عدد

روابط شمول مجموعه‌ای میان اعداد طبیعی (ℕ)، اعداد صحیح (ℤ)، کسرهای اعشاری (𝔻)، اعداد گویا (ℚ)، اعداد حقیقی (ℝ) و اعداد مختلط (ℂ)

عدد یک شیء ریاضی است که برای شمارش، اندازه‌گیری و برچسب‌گذاری به‌کار می‌رود. ابتدایی‌ترین نمونه‌های آن اعداد طبیعی هستند: ۱، ۲، ۳، ۴، ۵ و به همین ترتیب. اعداد منفرد را می‌توان در زبان گفتاری یا نوشتاری با واژه‌های عددی بیان کرد یا با نمادهای اختصاصی به نام ارقام نوشت؛ برای نمونه «یازده» یک واژهٔ عددی است و «۱۱» رقم متناظر آن. از آنجا که تنها فهرست محدودی از نمادها را می‌توان به خاطر سپرد، از دستگاه شمارش برای نمایش هر عددی به شکلی سازمان‌یافته بهره گرفته می‌شود. متداول‌ترین نمایش، عددنویسی هندی-عربی است؛ دستگاهی ده‌دهی که می‌تواند هر عدد صحیح غیرمنفی را با ترکیبی از ده نماد عربی به نام رقم نشان دهد. اعداد (ارقام) را می‌توان برای شمارش (مانند عدد اصلی یک مجموعه یا مجموعه)، برچسب‌گذاری (مانند شماره تلفن)، ترتیب‌بندی (مانند شماره‌های سریال) و رمزگذاری (مانند شابک) به‌کار برد. با این حال در کاربرد روزمره، «رقم» و «عدد» اغلب از هم تمیز داده نمی‌شوند.

در ریاضیات، مفهوم عدد در طول قرن‌ها گسترش یافته و صفر (۰)، اعداد منفی مانند ۱− (−۱)، اعداد گویا مانند نیم $\left({\tfrac {1}{2}}\right)$، اعداد حقیقی مانند ریشه دوم ۲ $\left({\sqrt {2}}\right)$ و عدد پی ($\pi$)، و اعداد مختلط را دربرگرفته است؛ اعداد مختلط، اعداد حقیقی را با ریشه دوم −1 (i) توسعه می‌دهند و ترکیب‌هایی از آن با اعداد حقیقی از طریق جمع یا تفریق مضارب آن را شامل می‌شوند. محاسبات با اعداد از طریق عملیات حسابی انجام می‌شود که آشناترین آن‌ها جمع، تفریق، ضرب، تقسیم و توان هستند. بررسی یا کاربرد این عملیات حساب نامیده می‌شود؛ اصطلاحی که گاه به نظریه اعداد، یعنی پژوهش در ویژگی‌های اعداد، نیز اشاره دارد.

پذیرفتن صفر به عنوان یک عدد مستلزم تحولی بنیادین در اندیشه بود؛ یعنی شناختن «هیچی» به‌عنوان یک مقدار. در سدهٔ نوزدهم میلادی، ریاضیدانان آغاز به پرورش دستگاه‌های گوناگونی کردند که امروزه ساختار جبری نامیده می‌شوند؛ این ساختارها برخی ویژگی‌های اعداد را به اشتراک دارند و می‌توان آن‌ها را بسطی از مفهوم عدد دانست. برخی ساختارهای جبری صریحاً «عدد» نامیده می‌شوند (مانند اعداد p-ادیک و اعداد هایپرمختلط) و برخی دیگر نه؛ اما این بیشتر مسئله‌ای قراردادی است تا تمایزی ریاضی.

تاریخچه

اطلاعات بیشتر: تاریخ ریاضیات

نخستین بهره‌گیری از اعداد

مقالهٔ اصلی: تاریخ دستگاه‌های شمارش باستانی

استخوان ایشانگو در نمایشگاه موزه علوم طبیعی بلژیک

استخوان‌ها و دیگر دست‌ساخته‌هایی با خراش‌هایی بر روی خود یافت شده‌اند که بسیاری از پژوهشگران آن‌ها را نشانه‌های چوب‌خط می‌دانند. برخی از مورخان بر این باورند که استخوان لبومبو (با پیشینه‌ای در حدود ۴۳٬۰۰۰ سال پیش) و استخوان ایشانگو (با پیشینه‌ای در حدود ۲۲٬۰۰۰ تا ۳۰٬۰۰۰ سال پیش) کهن‌ترین دست‌ساخته‌های حسابی شناخته‌شده هستند، هرچند این تفسیر مورد اختلاف است. این نشانه‌های چوب‌خط احتمالاً برای شمارش زمان سپری‌شده — مانند شمار روزها یا دوره‌های ماه — یا نگهداری سوابق کمیت‌ها مانند شمار دام‌ها بهره‌گرفته می‌شدند. گمان می‌رود دستگاه ادراکی کمیت که زیربنای توان شمارش را تشکیل می‌دهد با دیگر گونه‌های جانوری نیز مشترک باشد؛ این گستردگی فیلوژنتیک نشان می‌دهد که این توان پیش از پیدایش زبان وجود داشته‌است.

دستگاه چوب‌خط هیچ مفهومی از ارزش مکانی (مانند نمایش ده‌دهی امروزین) ندارد و از این رو نمایش اعداد بزرگ در آن دشوار است. با این حال، دستگاه‌های چوب‌خط نخستین نوع دستگاه شمارش انتزاعی به‌شمار می‌روند.

کهن‌ترین اعداد بدون ابهام در سوابق باستان‌شناختی، دستگاه پایه ۶۰ (شصتگانی) بین‌النهرین (حدود ۳۴۰۰ پیش از میلاد) هستند؛ ارزش مکانی در هزاره سوم پیش از میلاد پدید آمد. کهن‌ترین دستگاه شناخته‌شده پایه ۱۰ به ۳۱۰۰ پیش از میلاد در مصر تعلق دارد. یک لوح گلین بابلی متعلق به ۲۹۹۶۸۱۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰♠۱۹۰۰–۱۶۰۰ BC تقریبی برای نسبت محیط دایره به قطر آن برابر با ${\textstyle 3{\frac {1}{8}}}$ = ۳٫۱۲۵ ارائه می‌دهد که احتمالاً کهن‌ترین تقریب π است.

