مسائل هیلبرت

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

مسائل هیلبرت شامل بیست‌وچهار سوال ریاضی است که در سال ۱۹۰۰ توسط ریاضی‌دان آلمانی دیوید هیلبرت منتشر شد. مسائل همگی در آن زمان حل نشده بودند و بعضی از آن‌ها تاثیر بسزایی بر ریاضیات قرن بیستم گذاشتند. هیلبرت ۱۰ تا از این سوالات (۱ ،۲ ،۶ ،۷ ،۸ ،۱۳ ،۱۶ ،۱۹ ،۲۱ و ۲۲) را در کنفرانس بین‌المللی ریاضیات، در هشتم آگوست در سوربن پاریس ارائه کرد. لیست کاملی از ۲۳ سوال بعدها در مجله‌ی جامه‌ی ریاضی آمریکا عمدتاً با ترجمه‌ی انگلیسی ماری فرانسیس وینستون نیوسون آمد.[۱]

طبیعت و اثر مسائل[ویرایش]

مسائل هیلبرت از لحاظ محتوا و دقت متفاوت هستند. بعضی از آن‌ها مانند سوال سوم (احتمالاً راحت‌ترین سوال برای درک توسط غیرمتخصص‌ها و اولین سوال حل شده از بین مسائل) یا سوال مشهور هشتم (فرضیه‌ی ریمان)، به اندازه‌ای دقیق تعریف شده‌اند که جوابی روشن برای رد یا قبولشان وجود دارد. مسائل دیگری (مانند مسئله‌ی ۵) وجود دارند که متخصصان به تفسیری واحد از مسئله رسیده اند و پاسخی نیز برای آن تفسیر ارائه شده ولی به نظر می‌رسد هنوز بخشی از مسئله که شاید مورد نظر هیلبرت نیز بوده بدون حل باقی‌مانده است. گاهی بیان هیلبرت به اندازه‌ای دقیق نیست که مسئله مشخصی را مشخص کند ولی باعث تعریف مسائل مشخصی در حیطه‌ی مورد نظر شده است. برای مثال بسیاری از دانشمندان حوزه‌ی نظریه‌ی اعداد احتمالاً سوال ۹ام را اشاره‌ای به تناظر Langland به نمایندگی از گروه گالوایی مطلق یک میدان عددی می‌دانند. مسائل دیگری (مانند مساله ۱۱ام و ۱۶ام) مورد توجه رشته‌های فرعی در حال پیشرفت ریاضی مانند نظریه فرم‌های درجه‌دوم و خم‌های جبری حقیقی قرار گرفته‌اند. مسائل ۶ام و ۴ام نه تنها هنوز حل نشده‌اند بلکه با توجه به استانداردهای جدید قابل حل نیستند. مسئله‌ی ششم، ساختاری اصول‌مند برای فیزیک می‌خواست، که با توجه به پیشرفت‌های قرن بیستم فیزیک (از جمله اینکه به عنوان شاخه‌ای مستقل از ریاضی شناخته شد) به نظر می‌رسد دیگر اهمیت زمان هیلبرت را ندارد. همچنین سوال چهارم که ساختار هندسه را در نظر داشت به نظر می‌رسد که دیگر جواب قطعی ندارد. بیست‌ویک مسئله‌ی دیگر همگی مورد توجه زیاد ریاضی‌دانان قرار گرفتند و کار روی آنها اهمیت زیادی داشت به گونه‌ای که پائول کوهن برای کارش روی مسئله‌ی اول در سال ۱۹۶۶ و ماتیاسویچ برای ارائه‌ی پاسخ منفی سوال دهم (ادامه‌ی کار دیویس، پوتنام، رابینسون) در سال ۱۹۷۰ مدال فیلد گرفتند، و اثبات تقیض راه حل مسئله‌ی دهم در دهه‌ی ۱۹۷۰ توسط ماتیاسویچ نیز فیلد را به خود اختصاص داد. جنبه‌های این مسائل همچنان یکی از مورد علاقه‌ترین زمینه‌های تحقیق امروزی است.

