معادله پائولی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

معادله پائولی که با نام معادله شرودینگر-پائولی نیز شناخته شده است٬ فرمول‌بندی معادله شرودینگر برای ذرات اسپین-۱⁄۲ است که برهمکنش اسپین ذرات با میدان الکترومغناطیسی را در نظر می‌گیرد.این معادله در حقیقت ٬حد غیرنسبیتی معادله دیراک است و در سرعت‌هایی که اثرات نسبیتی قابل چشم‌پوشی هستند کاربرد دارد.

این معادله در سال ۱۹۲۷ توسط ولفگانگ پائولی به دست‌آمد.

جزئیات[ویرایش]

برای یک ذره با جرم m و بار الکتریکی q در میدان الکترومغناطیسی توصیف‌شده با پتانسیل برداری

و پتانسیل اسکالر الکتریکی ϕ ٬ این معادله می‌شود:

معادله پائولی (حالت کلی)

که در آن

یک بردار سه‌مولفه‌ای از ماتریس‌های پاولی است ٬ یعنی هر مولفه آن یک ماتریس پاولی است٬

بردار سه‌مولفه‌ای عملگر تکانه است و ∇ عملگر گرادیان گرادیان است و

اسپینور دومولفه‌ای تابع موج است ٬ یک بردار ستونی که با نمادگذاری دیراک نوشته شده است. به طور صریح‌تر می‌توان معادله پاولی را چنین نوشت:

که هامیلتونی در آن٬ به خاطر وجود ماتریس‌های پاولی٬ یک عملگر ماتریسی ۲ در ۲ است .

رابطه با معادله شرودینگر و معادله دیراک[ویرایش]

معادله پائولی غیرنسبیتی است ٬ اما وجود اسپین را پیش‌بینی می‌کند.بنابراین جایگاهی بین معادله شرودینگر و معادله دیراک دارد:

  • معادله شرودینگر غیرنسبیتی است و اسپین را هم پیش‌بینی نمی‌کند.
  • معادله دیراک کاملاً نسبیتی است و اسپین را هم پیش‌بینی می‌کند.

توجه کنید که به خاطر خواص ماتریس‌های پاولی ٬ اگر بردار صفر گردد٬ معادله به همان معادله شرودینگر برای ذره در پتانسیل اسکالر ϕ تبدیل می‌شود.

حالات خاص[ویرایش]

در حضور میدان مغناطیسی خارجی معادله پاولی می‌شود:

معادله پاولی (میدان مغناطیسی)

که در آن

,

مولفه‌های اسپینور پاولی هستند.B میدان مغناطیسی خارجی است و

ماتریس همانی است که به عنوان عملگر همانی عمل می‌کند.

منابع[ویرایش]