عددنویسه‌ها

مقالهٔ اصلی: دستگاه شمارش

از بالا به پایین: بریل، هندی-عربی، دواناگری، عددنویسه‌های عربی شرقی، اعداد چینی، اعداد مالی چینی و اعداد رومی

باید میان اعداد و عددنویسه‌ها (نمادهای بهره‌گرفته برای نمایش اعداد) تمایز قائل شد. مصریان نخستین دستگاه عددنویسه رمزی را ابداع کردند و یونانیان به پیروی از آنان اعداد شمارشی خود را بر الفبای ایونیایی و دوریایی منطبق ساختند. (با این حال، در ۳۰۰ پیش از میلاد، ارشمیدس نخستین کسی بود که بهره‌گیری از دستگاه شمارش مکانی را برای نمایش اعداد بسیار بزرگ در اثر شمارنده شن به نمایش گذاشت.) اعداد رومی که دستگاهی مبتنی بر ترکیب حروف الفبای رومی بود تا گسترش عددنویسی هندی-عربی در اواخر سده چهاردهم میلادی بر اروپا چیره بود و دستگاه عددنویسی هندی-عربی هنوز هم متداول‌ترین دستگاه برای نمایش اعداد در جهان است. کلید اثربخشی این دستگاه نماد صفر بود که ریاضی‌دانان باستانی هندی در حدود سال ۵۰۰ میلادی آن را پدیدآوردند.

صفر

عدد ۶۰۵ به عددنویسه‌های خمر، از کتیبه‌ای متعلق به سال ۶۸۳ میلادی. نمونه‌ای از بهره‌گیری زودهنگام از صفر به عنوان رقم اعشاری.

نخستین بهره‌گیری مکتوب و شناخته‌شده از صفر به عنوان یک عدد صحیح به سال ۶۲۸ میلادی تعلق دارد و در برهماسفوتاسیدهانتا — اثر اصلی ریاضی‌دان هندی برهماگوپتا — ظاهر می‌شود. او معمولاً نخستین کسی دانسته می‌شود که مفهوم ریاضی صفر را صورت‌بندی کرد. برهماگوپتا صفر را عدد می‌شمرد و عملیات مرتبط با آن از جمله تقسیم بر صفر را بررسی کرد. او قواعد بهره‌گیری از صفر با اعداد منفی و مثبت را بیان کرد؛ از جمله اینکه «صفر به اضافه یک عدد مثبت، عدد مثبت است و یک عدد منفی به اضافه صفر، همان عدد منفی است.» در این زمان (سده هفتم میلادی)، این مفهوم به روشنی به کامبوج رسیده بود و در قالب عددنویسه‌های خمر نمود یافته بود، و اسناد تاریخی نشان می‌دهند که این ایده سپس‌تر به چین و جهان اسلام گسترش یافت. این مفهوم از حدود سال ۱۰۰۰ میلادی از راه منابع اسلامی به اروپا راه یافت.

بهره‌گیری‌هایی از صفر پیش از برهماگوپتا نیز وجود دارد، هرچند اسناد آن‌ها به اندازه برهماسفوتاسیدهانتا کامل نیستند. کهن‌ترین بهره‌گیری‌ها از صفر به صورت یک رقم نگه‌دارنده جا در دستگاه‌های شمارش مکانی بود که عدد دیگری را نمایش می‌داد، همان‌گونه که بابلیان این کار را می‌کردند. بسیاری از متون باستانی از جمله متون بابلی و مصری از ۰ بهره می‌گرفتند. مصریان از واژه nfr برای نشان دادن تراز صفر در حسابداری دوطرفه بهره می‌بردند. متون هندی از واژه‌ای سانسکریت یعنی Shunye یا shunya برای اشاره به مفهوم «تهی» بهره می‌بردند که در متون ریاضی اغلب به عدد صفر اشاره دارد. به همین شکل، پانینی (سده پنجم پیش از میلاد) از عملگر تهی (صفر) در اشتادهیایی بهره برد، که نمونه‌ای زودهنگام از دستور زبان جبری برای زبان سانسکریت است (همچنین نگاه کنید به پینگالا).

اسناد تاریخی نشان می‌دهند که یونانیان باستان دربارهٔ جایگاه ۰ به عنوان عدد نامطمئن بودند: آنان از خود می‌پرسیدند «چگونه می‌تواند «هیچ» چیزی باشد؟» که این پرسش به بحث‌های فلسفی جالب و در دوره میانه به مجادلات دینی دربارهٔ ماهیت و هستی ۰ و خلأ انجامید. پارادوکس‌های زنون الئایی تا اندازه‌ای به تفسیر نامشخص ۰ وابسته‌اند. (یونانیان باستان حتی دربارهٔ اینکه آیا ۱ عدد است نیز تردید داشتند.)

عددنویسه‌های مایا نمونه‌ای از دستگاه شمارش پایه ۲۰ هستند.

مردم دیرهنگام اولمک در جنوب مرکزی مکزیک از حدود ۳۸ پیش از میلاد در جهان نو از یک نماد نگه‌دارنده جا برای صفر — یک گلیف شبیه صدف — بهره می‌بردند. این مردم مایا بودند که صفر را به عنوان یک عدد اصلی (کاردینال) پروراندند و آن را در دستگاه عددنویسه‌های مایا و گاه‌شماری مایا به کار گرفتند. مایاها از دستگاه عددی پایه ۲۰ بهره می‌بردند که با ترکیب شماری از نقطه‌ها (پایه ۵) و شماری از خط‌ها (پایه ۴) ساخته می‌شد. جرج آی. سانچز در سال ۱۹۶۱ از یک چرتکه «انگشتی» پایه ۴ و پایه ۵ گزارش داد.

