نسخهای که میبینید نسخهای قدیمی از صفحه است که توسط Rezabot(بحث | مشارکتها) در تاریخ ۲۹ مهٔ ۲۰۲۱، ساعت ۲۳:۲۴ ویرایش شده است. این نسخه ممکن است تفاوتهای عمدهای با نسخهٔ فعلی داشته باشد.
نسخهٔ ویرایششده در تاریخ ۲۹ مهٔ ۲۰۲۱، ساعت ۲۳:۲۴ توسط Rezabot(بحث | مشارکتها)
بنابراین، تکرار تفاضل متقارن روی چند مجموعه، یک مجموعه از اعضایی است که، در تعداد فردی از مجموعهها آمدهاند.
تفاضل متقارن از دو تفاضل متقارن تکراری، یک تفاضل متقارن تکراری از به هم پیوستن دو چندمجموعهای است، که برای هر مجموعه دوتایی، هردو میتوانند جابه جا شوند.
این اشاره دارد به نوعی نامساوی مثلثی:اجتماع تفاضل متقارن A و B، و تفاضل متقارن B و C، شامل تفاضل متقارن A و C میشود. (البته در نظر داشته باشید که برای قطر(به انگلیسی: diameter)تفاضل متقارن، قضیه نامساوی مثلث لزوماً برقرار نیست)
روی هم رفته، مشاهده میشود که مجموعه توانی هر مجموعه X یک گروه آبلی میشود اگر از تفاضل متقارن به عنوان عملگر استفاده شود.
چون هر عضوی در این گروه وارون خودش است، در حقیقت این یک فضای برداری (خطی) روی میدان با دو عضو Z2 است. اگر X متناهی باشد، پس یک مجموعه یکتا تک عضوی پایهٔ این فضای برداری را تشکیل میدهد، و در نتیجهبُعد آن برابر است با تعداد اعضای X. این ساختار در تئوری گراف برای تعریف فضای چرخشی(به انگلیسی: cycle space)گراف استفاده میشود.
و این نشان میدهد که، مجموعه توانی هر مجموعهای، با تفاضل متقارن یک حلقه بولی میشود، به علاوه، در این حلقه، اشتراک، به عنوان ضرب حلقه به حساب میآید. این یک نمونه بارز از حلقه بولی است.
تفاضل متقارن را در جبر بولی، می توان این گونه تعریف کرد:
ویژگیهای این عمل، مانند تفاضل متقارن مجموعهها است.
تفاضل متقارن nتایی
طبق موارد گفته شده، تفاضل متقارن چندمجموعه شامل اعضایی است که در تعداد فردی از مجموعهها آمده باشند.
.
بدیهی است که، این تنها زمانی تعریف خوبی است که هر عضوی از اجتماع توسط تعداد محدودی از اعضای M شرکت کرده باشند.
فرض کنید یک چندمجموعهای است که . آن گاه فرمولی برای وجود دارد، که تعداد اعضا در ، تنها بر حسب اشتراک اعضای M داده شده است.
،
که در نظرگرفتنِ n، دلالت میکند بر این که زیر مجموعهای از اعضای متمایز است، از آن وجود دارد .
تفاضل متقارن در فضای اندازه
مادامی که مفهوم «اندازه» مجموعه وجود دارد، تفاضل متقارن بین دو مجموعه میتواند به عنوان مقیاس «مسافت» بین آن دو در نظر گرفته شود. رسمیتر اینکه، اگر اندازه μ یک سیگما متناهی در جبر سیگماتعریف شود، تابع
مینویسیم:اگر و فقط اگر . رابطهٔ "" روی مجموعههای اندازه پذیر، همارزی است.
مینویسیم اگر و فقط اگر به هر وجود دارد مانند . رابطه "" یک ترتیب جزئی روی خانوادهٔ زیرمجموعههای A است.
مینویسیم: اگر و فقط اگر و. رابطهٔ "" رابطهٔ همارزی بین زیرمجموعههای است.
«بستار متقارن» (به انگلیسی: symmetric closure)از ، مجموعهای از همهٔ مجموعههای اندازه پذیر است که هستند به برخی .
بستار متقارن از ، را دربردارد. اگر تابع جبر سیگما از باشد، بنابراین بستار متقارن از است.