برهم‌نهی کوانتومی

برهم‌نهی کوانتومی حالت‌ها و واهَمَدوسی

برهم‌نهی کوانتومی (به انگلیسی: Quantum superposition) یک اصل بنیادی در مکانیک کوانتومی است که بیان می‌کند ترکیب‌های خطی از پاسخ‌های معادله شرودینگر نیز خود پاسخی برای همان معادله هستند. این موضوع از این واقعیت ناشی می‌شود که معادله شرودینگر یک معادله دیفرانسیل خطی بر حسب زمان و مکان است. به بیان دقیق‌تر، حالت یک سیستم توسط یک ترکیب خطی از تمام ویژه‌تابع‌های معادله شرودینگر حاکم بر آن سیستم توصیف می‌شود.

یک مثال، کیوبیتی است که در پردازش اطلاعات کوانتومی به کار می‌رود. حالت یک کیوبیت در کلی‌ترین شکل خود، برهم‌نهی از حالت‌های پایه $|0\rangle$ و $|1\rangle$ است:

$|\Psi \rangle =c_{0}|0\rangle +c_{1}|1\rangle ,$

که در آن $|\Psi \rangle$ حالت کوانتومی کیوبیت است و $|0\rangle$ و $|1\rangle$ با استفاده از نمادگذاری دیراک، پاسخ‌های مشخصی برای معادله شرودینگر هستند که توسط دو دامنه احتمال $c_{0}$ و $c_{1}$ (که هر دو اعداد مختلط هستند) وزن‌دهی شده‌اند. در اینجا، $|0\rangle$ متناظر با بیت کلاسیک ۰ و $|1\rangle$ متناظر با بیت کلاسیک ۱ است. احتمال اندازه‌گیری سیستم در حالت $|0\rangle$ یا $|1\rangle$ به ترتیب با $|c_{0}|^{2}$ و $|c_{1}|^{2}$ داده می‌شود (نگاه کنید به قانون بورن). پیش از انجام اندازه‌گیری، کیوبیت در حالت برهم‌نهی از هر دو حالت قرار دارد.

نوارهای تداخلی در آزمایش دو شکاف نمونه دیگری از اصل برهم‌نهی را فراهم می‌کنند.

اصل موج

نظریه مکانیک کوانتومی این اصل را مسلم می‌داند که یک معادله موج، حالت یک سیستم کوانتومی را در تمام زمان‌ها به‌طور کامل تعیین می‌کند. علاوه بر این، این معادله دیفرانسیل محدود به خطی و همگن بودن است. این شرایط به این معنی است که برای هر دو پاسخ معادله موج، $\Psi _{1}$ و $\Psi _{2}$، یک ترکیب خطی از آن پاسخ‌ها نیز در معادله موج صدق می‌کند: $$\Psi =c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}$$ که در آن $c_{1}$ و $c_{2}$ ضرایب مختلط دلخواه هستند. اگر معادله موج بیش از دو پاسخ داشته باشد، ترکیب تمام این پاسخ‌ها نیز مجدداً پاسخ‌های معتبری خواهند بود.

تبدیل

معادله موج کوانتومی را می‌توان با استفاده از توابع مکان، $\Psi ({\vec {r}})$، یا با استفاده از توابع تکانه، $\Phi ({\vec {p}})$ حل کرد و در نتیجه، برهم‌نهی توابع تکانه نیز پاسخ محسوب می‌شود: $$\Phi ({\vec {p}})=d_{1}\Phi _{1}({\vec {p}})+d_{2}\Phi _{2}({\vec {p}})$$ پاسخ‌های مکان و تکانه از طریق یک تبدیل خطی، یعنی تبدیل فوریه، به یکدیگر مرتبط هستند. این تبدیل خود یک برهم‌نهی کوانتومی است و هر تابع موج مکانی را می‌توان به صورت برهم‌نهی از توابع موج تکانه و بالعکس نمایش داد. این برهم‌نهی‌ها شامل تعداد نامتناهی از امواج تشکیل‌دهنده هستند.