تا سال ۱۳۰ میلادی، بطلمیوس که از ابرخس و بابلیان تأثیر پذیرفته بود، از نمادی برای ۰ (دایره کوچکی با خطی بلند روی آن) در یک دستگاه شمارش شصتگانی که وگرنه از اعداد یونانی الفبایی بهره می‌برد، استفاده می‌کرد. از آنجا که این نماد به تنهایی و نه صرفاً به عنوان نگه‌دارنده جا بهره می‌رفت، این صفر هلنیستی نخستین بهره‌گیری مستند از یک صفر واقعی در جهان کهن است. در دست‌نوشته‌های بعدی بیزانسی از سینتاکسیس ماتماتیکا (المجسطی) او، صفر هلنیستی به صورت حرف یونانی امیکرون درآمده بود (که وگرنه در ایزوپسفی به معنای ۷۰ است).

یک صفر واقعی در ۵۲۵ میلادی در جداول کنار اعداد رومی بهره‌گرفته شد (نخستین بهره‌گیری شناخته‌شده توسط دیونیسیوس اکسیگووس)، اما نه به عنوان نماد بلکه به صورت واژه nulla به معنای «هیچ». هنگامی که تقسیم به باقیمانده ۰ می‌رسید، nihil نیز به همین معنا بهره می‌رفت. این صفرهای سده‌های میانه را همه محاسبه‌گران آینده این دوره (محاسبه‌گران تاریخ عید پاک) بهره گرفتند. یک بهره‌گیری منفرد از حرف اول آن، یعنی N، در جدولی از اعداد رومی توسط سنت بید یا همکارش در حدود سال ۷۲۵ به کار رفت که یک نماد واقعی صفر بود.

اعداد منفی

اطلاعات بیشتر: تاریخ اعداد منفی

مفهوم انتزاعی اعداد منفی در فاصله ۱۰۰ تا ۵۰ پیش از میلاد در چین شناخته شده بود. نه فصل در هنر ریاضی روش‌هایی برای یافتن مساحت شکل‌ها دربردارد؛ در آن، چوب‌دست‌های قرمز برای نشان دادن ضرایب مثبت و چوب‌دست‌های سیاه برای ضرایب منفی بهره می‌رفتند. نخستین اشاره در یک اثر غربی به سده سوم میلادی در یونان تعلق دارد. دیوفانت در آریتمتیکا به معادله‌ای معادل 4x + 20 = ۰ (که پاسخ آن منفی است) اشاره کرد و گفت که این معادله پاسخی نامعقول می‌دهد.

در دهه ۶۰۰ میلادی، اعداد منفی در هند برای نمایش بدهی بهره می‌رفتند. اشاره پیشین دیوفانت را ریاضی‌دان هندی برهماگوپتا در برهماسفوتاسیدهانتا در سال ۶۲۸ میلادی با صراحت بیشتر بررسی کرد و از اعداد منفی برای به دست آوردن فرم کلی فرمول مربعی بهره برد که هنوز هم در دسترس است. اما در سده دوازدهم میلادی در هند، باسکارا ریشه‌های منفی برای معادلات مربعی را ذکر می‌کند ولی می‌گوید که مقدار منفی «در این مورد پذیرفتنی نیست چرا که ناکافی است؛ مردم ریشه‌های منفی را نمی‌پذیرند».

ریاضی‌دانان اروپایی تا سده هفدهم میلادی در بیشتر موارد با مفهوم اعداد منفی مقاومت کردند، هرچند فیبوناچی پاسخ‌های منفی را در مسائل مالی که می‌توانستند به عنوان بدهی تفسیر شوند (فصل ۱۳ از لیبر آباچی, ۱۲۰۲) و سپس به عنوان زیان (در Flos) می‌پذیرفت. رنه دکارت آن‌ها را «ریشه‌های کاذب» می‌نامید، چرا که در چندجمله‌ای‌های جبری پدیدار می‌شدند، اما روشی برای جابه‌جایی ریشه‌های حقیقی و کاذب یافت. در همین زمان، چینیان اعداد منفی را با کشیدن یک خط قطری از راست‌ترین رقم غیرصفر رقم متناظر مثبت نشان می‌دادند. یکی از نخستین آزمایشگران اروپایی با اعداد منفی نیکلا شوکه در سده پانزدهم میلادی بود. او از آن‌ها به عنوان توان بهره برد اما از آن‌ها با عنوان «اعداد نامعقول» یاد می‌کرد.

تا اواخر قرن هجدهم، چشم‌پوشی از نتایج منفی معادلات با این پندار که فاقد معنا هستند رواج داشت.

اعداد گویا

روش ارشمیدس برای محصور کردن مقدار پی با بهره‌گیری از محیط چندضلعی‌های محیطی و داخلی، تخمین‌هایی از جنس عدد گویا به دست می‌دهد.

به احتمال فراوان، مفهوم اعداد کسری به پیشاتاریخ بازمی‌گردد. مصریان باستان از نمادگذاری کسر مصری خود برای اعداد گویا در متون ریاضی چون پاپیروس ریاضی ریند و پاپیروس کاهون بهره می‌بردند. پاپیروس ریند نمونه‌ای از استخراج مساحت دایره از قطر آن را دربردارد که تخمینی برای π برابر با ${\textstyle {\bigl (}{\frac {16}{9}}{\bigr )}^{2}}$ ≈ ۳٫۱۶۰۴۹... به دست می‌دهد. ریاضی‌دانان یونان کلاسیک و هند، نظریه اعداد گویا را در قالب بررسی کلی نظریه اعداد مطالعه کردند. نمونه‌ای بسیار تأثیرگذار از این آثار، اصول اقلیدس است که تاریخ آن به حدود ۳۰۰ پیش از میلاد بازمی‌گردد. از میان متون هندی، مرتبط‌ترین آن‌ها استهاننگا سوترا است که نظریه اعداد را نیز در چارچوب بررسی کلی ریاضیات پوشش می‌دهد.

