حسابان تغییرات

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

حسابان تغییرات یا حساب تغییرات (به انگلیسی: Calculus of variations) به شاخه‌ای از ریاضیات گفته می‌شود که موضوع مورد مطالعهٔ آن تابعی‌ها یا به نوعی توابع توابع در ریاضی باشد. در مقایسه، علم حسابان معمولی به مطالعهٔ توابعی می‌پردازد که متغیر مستقل درآن‌ها متغیر عددی است و نه یک تابع.

[ویرایش] نیازها و انگیزه‌ها

از عمده‌ترین انگیزه‌های ابداع و گسترش حساب تغییرات را می‌توان نیازهای تدریجی مکانیک کلاسیک به فرافکنی مشکلات محاسباتی از حوزهٔ مشتق‌ها و حل معادلات دیفرانسیل به حوزه انتگرالها و بهینه‌سازی ذکر نمود.

[ویرایش] مثال‌ها

به منظور درک آسانتر موضوع ابتدا مثال‌های سادهٔ زیر را در فضای با بعد متناهی^[۱] مورد بررسی قرار می‌هیم (حسابان تغییرات حالت بینهایت‌بعدی^[۲] همین مفاهیم و منظورها است).

مثال 1: فضای يك ‌بعدی $x \!$

معادله ساده تک مجهولی زیر را در نظر می گیریم:

$4x - 8 = 0 \!$

حل مسئله خواهد شد:

$4x = 8, x = \frac{8}{2} = 4 \!$

نمایش جدید:

با انتگرال‌گيری از سمت چپ معادلهٔ اصلی، داریم:

$P(x) = \int (4x - 8)\,dx = 2x^2 - 8x + c \!$

مسئله زیر با آنکه نمایشی کاملا متفاوت با اولی دارد، دقیقا همان بالایی است و درست همان جواب را دریافت می‌کند.

نقطه کمینه (minimum) تابع زیر را پیدا کنید (بهینه‌سازی):

$P(x) = 2x^2 - 8x + 3 \!$

حل مسئله خواهد شد:

$\frac{dP}{dx} = 0, 4x - 8 = 0, x = 4 \!$

مثال ۲: فضای دو ‌بعدی $x-y \!$

دستگاه ساده دو معادلهٔ دو مجهولی زیر را در نظر می‌گیریم:

$x + 2y - 5 = 0 \!$

$2x + y - 4 = 0 \!$

به‌صورت ماتریسی:

$A\bold{x} - \bold{b} = 0 \!$

كه در اينجا:

$A= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ \end{bmatrix} , \bold{x}= \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} , \bold{b}= \begin{bmatrix} 5 \\ 4 \\ \end{bmatrix}$

حل مسئله خواهد شد:

$\bold{x}= A^{-1} \bold{b} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 4 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ \end{bmatrix}$

نمایش جدید:

درست مثل حالت یك بعدی با انتگرال‌گيری از سمت چپ معادلهٔ ماتریسی اصلی، یعنی، $A\bold{x} - \bold{b} = 0 \!$ داریم:

$P(\bold{x}) = \frac{1}{2}\bold{x}^TA\bold{x} - \bold{x}^T \bold{b}$

كه با كمینه‌سازی سهموی حاصل (با معادلهٔ ماتریسی $P(\bold{x})$ )می‌شود:

$\frac{dP}{d\bold{x}} = A\bold{x} - \bold{b} = 0$

كه همان جواب حالت پیشین است.^[۳]

[ویرایش] پانوشته‌ها

↑ Finite dimensional spaces
↑ Infinite dimensional function spaces
↑ Introduction to Linear Algebra, p. 347

[ویرایش] جستارهای وابسته

[ویرایش] منابع

اصول مکانیک نشأت‌گرفته از تغییرات

‎

Arnold, V.I. Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd ed., Springer-Verlag (1989), ISBN 0-387-96890-3
Strang, G. "Introduction to Linear Algebra", 3rd ed., Wellesley-Cambridge Press. (1998), ISBN 0-9614088-5-5

این نوشتار در زمینهٔ ریاضیات خُرد است. با گسترش آن به ویکی‌پدیا کمک کنید.

[0] Finite dimensional spaces

[1] Infinite dimensional function spaces

[2] Introduction to Linear Algebra, p. 347

[۱]

[۲]

[۳]

حسابان تغییرات

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

فهرست مندرجات

[ویرایش] نیازها و انگیزه‌ها

[ویرایش] مثال‌ها

[ویرایش] پانوشته‌ها

[ویرایش] جستارهای وابسته

[ویرایش] منابع

بازدیدها

ابزارهای شخصی

گشتن

جستجو

جعبه‌ابزار

زبان‌های دیگر