تعمیم به حالت‌های پایه

تبدیل‌های دیگر، یک پاسخ کوانتومی را به صورت برهم‌نهی از ویژه‌بردارها بیان می‌کنند که هر یک متناظر با یک نتیجه ممکن از اندازه‌گیری روی سیستم کوانتومی است. یک ویژه‌بردار $\psi _{i}$ برای یک عملگر ریاضیاتی ${\hat {A}}$، دارای معادله زیر است: $${\hat {A}}\psi _{i}=\lambda _{i}\psi _{i}$$ که در آن $\lambda _{i}$ یکی از مقادیر کوانتومی قابل اندازه‌گیری برای کمیت مشاهده‌پذیر $A$ است. یک برهم‌نهی از این ویژه‌بردارها می‌تواند هر پاسخی را نمایش دهد: $$\Psi =\sum _{n}a_{i}\psi _{i}.$$ حالت‌هایی مانند $\psi _{i}$، حالت‌های پایه نامیده می‌شوند.

نمادگذاری فشرده برای برهم‌نهی‌ها

عملیات ریاضیاتی مهم روی پاسخ‌های سیستم‌های کوانتومی را می‌توان تنها با استفاده از ضرایب برهم‌نهی و با نادیده گرفتن جزئیات توابع برهم‌نهاده انجام داد. این امر منجر به بیان سیستم‌های کوانتومی در نمادگذاری دیراک می‌شود: $$|v\rangle =d_{1}|1\rangle +d_{2}|2\rangle$$ این رویکرد به ویژه برای سیستم‌هایی مانند اسپین کوانتومی که هیچ مشابه کلاسیکی در مختصات ندارند، مؤثر است. چنین نمادگذاری مختصری در کتاب‌های درسی و مقالات مکانیک کوانتومی بسیار رایج است و برهم‌نهی حالت‌های پایه ابزاری بنیادین در مکانیک کوانتومی محسوب می‌شود.

پیامدها

پل دیراک اصل برهم‌نهی را این‌گونه توصیف کرد:

ماهیت غیرکلاسیک فرایند برهم‌نهی زمانی به وضوح آشکار می‌شود که برهم‌نهی دو حالت A و B را در نظر بگیریم، به طوری که مشاهده‌ای وجود دارد که اگر روی سیستم در حالت A انجام شود، به‌طور قطع به یک نتیجه خاص، مثلاً a، منجر می‌شود و اگر روی سیستم در حالت B انجام شود، به‌طور قطع به نتیجه‌ای متفاوت، مثلاً b، می‌انجامد. نتیجه این مشاهده وقتی روی سیستم در حالت برهم‌نهاده انجام شود چه خواهد بود؟ پاسخ این است که نتیجه، گاهی a و گاهی b خواهد بود، بر اساس یک قانون احتمال که به وزن‌های نسبی A و B در فرایند برهم‌نهی بستگی دارد. نتیجه هرگز چیزی متفاوت از هر دوی a و b نخواهد بود [یعنی یا a است یا b]. بنابراین، ویژگی میانی حالتی که از برهم‌نهی شکل گرفته، خود را از طریق این واقعیت بیان می‌کند که احتمال یک نتیجه خاص برای یک مشاهده، مقداری میانی بین احتمالات متناظر برای حالت‌های اولیه است، نه اینکه خود نتیجه، مقداری میانی بین نتایج متناظر برای حالت‌های اولیه باشد.

آنتون تسایلینگر، با اشاره به مثال اولیه آزمایش دو شکاف، در مورد ایجاد و از بین رفتن برهم‌نهی کوانتومی توضیح داده است:

«[ب]رهم‌نهی دامنه‌ها … تنها زمانی معتبر است که هیچ راهی برای دانستن اینکه ذره کدام مسیر را پیموده است، حتی به صورت بالقوه، وجود نداشته باشد. درک این نکته مهم است که این به آن معنا نیست که یک مشاهده‌گر واقعاً آنچه را اتفاق می‌افتد ثبت کند. کافی است که الگوی تداخلی از بین برود، اگر اطلاعات مسیر به صورت بالقوه از آزمایش قابل دسترسی باشد یا حتی اگر در محیط پراکنده شده و بازیابی آن فراتر از هرگونه امکان فنی باشد، اما در اصل هنوز «آنجا بیرون» وجود داشته باشد. عدم وجود هرگونه اطلاعاتی از این دست، معیار اساسی برای ظهور تداخل کوانتومی است.»

