جبر سیگما

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در ریاضی، جبر سیگما (گاه جبر \sigma یا جبر \Sigma، انگلیسی: \sigma-algebra) یا میدان سیگما بر روی مجموعه X، به مجموعه‌ای از زیرمجموعه‌های X گفته می‌شود که تحت انجام تعداد شمارایی از جبر مجموعه‌ای (مانند اتحاد، اشتراک یا کسر)، بسته بماند. یعنی تعداد شمارایی از انجام این گونه جبرها بر روی اعضای جبر سیگما، باز همواره عضوی از آن خواهد بود. به طور دیگر و خلاصه نیز می‌توان، جبر سیگما را به صورت زیر تعریف کرد:

اگر \Sigma جبر سیگما بر روی مجموعه X باشد، آنگاه داریم:

  1. اگر E عضوی از \Sigma باشد، آنگاه متمم آن X\E نیز عضوی از \Sigma است.
  2. اشتراک یا اجتماعِ تعداد شمارایی از اعضای \Sigma مجدداً در \Sigma است.

از ۱ و ۲ مستقیم نتیجه می‌شود که مجموعه تهی و X نیز هردو در \Sigma هستند. از این گذشته، جبرهای سیگما نیز مانند جبر بولی شمارا می‌باشند.

جبرهای سیگما، نقطه عطف و بنیادین در تعریف، نظریه اندازه و نظریه احتمالات هستند.

جستار وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  • R. M. Dudley, 2002. Real Analysis and Probability. Cambridge University Press.
  • Paul Halmos, 1950. Measure theory. Van Nostrand and Co.
  • Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8