مفهوم کسرهای اعشاری پیوند نزدیکی با نمادگذاری مکانی اعشاری دارد؛ به نظر می‌رسد این دو در کنار یکدیگر رشد کرده‌اند. برای نمونه، در سوتراهای ریاضی جین محاسبات تقریب‌های کسری-اعشاری از پی یا ریشه دوم ۲ متداول است. به همین‌سان، متون ریاضی بابلی از کسرهای شصت‌دهی (پایه ۶۰) بهره می‌بردند.

اعداد حقیقی و اعداد گنگ

لوح گلی بابلی YBC 7289 که چهار رقم اول شصت‌دهی به‌صورت نمادگذاری مکانی برای تقریب ریشه دوم ۲ را نشان می‌دهد: 1 24 51 10

اطلاعات بیشتر: عدد حقیقی § پیشینه، و تاریخچه اعداد گنگ

بابلی‌ها، دست‌کم از ۱۸۰۰ پیش از میلاد، تقریب‌های عددی از کمیت‌های گنگ مانند √۲ را بر روی لوح‌های گلی با دقتی معادل شش رقم اعشاری نشان دادند؛ از جمله در لوح YBC 7289. این مقادیر بیشتر برای محاسبات کاربردی در هندسه و زمین‌اندازی به کار می‌رفتند. تقریب‌های کاربردی از اعداد گنگ در شولبا سوتراها هندی که بین ۸۰۰ تا ۵۰۰ پیش از میلاد نوشته شده‌اند نیز دیده می‌شود.

نخستین اثبات وجودی اعداد گنگ معمولاً به فیثاغورس و به‌ویژه به هیپاسوس پیروِ مکتب فیثاغوری نسبت داده می‌شود که احتمالاً با استدلالی هندسی، گنگ بودن ریشه دوم ۲ را اثبات کرد. بنابر روایت، هیپاسوس هنگام تلاش برای نمایش ریشه دوم ۲ به‌صورت کسر، اعداد گنگ را کشف کرد. اما فیثاغورس به مطلق بودن اعداد ایمان داشت و نه می‌توانست وجود اعداد گنگ را رد کند و نه آن را بپذیرد؛ از این رو، بنا به افسانه، هیپاسوس را به مرگ از راه غرق شدن محکوم کرد تا از گسترش این خبر ناخوشایند جلوگیری شود.

قرن شانزدهم شاهد پذیرش نهایی اعداد صحیح منفی و اعداد کسری در اروپا بود. در قرن هفدهم، ریاضی‌دانان عموماً از کسرهای اعشاری با نمادگذاری نوین بهره می‌بردند. مفهوم عدد حقیقی در قرن هفدهم توسط رنه دکارت معرفی شد. در سال ۱۶۸۳ م. (۱۰۶۲ ش)، یاکوب برنولی هنگام بررسی بهره مرکب دریافت که با کوتاه‌تر شدن بازه‌های مرکب‌سازی، نرخ رشد نمایی به مبنایی برابر با ۲٫۷۱۸۲۸... همگرا می‌شود؛ این ثابت مهم ریاضی بعدها به نام عدد اویلر (e) شناخته شد. بررسی منظم اعداد گنگ از قرن هجدهم با لئونهارت اویلر آغاز شد؛ او اثبات کرد که اعداد گنگ همان اعدادی هستند که کسرهای مسلسل ساده آن‌ها متناهی نیست و نیز اثبات کرد که عدد اویلر (e) گنگ است. گنگ بودن π در سال ۱۷۶۱ م. (۱۱۴۰ ش) توسط یوهان هاینریش لمبرت اثبات شد.

تعریف دقیق اعداد حقیقی و در نتیجه اعداد گنگ در نیمه دوم قرن نوزدهم با کوشش‌های آگوستین لویی کوشی، شارل مِرِی (۱۸۶۹)، کارل وایرشتراس (۱۸۷۲)، ادوارد هاینه (۱۸۷۲)، گئورگ کانتور (۱۸۸۳) و ریچارد ددکیند (۱۸۷۲) صورت گرفت.

اعداد ترافرازنده و اعداد حقیقی

اطلاعات بیشتر: تاریخچه π و عدد لیووویل

عدد ترافرازنده مقداری عددی است که ریشه هیچ چندجمله‌ای با ضرایب صحیح نیست. این بدان معناست که جبری نیست و در نتیجه تمام اعداد گویا را از دایره شمول خارج می‌کند. وجود اعداد ترافرازنده نخستین‌بار توسط لیوویل (۱۸۴۴، ۱۸۵۱) اثبات شد. هرمیت در سال ۱۸۷۳ م. (۱۲۵۲ ش) ترافرازندگی عدد e را اثبات کرد و لیندمن در سال ۱۸۸۲ م. (۱۲۶۱ ش) ترافرازندگی π را اثبات نمود. سرانجام کانتور نشان داد که مجموعه همه اعداد حقیقی ناشمارا بی‌شمار است اما مجموعه همه اعداد جبری شمارا بی‌شمار است؛ از این رو شمار اعداد ترافرازنده ناشمارا بی‌نهایت است.

بی‌نهایت و بی‌نهایت‌کوچک‌ها

اطلاعات بیشتر: تاریخچه بی‌نهایت

در ریاضیات، بی‌نهایت مفهومی انتزاعی است نه یک عدد؛ بی‌نهایت به جای «بزرگ‌تر از هر عدد»، ویژگی نداشتن پایان است. کهن‌ترین مفهوم شناخته‌شده از بی‌نهایت ریاضی در یاجورودا، متن کهن هندی، یافت می‌شود که در آن آمده‌است: «اگر [کل] از [کل] کاسته شود، باقیمانده همچنان [کل] خواهد بود». بی‌نهایت در حدود ۴۰۰ پیش از میلاد موضوع مورد علاقه بررسی فلسفی ریاضی‌دانان جین بود. آن‌ها پنج نوع بی‌نهایت را از هم متمایز می‌کردند: بی‌نهایت در یک سو و دو سو، بی‌نهایت در مساحت، بی‌نهایت در همه‌جا و بی‌نهایت پیوسته.

