نیازهای تدریجی مکانیک کلاسیک به فرافکنی مشکلات محاسباتی از حوزهٔ مشتق‌ها و حل معادلات دیفرانسیل به حوزه انتگرالها و بهینه‌سازی ذکر نمود.

مثال‌ها

به منظور درک آسانتر موضوع ابتدا مثال‌های سادهٔ زیر را در فضای با بعد متناهی مورد بررسی قرار می‌هیم (حسابان تغییرات حالت بینهایت‌بعدی همین مفاهیم و منظورها است).

مثال 1: فضای یک بعدی $x \!$

معادله ساده تک مجهولی زیر را در نظر می گیریم:

$4x - 8 = 0 \!$

حل مسئله خواهد شد:

$4x = 8, x = \frac{8}{4} = 2 \!$

نمایش جدید:

با انتگرال‌گیری از سمت چپ معادلهٔ اصلی، داریم:

$P(x) = \int (4x - 8)\,dx = 2x^2 - 8x + c \!$

مسئله زیر با آنکه نمایشی کاملا متفاوت با اولی دارد، دقیقا همان بالایی است و درست همان جواب را دریافت می‌کند.

نقطه کمینه (minimum) تابع زیر را پیدا کنید (بهینه‌سازی):

$P(x) = 2x^2 - 8x + 3 \!$

حل مسئله خواهد شد:

$\frac{dP}{dx} = 0, 4x - 8 = 0, x = 2 \!$

مثال ۲: فضای دو بعدی $x-y \!$

دستگاه ساده دو معادلهٔ دو مجهولی زیر را در نظر می‌گیریم:

$x + 2y - 5 = 0 \!$

$2x + y - 4 = 0 \!$

به‌صورت ماتریسی:

$A\bold{x} - \bold{b} = 0 \!$

که در اینجا:

$A= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ \end{bmatrix} , \bold{x}= \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} , \bold{b}= \begin{bmatrix} 5 \\ 4 \\ \end{bmatrix}$

حل مسئله خواهد شد:

$\bold{x}= A^{-1} \bold{b} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 4 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ \end{bmatrix}$

نمایش جدید:

درست مثل حالت یک بعدی با انتگرال‌گیری از سمت چپ معادلهٔ ماتریسی اصلی، یعنی، $A\bold{x} - \bold{b} = 0 \!$ داریم:

$P(\bold{x}) = \frac{1}{2}\bold{x}^TA\bold{x} - \bold{x}^T \bold{b}$

که با کمینه‌سازی سهموی حاصل (با معادلهٔ ماتریسی $P(\bold{x})$)می‌شود:

$\frac{dP}{d\bold{x}} = A\bold{x} - \bold{b} = 0$

که همان جواب حالت پیشین است.

جستارهای وابسته

• تابعی
• حساب ماتریس‌ها
• فرم‌های درجهٔ دوم

منابع

• اصول مکانیک نشأت‌گرفته از تغییرات

• Arnold, V.I. Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd ed., Springer-Verlag (1989), ISBN 0-387-96890-3
• Strang, G. "Introduction to Linear Algebra", 3rd ed., Wellesley-Cambridge Press. (1998), ISBN 0-9614088-5-5