ابهام[ویرایش]

بعضی از مسائل هیلبرت به گونه‌ای عجیب یا حتی اذیت کننده برای هیلبرت حل شده‌اند. هیلبرت پیرو فرگه و راسل به دنبال تعریف منطقی با استفاده از سیستم فرمال، یعنی اثبات‌هایی متناهی از اصول موضوعه‌ی پذیرفته‌شده، برای ریاضیات بود. یکی از مسائل هیلبرت (مسئله‌ی دوم) در واقع خواستار اثباتی متناهی برای استحکام اصول موضوعه‌ی منطق است. به هر حال تئوری عدم کمال دوم گودل با دقت نشان می‌دهد که می‌توان ثابت کرد که چنین اثبات متناهی برای استحکام منطق غیرقابل ارائه است. هیلبرت ۱۲ سال بعد از گودل زندگی کرد ولی به نظر نمی‌رسد جواب رسمی به کارهای گودل نوشته باشد. بدون شک کارهای گودل بر روی کل ریاضیات ( و نه تنها منطق) بسیار حائز اهمیت است هر چند که باعث حل شدن عجیب و شاید ناراحت‌کننده‌ی یکی از سوالات هیلبرت شد. مسئله‌ی دهم هیلبرت نمی‌پرسد که آیا الگوریتمی برای حل معادله‌ی دیوفانتی وجود دارد یا نه. بلکه ساختار چنین الگوریتمی را مورد نظر دارد."ارائه‌ی پروسه‌ای که با انجام متنهای عمل بتوان معین کرد که آیا یک معادله در اعداد گویا قابل حل است یا خیر." حل این مسئله که نشان می‌داد چنین الگوریتمی وجود ندارد برای وی بسیار عجیب بود. با توجه به نظر وی که هر مسئله‌ی ریاضی حتماً راه‌حلی دارد او این اجازه را داد که راه‌حل مسئله اثبات این باشد که حل مسئله اصلی امکان‌پذیر نیست. مشهور است که او بیان کرده مهم این است که آیا راه‌حلی وجود دارد یا نه. و او عقیده داشت که ما همواره می‌توانیم این نکته را بفهمیم. یعنی در ریاضیات گزاره‌ی دارای ابهام (گزاره‌ای که هرگز ارزش درستی آن معلوم نشود) وجود ندارد. واضح نیست که آیا او پاسخ سوال دهم را دارای ابهام تلقی کرده است یا نه: آنچه که ما اثبات نمی‌کنیم که مسئله پاسخ طبیعی ندارد بلکه تنها می‌توانیم بفهمیم که آیا مسئله در حالت کلی دارای جواب است یا خیر. از سوی دیگر وضعیت مسئله‌ی اول و دوم پیچیده‌تر است. هیچ اتفاق نظر واضح ریاضی وجود ندارد که آیا نتایج گودل (در مورد سوال دوم) یا گودل و کوهن (در مورد سوال اول) جواب منفی قطعی به مسئله می‌دهند یا نه. از آنجایی که این راه‌حل‌ها به شکل خاصی از سوال جواب می‌دهند و ممکن این شکل‌بندی تنها شکل بندی موجود برای این دو مسئله نباشد.

مسئله بیست‌وچهارم[ویرایش]

الگو:مقاله‌ی اصلی هیلبرت در واقع ۲۴ مسئله در لیستش آورده بود ولی از انتشار سوال بیست‌وچهارم جلوگیری کرده بود. مسئله بیست‌وچهارم (ملاکی برای سادگی در نظریه‌ی اثبات) توسط رودیگر تیله تاریخ‌دان آلمانی از دست‌نوشته‌های هیلبرت به دست آمد.

دنباله[ویرایش]