ارسطو مفهوم سنتی غربی از بی‌نهایت ریاضی را تعریف کرد. او میان بی‌نهایت بالفعل و بالقوه تمایز قائل شد و اجماع کلی بر آن بود که فقط دومی ارزش واقعی دارد. گالیلئو گالیله در اثر خود گفتگوهای دو علم نو دربارهٔ ایده تناظرهای یک‌به‌یک میان مجموعه‌های نامتناهی، که به «پارادوکس گالیله» شهرت دارد، بحث کرد. پیشرفت بزرگ بعدی در این نظریه توسط گئورگ کانتور صورت گرفت؛ او در سال ۱۸۹۵ م. (۱۲۷۴ ش) کتابی دربارهٔ نظریه مجموعه‌های نوین خود منتشر کرد و در آن از جمله اعداد ترامتناهی را معرفی و فرضیه پیوستار را فرمول‌بندی کرد. نماد ${\text{∞}}$ که اغلب برای نشان دادن یک کمیت نامتناهی به کار می‌رود، نخستین‌بار در سال ۱۶۵۵ م. (۱۰۳۴ ش) توسط جان والیس در یک زمینه ریاضی معرفی شد.

در دهه ۱۹۶۰ م. آبراهام رابینسون نشان داد که اعداد بی‌نهایت بزرگ و بی‌نهایت‌کوچک را می‌توان به‌دقت تعریف کرد و از آن‌ها برای توسعه حوزه آنالیز غیراستاندارد بهره گرفت. دستگاه اعداد ابرحقیقی روشی دقیق برای پرداختن به مفاهیم اعداد بی‌نهایت و بی‌نهایت‌کوچک است که از زمان اختراع حسابان بی‌نهایت‌کوچک‌ها توسط نیوتن و لایبنیتس به‌صورت غیررسمی توسط ریاضی‌دانان، دانشمندان و مهندسان به کار می‌رفت.

نسخه‌ای هندسی نوین از بی‌نهایت از طریق هندسه تصویری ارائه می‌شود که «نقاط ایدئال در بی‌نهایت» را معرفی می‌کند؛ یکی برای هر راستای فضایی. فرض می‌شود هر دسته از خطوط موازی در یک راستا به نقطه ایدئال متناظر همگرا می‌شوند. این مفهوم پیوند نزدیکی با ایده نقاط گریز در رسم ژرفانما دارد.

اعداد مختلط

اطلاعات بیشتر: تاریخچه اعداد مختلط

نخستین اشاره گذرا به ریشه‌های دوم اعداد منفی در آثار ریاضی‌دان و مخترع هرون اسکندرانی در قرن اول میلادی یافت می‌شود؛ جایی که او به بررسی حجم یک هرم ناقص ناممکن از یک هرم پرداخت. این اعداد هنگامی برجسته‌تر شدند که در قرن شانزدهم فرمول‌های بسته برای ریشه‌های چندجمله‌ای‌های درجه سوم و چهارم توسط ریاضی‌دانان ایتالیایی چون نیکولو تارتالیا و جرلامو کاردانو کشف شد. به زودی آشکار شد که این فرمول‌ها حتی زمانی که فقط به جواب‌های حقیقی علاقه داشتند، گاهی نیازمند دستکاری ریشه‌های دوم اعداد منفی بودند.

این موضوع از دو جهت نگران‌کننده بود، چراکه در آن زمان حتی اعداد منفی نیز پایه‌ای محکم نداشتند. گاهی به رنه دکارت نسبت داده می‌شود که در سال ۱۶۳۷ اصطلاح «موهومی» را برای این کمیت‌ها ابداع کرد و قصد داشت آن را به‌عنوان توهین به‌کار برد. (برای بررسی «واقعیت» اعداد مختلط، به عدد موهومی مراجعه کنید) سرچشمه دیگری از سردرگمی این بود که معادله

$\left({\sqrt {-1}}\right)^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=-1$

با اتحاد جبری

${\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}},$

که برای اعداد حقیقی مثبت a و b معتبر است و در محاسبات اعداد مختلط نیز با یکی از a یا b مثبت و دیگری منفی به‌کار می‌رفت، ناسازگاری تصادفی داشت. کاربرد نادرست این اتحاد و اتحاد مرتبط

${\frac {1}{\sqrt {a}}}={\sqrt {\frac {1}{a}}}$

در حالتی که هر دو a و b منفی باشند، حتی لئونهارت اویلر را نیز به اشتباه انداخت. این دشواری سرانجام او را به‌سوی قرارداد بهره‌گیری از نماد ویژه i به‌جای ${\sqrt {-1}}$ رهنمون شد تا از چنین اشتباهی پیشگیری کند.

نمودار آرگان از فرمول اویلر در صفحه مختلط، که مختصات حقیقی و موهومی را نشان می‌دهد

در سده هجدهم، ابراهام دو مواور و لئونهارت اویلر پژوهش‌های مهمی انجام دادند. فرمول د مواور (۱۷۳۰) بیان می‌کند:

$(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta$

در حالی که فرمول اویلر در آنالیز مختلط (۱۷۴۸) به ما داد:

$\cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }.$

حالت خاصی از این فرمول، اتحاد اویلر را به دست می‌دهد:

$e^{i\pi }+1=0$

که پیوندی ژرف میان بنیادی‌ترین اعداد ریاضیات نشان می‌دهد.