نظریه

فرمالیسم کلی

هر حالت کوانتومی را می‌توان به صورت یک مجموع یا برهم‌نهی از ویژه‌حالت‌های یک عملگر هرمیتی، مانند هامیلتونی، بسط داد، زیرا ویژه‌حالت‌ها یک پایه کامل را تشکیل می‌دهند:

$|\alpha \rangle =\sum _{n}c_{n}|n\rangle ,$

که در آن $|n\rangle$ ویژه‌حالت‌های انرژی هامیلتونی هستند. برای متغیرهای پیوسته مانند ویژه‌حالت‌های مکان، $|x\rangle$:

$|\alpha \rangle =\int dx'|x'\rangle \langle x'|\alpha \rangle ,$

که در آن $\phi _{\alpha }(x)=\langle x|\alpha \rangle$ تصویر حالت بر روی پایه $|x\rangle$ است و تابع موج ذره نامیده می‌شود. در هر دو مورد، مشاهده می‌کنیم که $|\alpha \rangle$ را می‌توان به صورت برهم‌نهی از تعداد نامتناهی حالت پایه بسط داد.

مثال

با توجه به معادله شرودینگر

${\hat {H}}|n\rangle =E_{n}|n\rangle ,$

که در آن $|n\rangle$ مجموعه‌ای از ویژه‌حالت‌های هامیلتونی با ویژه‌مقادیر انرژی $E_{n}$ را مشخص می‌کند، بلافاصله می‌بینیم که

${\hat {H}}{\big (}|n\rangle +|n'\rangle {\big )}=E_{n}|n\rangle +E_{n'}|n'\rangle ,$

که در آن

$|\Psi \rangle =|n\rangle +|n'\rangle$

یک پاسخ برای معادله شرودینگر است اما به‌طور کلی یک ویژه‌حالت نیست، زیرا $E_{n}$ و $E_{n'}$ عموماً با هم برابر نیستند. ما می‌گوییم که $|\Psi \rangle$ از برهم‌نهی ویژه‌حالت‌های انرژی تشکیل شده است. حال مورد ملموس‌تر یک الکترون را در نظر بگیرید که اسپین آن یا بالا است یا پایین. اکنون ویژه‌حالت‌ها را با اسپینورها در پایه ${\hat {z}}$ مشخص می‌کنیم:

$|\Psi \rangle =c_{1}|{\uparrow }\rangle +c_{2}|{\downarrow }\rangle ,$

که در آن $|{\uparrow }\rangle$ و $|{\downarrow }\rangle$ به ترتیب حالت‌های اسپین-بالا و اسپین-پایین را نشان می‌دهند. همان‌طور که پیش‌تر بحث شد، اندازه ضرایب مختلط، احتمال یافتن الکترون در هر یک از حالت‌های اسپین معین را به دست می‌دهد:

$P{\big (}|{\uparrow }\rangle {\big )}=|c_{1}|^{2},$

$P{\big (}|{\downarrow }\rangle {\big )}=|c_{2}|^{2},$

$P_{\text{total}}=P{\big (}|{\uparrow }\rangle {\big )}+P{\big (}|{\downarrow }\rangle {\big )}=|c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1,$

که در آن احتمال یافتن ذره با اسپین بالا یا پایین به ۱ نرمالیزه شده است. توجه داشته باشید که $c_{1}$ و $c_{2}$ اعداد مختلط هستند، به طوری که

$|\Psi \rangle ={\frac {3}{5}}i|{\uparrow }\rangle +{\frac {4}{5}}|{\downarrow }\rangle .$

نمونه‌ای از یک حالت مجاز است. حال به دست می‌آوریم:

$P{\big (}|{\uparrow }\rangle {\big )}=\left|{\frac {3i}{5}}\right|^{2}={\frac {9}{25}},$

$P{\big (}|{\downarrow }\rangle {\big )}=\left|{\frac {4}{5}}\right|^{2}={\frac {16}{25}},$

$P_{\text{total}}=P{\big (}|{\uparrow }\rangle {\big )}+P{\big (}|{\downarrow }\rangle {\big )}={\frac {9}{25}}+{\frac {16}{25}}=1.$

اگر یک کیوبیت را با هر دو ویژگی مکان و اسپین در نظر بگیریم، حالت آن برهم‌نهی از تمام امکان‌های موجود برای هر دو است:

$\Psi =\psi _{+}(x)\otimes |{\uparrow }\rangle +\psi _{-}(x)\otimes |{\downarrow }\rangle ,$

که در آن یک حالت کلی $\Psi$ مجموع ضرب تانسوری توابع موج در فضای مکان و اسپینورها است.

آزمایش‌ها

آزمایش‌های موفقی شامل برهم‌نهی اشیاء نسبتاً بزرگ (بر اساس استانداردهای فیزیک کوانتوم) انجام شده است.