از سال ۱۹۰۰ ریاضیدانان و مراکز ریاضی لیست‌هایی از مسائل را منتشر می‌کردند ولی این لیست‌ها به اندازه‌ی مسائل هیلبرت تاثیر نداشت و برای ریاضی‌دانان کار ایجاد نمی‌کرد! یکی از موارد استثنای این لیست‌ها سه حدسی بودند که توسط آندره وِیل در اواخر دهه‌ی چهل میلادی ارائه شد(حدس‌های وِیل). حدس‌های ویل در زمینه‌ی هندسه‌ی جبری و نظریه‌ی اعداد و ارتباط بین این دو بسیار مهم بودند. حدس اول توسط برنارد دیوُرک اثبات شد و اثباتی کاملاً متفاوت برای حدس اول و دوم توسط الکساندر گروتندیک با استفاده از همریختی مرتبه‌ی اول ارائه شد. آخرین و عمیق‌ترین حدس وِیل (نظیر حدس ریمان) توسط پییِر دلین! اثبات شد. هر دوی گروتندیک و دلین! مدال فیلدز گرفتند. ولی حدس‌های ویل در زمینه‌ی خود به اندازه‌ی یک سوال هیلبرت اهمیت دارند و ویل هرگز آن‌ها را برنامه‌ای برای ریاضیات نخواند. این کمی طعنه‌آمیز است زیرا به اقرار بسیاری ویل ریاضی‌دان دهه‌های چهل و پنجاه میلادی بود که در شاخه‌های مختلف ریاضی نظری وارد شد و در گسترش آن‌ها اهمیت داشت و به بهترین نحو نقش هیلبرت را در آن برحه از زمان بازی کرد. پال اردوش به خاطر طرح صدها بلکه هزاران سوال ریاضی مشهور است. بعضی از سوالات وی عمیق هستند. اردوش برای مسائلش بسته به سختی پیش‌بینی شده‌اش جایزه‌ای در نظر می‌گرفت. پایان هزاره‌ی دوم که مصادف با صدمین سالگرد انتشار مسائل هیلبرت بود زمان طبیعی مناسبی برای ارائه‌ی مجموعه‌ی جدید مسائل هیلبرت به شمار می‌رفت. چند تن از ریاضی‌دانان از جمله استیو اسمیل ،برنده‌ی مدال فیلدز درخواست ولادیمیر آرنولد را پذیرفت و لیستی شامل ۱۸ مسئله را پیشنهاد داد. جامعه‌ی ریاضی اقبال چندانی به مسائل اسمیل نشان نداد و هنوز روشن نیست این مسائل چقدر مورد توجه ریاضی‌دانان قرار گیرند. حداقل در جریان اصلی جامعه متناظر مسائل هیلبرت برای قرن بیست‌ویکم لیستی از هفت مسئله جایزه‌ی هزاره است که توسط موسسه‌ی ریاضی کلِی در سال ۲۰۰۰ انتخاب شدند. بر خلاف مسائل هیلبرت که جایزه‌ی اصلی آن‌ها تحسین هیلبرت و جامعه‌ی ریاضی بود، هر سوال به اندازه‌ی یک میلیون دلار جایزه دارد. مانند سوالات هیلبرت یکی از مسائل جایزه هزاره (حدس پوینکیر) نیز تقریباً با فاصله‌ی اندکی از زمان انتشار حل شد.

حدس ریمان که هم در هر سه لیست هیلبرت، اسمیل و جایزه‌ی هزاره -حتی شبیه هندسه‌ای آن در حدس‌های ویل- آمده است. از چنان اهمیتی برخوردار است که هنوز هم ریاضی‌دانان با آن درگیر هستند و بسیاری از متخصصین عقیده دارند که این مسئله تا قرن‌ها در لیست مسائل خواهد آمد. هیلبرت خود اعلام کرده: "اگر از یک خواب هزاران ساله بیدار شوم اولین سوالم این خواهد بود که آیا حدس ریمان اثبات شده است؟" در سال ۲۰۰۸ دارپا لیست ۲۳تایی خود از مسائل ریاضی را اعلام کرد و امید داشت که این لیست به پیشرفت‌های بزرگی در ریاضیات منجر شود. "در نتیجه توانایی‌های علمی و فنی دپارتمان دفاعی را تقویت می‌کند."

خلاصه[ویرایش]