وجود اعداد مختلط تا زمانی که کاسپر وسل در سال ۱۷۹۹ تفسیر هندسی آن را شرح داد، به‌طور کامل پذیرفته نشده بود. کارل فریدریش گاوس چند سال بعد آن را دوباره کشف و عمومی کرد و در نتیجه، نظریه اعداد مختلط گسترش چشمگیری یافت. با این حال، ایده بازنمایی گرافیکی اعداد مختلط به‌زودی پیش از این، در سال ۱۶۸۵، در کتاب De algebra tractatus جان والیس پدیدار شده بود.

در همان سال، گاوس نخستین اثبات عمومی پذیرفته‌شده قضیه اساسی جبر را ارائه داد و نشان داد که هر چندجمله‌ای روی اعداد مختلط، مجموعه کاملی از حل‌ها در همان دامنه دارد. گاوس اعداد مختلط به صورت a + bi را بررسی کرد که در آن a و b عدد صحیح (که اکنون عدد صحیح گاوسی نامیده می‌شوند) یا اعداد گویا هستند. شاگرد او، فردیناند آیزنشتاین، نوع a + bω را بررسی کرد که در آن ω یک ریشه مختلط از x³ − ۱ = ۰ است (که اکنون اعداد صحیح آیزنشتاین نامیده می‌شوند). دیگر رده‌های مشابه (به نام میدان‌های سیکلوتومیک) اعداد مختلط از ریشه‌های واحد x^k − ۱ = ۰ برای مقادیر بالاتر k به دست می‌آیند. این تعمیم عمدتاً حاصل کار ارنست ادوارد کومر است که همچنین اعداد ایدئال را ابداع کرد و فلیکس کلاین آن‌ها را در سال ۱۸۹۳ به‌صورت موجودیت‌های هندسی بیان کرد.

در سال ۱۸۵۰، ویکتور پویزو گام کلیدی تمایز میان قطب‌ها و نقاط انشعاب را برداشت و مفهوم نقاط تکین اساسی را معرفی کرد. این امر سرانجام به مفهوم صفحه مختلط توسیع‌یافته انجامید.

اعداد اول

اعداد اول احتمالاً در تمام دوران تاریخ مکتوب مورد بررسی بوده‌اند. آن‌ها اعداد طبیعی‌ای هستند که حاصل‌ضرب دو عدد طبیعی کوچک‌تر نیستند. پیشنهاد شده‌است که استخوان ایشانگو فهرستی از اعداد اول میان ۱۰ و ۲۰ را دربرمی‌گیرد. پاپیروس ریاضی ریند اشکال گوناگونی از اعداد اول را نشان می‌دهد. اما نخستین بررسی رسمی اعداد اول را یونانیان باستان مستند کرده‌اند. اقلیدس یک کتاب از اصول اقلیدس را به نظریه اعداد اول اختصاص داد؛ در آن، بی‌نهایت بودن اعداد اول و قضیه اساسی حساب را اثبات کرد و الگوریتم اقلیدس برای یافتن بزرگ‌ترین شمارندهٔ مشترک دو عدد را ارائه داد.

در سال ۲۴۰ پیش از میلاد، اراتوستن از غربال اراتوستن برای جداسازی سریع اعداد اول بهره گرفت. اما بیشتر پیشرفت‌های بعدی در نظریه اعداد اول در اروپا به دوران رنسانس و پس از آن بازمی‌گردد. در حدود سال ۱۰۰۰ میلادی، ابن هیثم قضیه ویلسون را کشف کرد. ابن بنای مراکشی روشی برای شتاب‌بخشی به غربال اراتوستن یافت که تنها تا ریشه دوم عدد را آزمایش می‌کرد. لئوناردو فیبوناچی دستاوردهای ریاضی اسلامی را به اروپا رساند و در سال ۱۲۰۲ نخستین کسی بود که روش آزمون تقسیم را شرح داد.

در سال ۱۷۹۶، آدرین-ماری لژاندر قضیه اعداد اول را حدس زد که توزیع مجانبی اعداد اول را توصیف می‌کند. دیگر نتایج مربوط به توزیع اعداد اول عبارتند از: اثبات اویلر مبنی بر واگرایی مجموع وارون اعداد اول، و حدس گلدباخ که ادعا می‌کند هر عدد زوج به‌اندازه کافی بزرگ، مجموع دو عدد اول است. حدس دیگری مرتبط با توزیع اعداد اول، فرضیه ریمان است که برنهارت ریمان در سال ۱۸۵۹ آن را مطرح کرد. قضیه اعداد اول سرانجام در سال ۱۸۹۶ توسط ژاک آدامار و شارل دو لا واله پوسن اثبات شد. حدس‌های گلدباخ و ریمان همچنان نه اثبات شده‌اند و نه رد.

اهمیت فرهنگی و نمادین

یک آپارتمان در شانگهای فاقد طبقه‌های ۰، ۴، ۱۳ و ۱۴ است

اعداد در سراسر تاریخ و در بسیاری از فرهنگ‌ها دارای اهمیت فرهنگی، نمادین و دینی بوده‌اند. در یونان باستان، نمادگرایی عددی تأثیر زیادی بر پیشرفت ریاضیات یونان باستان گذاشت و پژوهش بسیاری از مسائل نظریه اعداد را برانگیخت که امروز هم مورد توجه‌اند. بر پایه گفته افلاطون، فیثاغوریان ویژگی‌ها و معناهای خاصی به اعداد خاص نسبت می‌دادند و باور داشتند که «چیزها خود اعدادند».

افسانه‌های عامیانه در فرهنگ‌های گوناگون، گرایش به اعداد خاص نشان می‌دهند؛ سه و هفت در فرهنگ اروپایی اهمیت ویژه‌ای دارند، در حالی که چهار و پنج در افسانه‌های چینی برجسته‌ترند. اعداد گاهی با بخت پیوند دارند: در جامعه غربی، عدد ۱۳ نحس شمرده می‌شود، در حالی که در فرهنگ چینی، عدد هشت خجسته به‌شمار می‌آید.

دسته‌بندی اصلی

«دستگاه عددی» به اینجا تغییرمسیر دارد. برای دستگاه‌هایی که اعداد را بیان می‌کنند، [[:دستگاه شمارش]] را ببینید.