• یک یون بریلیم در حالت برهم‌نهاده به دام افتاده است.
• یک آزمایش دو شکاف با مولکول‌هایی به بزرگی باکی‌بال و اولیگوپورفیرین‌های عامل‌دار شده با حداکثر ۲۰۰۰ اتم انجام شده است.
• مولکول‌هایی با جرم بیش از ۱۰٬۰۰۰ و متشکل از بیش از ۸۱۰ اتم با موفقیت در حالت برهم‌نهی قرار گرفته‌اند
• مغناطیس‌سنج‌های بسیار حساس با استفاده از دستگاه‌های تداخل کوانتومی ابررسانا (SQUIDs) که با استفاده از اثرات تداخل کوانتومی در مدارهای ابررسانا کار می‌کنند، ساخته شده‌اند.
• یک «دیاپازون» پیزوالکتریک ساخته شده است که می‌توان آن را در برهم‌نهی حالت‌های ارتعاشی و غیرارتعاشی قرار داد. این تشدیدگر حدود ۱۰ تریلیون اتم دارد.
• تحقیقات اخیر نشان می‌دهد که کلروفیل در گیاهان ظاهراً از ویژگی برهم‌نهی کوانتومی برای دستیابی به کارایی بیشتر در انتقال انرژی بهره می‌برد، که به پروتئین‌های رنگدانه اجازه می‌دهد در فاصله‌ای دورتر از آنچه در غیر این صورت ممکن بود، قرار گیرند.

در رایانه‌های کوانتومی

در رایانه‌های کوانتومی، یک کیوبیت مشابه بیت اطلاعات کلاسیک است، اما به جای داشتن یکی از دو مقدار متمایز، کیوبیت‌ها برهم‌نهی از دو مقدار هستند. کنترل این کیوبیت‌های برهم‌نهاده یک چالش اصلی در محاسبات کوانتومی است. برهم‌نهی باید در برابر برهم‌کنش‌های ناخواسته مقاوم باشد و در عین حال، برهم‌کنش‌ها برای محاسبات با کیوبیت‌ها ضروری هستند. سیستم‌های کیوبیتی مانند اسپین هسته‌ای با قدرت جفت‌شدگی کم، در برابر اغتشاشات خارجی مقاوم هستند، اما همین جفت‌شدگی ضعیف، خواندن نتایج را دشوار می‌سازد.

جستارهای وابسته

• ویژه‌حالت
• تداخل‌سنج ماخ-زندر
• محاسبات کوانتومی
• گربه شرودینگر
• اصل برهم‌نهی
• بسته موج

برای مطالعه بیشتر

• بور، ن. (1927/1928). The quantum postulate and the recent development of atomic theory, Nature Supplement 14 April 1928, ۱۲۱: ۵۸۰–۵۹۰.
• کوهن-تانوجی، ک.، دیو، ب. لالوئه، ف. (1973/1977). Quantum Mechanics, translated from the French by S. R. Hemley, N. Ostrowsky, D. Ostrowsky, second edition, volume 1, Wiley, New York, شابک ‎۰۴۷۱۱۶۴۳۲۱.
• اینشتین، آ. (1949). Remarks concerning the essays brought together in this co-operative volume, translated from the original German by the editor, pp. 665–688 in شیلپ، پ.آ. editor (1949), Albert Einstein: Philosopher-Scientist, volume II, Open Court, La Salle IL.
• فاینمن، ر.پ.، لیتون، ر.ب. سندز، م. (1965). The Feynman Lectures on Physics, volume 3, Addison-Wesley, Reading, MA.
• مرتسباخر، ا. (1961/1970). Quantum Mechanics, second edition, Wiley, New York.
• مسیحا، آ. (1961). Quantum Mechanics, volume 1, translated by G.M. Temmer from the French Mécanique Quantique, North-Holland, Amsterdam.
• Wheeler، J. A.؛ Zurek، W.H. (۱۹۸۳). Quantum Theory and Measurement. Princeton NJ: Princeton University Press.
• Nielsen، Michael A.؛ Chuang، Isaac (۲۰۰۰). Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge: انتشارات دانشگاه کمبریج. OCLC 43641333. شابک ۰۵۲۱۶۳۲۳۵۸.
• Williams, Colin P. (2011). Explorations in Quantum Computing (به انگلیسی). اشپرینگر.
• Yanofsky، Noson S.؛ Mannucci، Mirco (۲۰۱۳). Quantum computing for computer scientists. انتشارات دانشگاه کمبریج. شابک ۹۷۸-۰-۵۲۱-۸۷۹۹۶-۵.