مجموعه باز

در شکل، مجموعه نقاط (x, y) که در x^۲ + y^۲ < r^۲ صدق می‌کنند با رنگ قرمز مشخص شده که تشکیل یک مجموعهٔ باز را می‌دهد. (x, y)هایی که در x^۲ + y^۲ = r^۲ صدق می‌کنند نیز نقاط مرزی هستند که با رنگ آبی مشخص شده‌اند. اجتماع نقاط آبی (نقاط مرزی) و نقاط قرمز (مجموعه باز) تشکیل یک مجموعه بسته می‌دهد.

مجموعه باز مجموعه‌ای است که هیچیک از نقاط مرزی خود را شامل نمی‌شود. متمم هر مجموعه باز یک مجموعه بسته است و برعکس. مجموعه‌هایی هستند که نه بازند و نه بسته، یعنی نه هیچکدام و نه همهٔ نقاط مرزی خود را شامل نمی‌شوند.

تعریف

به طور کلی مجموعه‌های باز به دو صورت تعریف می‌شوند. براساس تعریف نخست یک مجموعه باز است اگر و تنها اگر هیچ کدام از نقاط مرزی خود را شامل نشود و بر طبق تعریف دوم یک مجموعه باز است اگر و تنها اگر هر یک از نقاطش نقطه درونیش باشد. ثابت می‌شود که این دو تعریف معادلند.

در توپولوژی

اگر X فضایی توپولوژیک با توپولوژی $\mathcal{T}$ باشد، زیر مجموعه U از X را یک مجموعهٔ باز X خوانیم هرگاه U متعلق به $\mathcal{T}$ باشد.

قضیه‌ها

• اجتماع تعداد دلخواه از مجموعه‌های باز، باز است.
• اشتراک تعداد متناهی از مجموعه‌های باز، باز است.
• هر فضای توپولوژیک هم باز است و هم بسته.
• مجموعه تهی هم باز و هم بسته است.

مثال‌ها

• بر خط حقیقی، بازهٔ (–۱ و ۳) یا مجموعهٔ اعداد حقیقی بین ۱– و ۳، باز است. زیرا دو نقطهٔ ۱– و ۳ که نقاط مرزی این مجموعه هستند عضو آن نمی‌باشند. همچنین تمام نقاط این مجموعه (بازه) نقاط درونی هستند.

منابع

• براون، جیمز وارد و روئل ونس چرچیل. متغیرهای مختلط و کاربردهای آن. ترجمهٔ امیر خسروی. چاپ سوم. تهران: مرکز نشر دانشگاهی، ۱۳۹۰. شابک ‎۹۷۸-۹۶۴-۰۱-۱۳۳۷-۰. 
• مانکرز، جیمز ر.. توپولوژی، نخستین درس. ترجمهٔ جواد لالی و دیگران. چاپ چهارم. تهران: مرکز نشر دانشگاهی، ۱۳۸۹. شابک ‎۹۷۸-۹۶۴-۰۱-۰۲۸۳-۱. 
• مصاحب، غلامحسین. آنالیز ریاضی. ج. اول. چاپ دهم. تهران: امیرکبیر، ۱۳۸۱. شابک ‎۹۶۴-۰۰-۰۶۳۰-۰.