همچنین ببینید: فهرست انواع اعداد

اعداد را می‌توان در مجموعه‌هایی دسته‌بندی کرد که به آن‌ها مجموعه‌های عددی یا دستگاه‌های عددی گفته می‌شود؛ مانند اعداد طبیعی و اعداد حقیقی. دستگاه‌های عددی اصلی به شرح زیرند:

دستگاه‌های عددی اصلی

نماد	نام	نمونه‌ها/توضیح
$\mathbb {N}$	اعداد طبیعی	۰، ۱، ۲، ۳، ۴، ۵، … یا ۱، ۲، ۳، ۴، ۵، ... گاهی از $\mathbb {N} _{0}$ یا $\mathbb {N} _{1}$ نیز بهره‌گیری می‌شود.
$\mathbb {Z}$	اعداد صحیح	... ، −۵، −۴، −۳، −۲، −۱، ۰، ۱، ۲، ۳، ۴، ۵، ...
$\mathbb {Q}$	اعداد گویا	⁠a/b⁠ که در آن a و b اعداد صحیح و b ناصفر است
$\mathbb {R}$	اعداد حقیقی	حد یک دنباله همگرا از اعداد گویا
$\mathbb {C}$	اعداد مختلط	a + bi که در آن a و b اعداد حقیقی و i ریشه دوم صوری عدد −۱ است

هر یک از این دستگاه‌های عددی، دستگاه پیشین را در بر می‌گیرد. برای نمونه، هر عدد گویا یک عدد حقیقی نیز هست و هر عدد حقیقی نیز یک عدد مختلط. این زنجیره شمول مجموعه‌ای را می‌توان به صورت نمادین این‌گونه نوشت:

$\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C}$.

نمودار اویلر دستگاه‌های عددی

اعداد طبیعی

مقالهٔ اصلی: عدد طبیعی

اعداد طبیعی، آغازیده از ۱

آشناترین اعداد، اعداد طبیعی (که گاه به آن‌ها اعداد کامل یا اعداد شمارشی نیز گفته می‌شود) هستند: ۱، ۲، ۳ و به همین ترتیب. به طور سنتی، دنباله اعداد طبیعی از ۱ آغاز می‌شد (برای یونانیان باستان، ۰ اصلاً عدد شمرده نمی‌شد). اما در سده نوزدهم، نظریه‌پردازان مجموعه‌ها و دیگر ریاضیدانان، عدد ۰ را (به عنوان اندازه مجموعه تهی، یعنی ۰ عضو، که کوچک‌ترین عدد کاردینال است) در مجموعه اعداد طبیعی گنجاندند. امروزه ریاضیدانان گوناگون این واژه را برای توصیف هر دو مجموعه (با ۰ یا بدون آن) به کار می‌برند. نماد ریاضی مجموعه همه اعداد طبیعی N، یا به صورت $\mathbb {N}$، است و گاهی $\mathbb {N} _{0}$ یا $\mathbb {N} _{1}$ نیز نوشته می‌شود تا نشان داده شود که مجموعه از ۰ یا از ۱ آغاز می‌شود.

در دستگاه اعداد پایه ۱۰، که امروزه برای عملیات ریاضی تقریباً در سراسر جهان به کار می‌رود، نمادهای اعداد طبیعی با بهره‌گیری از ده عدد نویسه نوشته می‌شوند: ۰، ۱، ۲، ۳، ۴، ۵، ۶، ۷، ۸ و ۹. مبنا یا پایه یک دستگاه عددی، شمار عدد نویسه‌های متمایز (شامل صفر) است که آن دستگاه برای نمایش اعداد از آن‌ها بهره می‌گیرد (برای دستگاه دهدهی، مبنا ۱۰ است). در این دستگاه پایه ۱۰، سمت‌راست‌ترین رقم یک عدد طبیعی دارای ارزش مکانی ۱ است و هر رقم دیگر دارای ارزش مکانی ده برابر رقم سمت راست خود است.

در نظریه مجموعه‌ها، که می‌تواند به عنوان پایه‌ای اصل‌موضوعی برای ریاضیات نوین عمل کند، اعداد طبیعی را می‌توان با رده‌هایی از مجموعه‌های هم‌ارز نمایش داد. برای نمونه، عدد ۳ را می‌توان به عنوان رده همه مجموعه‌هایی نمایش داد که دقیقاً سه عضو دارند. از سوی دیگر، در حساب پئانو، عدد ۳ به صورت S(S(S(0))) نمایش داده می‌شود که S تابع «جانشین» است (یعنی ۳ سومین جانشین ۰ است). نمایش‌های گوناگون بسیاری ممکن است؛ آنچه برای نمایش رسمی عدد ۳ لازم است تنها نوشتن یک نماد یا الگوی نمادین خاص در سه نوبت است.

اعداد صحیح

مقالهٔ اصلی: عدد صحیح

امپراتوری اینکا از ریسمان‌های گره‌خورده، یا کیپو، برای ثبت عددی و دیگر کاربردها بهره می‌گرفت

عدد مخالف یک عدد صحیح مثبت، به عنوان عددی تعریف می‌شود که حاصل جمع آن با عدد صحیح مثبت متناظر برابر ۰ باشد. اعداد منفی معمولاً با یک علامت منفی (علامت منها) نوشته می‌شوند. برای نمونه، عدد مخالف ۷ به صورت −۷ نوشته می‌شود و ۷ + (−۷) = ۰. هنگامی که مجموعه اعداد منفی با مجموعه اعداد طبیعی (شامل ۰) ترکیب می‌شود، حاصل به عنوان مجموعه اعداد صحیح، Z یا $\mathbb {Z}$، تعریف می‌شود. این حرف Z از واژه از آلمانی  Zahl «عدد» گرفته شده‌است. مجموعه اعداد صحیح با عملیات جمع و ضرب یک حلقه را تشکیل می‌دهد.