برای مسائل ۳، ۷، ۱۰، ۱۱، ۱۳، ۱۴، ۱۷، ۱۹، ۲۰و ۲۱ که به صورت واضحی فرموله شده‌اند، راه‌حل‌هایی پیدا شده‌اند که توسط اجتماع ریاضی قبول شده‌اند. ولی برای مسائل ۱، ۲، ۵، ۹، ۱۵، ۱۸+و ۲۲ راه‌حل‌هایی وجود دارد که مورد پذیرش بخشی قرار گرفته‌اند البته بحث‌هایی وجود دارد که آیا آن راه‌حل‌ها مسائل را حل کرده‌اند یا نه. علامت + در بالای ۱۸ برای این است که راه حل حدس کپلر یک اثبات به کمک کامپیوتر است. اشاره‌ای نامربوط و تا حدی بحث برانگیز به مسئله‌ی هیلبرت، به خاطر این که خواننده انسانی نمی‌تواند در زمانی منطقی اثباتی برای آن بیابد. سوالات ۱۶، ۸ (حدس ریمان) و ۱۲ حل نشده‌اند. در این طبقه‌بندی سوالات ۴، ۱۶ و ۲۳ به اندازه‌ای مبهم هستند که حل شده محسوب می‌شوند. مسئله‌ی ۲۴ که بعداً ارائه شد نیز در این دسته قرار می‌گیرد. سوال ۶ نیز بیشتر سوالی فیزیکی محسوب می‌شود تا ریاضی.

مسائل هیلبرت[ویرایش]

۲۳ مسئله‌ی هیلبرت به شرح زیر است :

مسئله توضیح مختصر وضعیت سال حل
اول مسئله کانتور برای عدد کاردینال پیوستار حل شد. اثبات شده که غیرممکن است که با استفاده از نظریه‌ی مجموعه‌ی زرملو-فرانکل با یا بدون استفاده از اصل انتخاب ثابت شود. ۱۹۶۳
دوم سازگاری اصول موضوعه ی حساب به اجماعی رسیده نشده که نتایج گودل و گنتزن راه‌حلی برای مسئله ارائه می‌دهند(همانطور که توسط هیلبرت اشاره شده بود) نظریه‌ی دوم ناتمامیت گودل که در سال ۱۹۳۱ اثبات شده بود نشان داد که اثباتی برای ثبات آن به وسیله‌ی محاسبات به تنهایی وجود ندارد. ۱۹۳۶؟
سوم تساوی حجم دو چند وجهی با مساحت قاعده و ارتفاع برابر حل شده. نتیجه: خیر. اثبات شده به وسیله‌ی ویژگی‌های دن ۱۹۰۰
چهارم مسئله خط مستقیم با کوتاهترین فاصله بین دو نقطه مبهم‌تر از آن که به عنوان حل شده یا حل نشده در نظر گرفته شود
پنجم مفهوم لی (Lie) از گروه های پیوسته از تبدیلات بدون فرض مشتق پذیری توابع تعریف کننده ی گروه ها حل شده توسط اندرو گلیسون، وابسته به این‌که مسئله‌ی اصلی چطور تفسیر شود. اگر however باشد به عنوان معادل

حدس هیلبرت-اسمیث در نظر گرفته می‌شود. هنوز حل نشده است

۱۹۵۳؟
ششم ارائه ساختار اصل موضوعی ریاضیات برای فیزیک حل نشده است.
هفتم گنگ و متعالی بودن اعدادی معین حل شده است. نتیجه: بله, به وسیله‌ی تئوری گلفوند یا گلفوند-شنیدر نشان داده می‌شود. ۱۹۳۵
هشتم مسئله اعداد اول، توزیع اعداد اول و فرضیه ی ریمان حل نشده است.
نهم اثبات کلی ترین اصل تقابل در هر میدان تا حدی حل شده است
دهم آیا یک الگوریتم برای تعیین حل پذیری معادلات دیوفانتی وجود دارد. حل شده است. نتیجه: غیر ممکن, تئوری ماتیانسویچ نتیجه می‌دهد که همچین الگوریتمی موجود نیست. ۱۹۷۰
یازدهم ارائه ی یک نظریه برای فرم های درجه دوم با ضرایب عددی جبری تا حدی حل شده است.[نیازمند منبع]
داوزدهم تعمیم قضیه ی کرونکر برای میدان های آبلی به هر ساختار جبری گویا حل نشده است.
سیزدهم ناممکن بودن حل معادلات کلی درجه ۷ توسط توابعی تنها از دو متغیر مسئله تا حدی توسط ولادمیر آرنود بر مبنای کاری توسط آندری کلمگرو حل شده ه است. ۱۹۵۷
چهاردهم اثبات متناهی بودن دستگاههای کامل و مشخص از توابع حل شده است. نتیجه: خیر, مثال نقض توسط ماسایوشی ناگاتا ارائه شده است. ۱۹۵۹
پانزدهم ارائه ی مبانی دقیق از حساب شمارش شوبرت (Schubert) تا حدی حل شده است .[نیازمند منبع]
شانزدهم مسئله توپولوژی منحنی ها و رویه های جبری و تعیین کرانی برای تعداد سیکل های حدی دستگاههای چند جمله ای در صفحه حل نشده است.
هفدهم نمایش فرم های مشخص توسط مربع جملات حل شده است. نتیجه:

, توسط امیل آرتین. یک سقف بالایی برای تعداد جملات مربع لازم است.[نیازمند منبع]

۱۹۲۷
هجدهم ساختن فضاهای اقلیدسی با تعداد متناهی گروههای چند وجهی (a) حل شده است. نتیجه: بله (توسط کارل رین‌هارت).
(b) به صورت گسترده معتقند که حله شده است , اثبات به وسیله‌ی رایانه (توسط توکاس کالیستر هالس).
(a) ۱۹۲۸
(b) ۱۹۹۸
نوزدهم آیا جواب های مسائل منظم در حساب تغییرات لزوماً تحلیلی اند؟ حل شده است. نتیجه: بله , اثبات توسط اینو جورجی و

, به صورت مستقل و با استفاده از روش های مختلف توسط, جان فوربز نش.

۱۹۵۷
بیستم ارائه ی یک نظریه ی کلی برای مسائل شرط مرزی حل شده است. یکی از موضوعات قابل توجه تحقیق در قرن بیستم, که در تعدد جواب به اوج خود رسیده است[نیازمند منبع] برای حالات غیر خطی.  ?
بیست و یکم اثبات وجود معادلات دیفرانسیل خطی با گروه مونودرامی از پیش تعیین شده حل شده است. نتیجه: آری یا نه, وابسته به فرمول‌بندی دقیق مسئله.[نیازمند منبع]  ?
بیست‌ودوم یکنواخت سازی روابط تحلیلی توسط توابع اتومورفیک حل شده است.[نیازمند منبع]  ?
بیست‌وسوم توسعه ی بیشتر روش های حساب تغییرات. حل نشده است.

منابع[ویرایش]

عمومی
  • Gray, Jeremy J. (2000). The Hilbert Challenge. Oxford University Press. ISBN 0-19-850651-1. 
  • Yandell, Benjamin H. (2002). The Honors Class. Hilbert's Problems and Their Solvers. A K Peters. ISBN 1-56881-141-1. 
  • Thiele, Rüdiger (2005). "On Hilbert and his twenty-four problems". In Van Brummelen, Glen. Mathematics and the historian’s craft. The Kenneth O. May Lectures. CMS Books in Mathematics/Ouvrages de Mathématiques de la SMC 21. pp. 243–295. ISBN 0-387-25284-3 
  • Dawson, John W. Jr (1997). Logical Dilemmas, The Life and Work of Kurt Gödel. AK Peters, Wellesley, Mass. pp. A wealth of information relevant to Hilbert's "program" and Gödel's impact on the Second Question, the impact of Arend Heyting's and Brouwer's Intuitionism on Hilbert's philosophy. 
  • Felix E. Browder (editor), Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics XXVIII (1976), American Mathematical Society. A collection of survey essays by experts devoted to each of the 23 problems emphasizing current developments.
  • Matiyasevich, Yuri (1993). Hilbert's Tenth Problem. MIT Press, Cambridge, Massachusetts. pp. An account at the undergraduate level by the mathematician who completed the solution of the problem. ISBN 0262132958. 
  • Nagel, Ernest; Newman, James R. (2001). Douglas Hofstadter, ed. Gödel's Proof: Edited and with a New Foreword by Douglas R. Hofstadter. New York University Press, NY. ISBN 0-8147-5816-9. 
  • Reid, Constance (1996). Hilbert. Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-94678-8 Check |isbn= value (help). 
تخصصی
  1. David Hilbert, "Mathematical Problems". , Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 8, no. 10 (1902), pp. 437-479. Earlier publications (in the original German) appeared in Göttinger Nachrichten, 1900, pp. 253-297, and Archiv der Mathematik und Physik, 3dser., vol. 1 (1901), pp. 44-63, 213-237.