اعداد طبیعی زیرمجموعه‌ای از اعداد صحیح را تشکیل می‌دهند. از آنجا که هیچ استاندارد مشترکی برای گنجاندن یا نگنجاندن صفر در اعداد طبیعی وجود ندارد، اعداد طبیعی بدون صفر معمولاً به عنوان اعداد صحیح مثبت و اعداد طبیعی همراه با صفر به عنوان اعداد صحیح نامنفی نامیده می‌شوند.

اعداد گویا

مقالهٔ اصلی: عدد گویا

عدد گویا عددی است که می‌توان آن را به صورت کسری با صورت صحیح و مخرج صحیح مثبت بیان کرد. مخرج‌های منفی مجازند، اما معمولاً از آن‌ها پرهیز می‌شود، زیرا هر عدد گویا برابر است با کسری با مخرج مثبت. کسرها به صورت دو عدد صحیح، صورت و مخرج، با یک خط افقی میان آن‌ها نوشته می‌شوند. کسر ⁠m/n⁠ نشان‌دهنده m بخش از یک کل است که به n قسمت مساوی تقسیم شده‌است. دو کسر متفاوت ممکن است با یک عدد گویا یکسان متناظر باشند؛ برای نمونه ⁠۱/۲⁠ و ⁠۲/۴⁠ مساوی‌اند، یعنی:

${1 \over 2}={2 \over 4}.$

به طور کلی،

${a \over b}={c \over d}$ اگر و تنها اگر ${a\times d}={c\times b}.$

اگر قدر مطلق m بزرگ‌تر از n (که مثبت فرض شده) باشد، آنگاه قدر مطلق کسر بزرگ‌تر از ۱ است و آن را کسر ناسره یا کسر سنگین می‌نامند. کسرها می‌توانند بزرگ‌تر، کوچک‌تر یا مساوی ۱ باشند و همچنین می‌توانند مثبت، منفی یا ۰ باشند. مجموعه همه اعداد گویا، اعداد صحیح را نیز دربرمی‌گیرد، زیرا هر عدد صحیح را می‌توان به صورت کسری با مخرج ۱ نوشت. برای نمونه −۷ را می‌توان به صورت ⁠−۷/۱⁠ نوشت. نماد اعداد گویا Q (از واژه لاتین quotient به معنای خارج قسمت) یا $\mathbb {Q}$ است.

اعداد حقیقی

مقالهٔ اصلی: عدد حقیقی

نماد اعداد حقیقی R یا $\mathbb {R}$ است. اعداد حقیقی همه اعداد اندازه‌گیری را دربرمی‌گیرند. هر عدد حقیقی با یک نقطه روی محور اعداد متناظر است. رفتار اعداد حقیقی منفی بر اساس قواعد کلی حساب است و نمایش آن‌ها صرفاً با پیشوند قرار دادن علامت منها پیش از عدد مثبت متناظر انجام می‌شود، مانند −۱۲۳٫۴۵۶.

هر رقم سمت راست ممیز دارای ارزش مکانی برابر یک‌دهم ارزش مکانی رقم سمت چپ خود است. برای نمونه، ۱۲۳٫۴۵۶ نمایانگر ⁠۱۲۳۴۵۶/۱۰۰۰⁠، یا به عبارت دیگر، یک‌صد و دو ده و سه یکان و چهار دهم و پنج صدم و شش هزارم است. یک عدد حقیقی را تنها در صورتی می‌توان با تعداد متناهی رقم اعشاری بیان کرد که گویا باشد و قسمت کسری آن دارای مخرجی باشد که عوامل اول آن ۲ یا ۵ یا هر دو باشند، زیرا اینها عوامل اول ۱۰ (پایه دستگاه دهدهی) هستند؛ بنابراین، برای نمونه، یک‌دوم برابر ۰٫۵، یک‌پنجم برابر ۰٫۲، یک‌دهم برابر ۰٫۱ و یک‌پنجاهم برابر ۰٫۰۲ است.

ده‌دهی متناوب

اگر قسمت کسری یک عدد حقیقی دارای دنباله‌ای بی‌نهایت از ارقام باشد که یک الگوی دوری را دنبال می‌کند، می‌توان آن را با نقطه‌چین یا نماد دیگری که الگوی تکرارشونده را نشان می‌دهد نوشت. چنین ده‌دهی‌ای ده‌دهی متناوب نامیده می‌شود. بدین‌سان ⁠۳/۱۱⁠ را می‌توان به صورت ۰٫۲۷۲۷۲۷... با نقطه‌چین برای نشان دادن ادامه الگو نوشت. تکرار بی‌پایان ۲۷ را همچنین به صورت 0.۲۷ می‌نویسند. این ده‌دهی‌های متناوب، شامل تکرار صفر، دقیقاً اعداد گویا را نمایش می‌دهند؛ یعنی همه اعداد گویا اعداد حقیقی هستند، اما این‌گونه نیست که هر عدد حقیقی گویا باشد.

برای قسمت کسری‌ای که ده‌دهی متناوب آن دارای دنباله‌ای از نُه‌های پیاپی است، می‌توان آن‌ها را با افزایش یک واحد به آخرین رقم پیش از نُه‌ها جایگزین کرد؛ بنابراین، ۳٫۷۳۹۹۹۹۹۹۹۹... یا 3.73۹ معادل ۳٫۷۴ است. قسمت کسری با تعداد نامحدودی صفر را می‌توان با حذف صفرهای سمت راست آخرین رقم غیرصفر بازنویسی کرد. همان‌گونه که یک کسر را می‌توان به بیش از یک شکل نوشت، یک عدد حقیقی نیز ممکن است بیش از یک نمایش اعشاری داشته باشد. برای نمونه، ۰٫۹۹۹…، ۱٫۰، ۱٫۰۰، ۱٫۰۰۰، … همگی نمایانگر عدد طبیعی ۱ هستند.

اعداد گنگ

برای اعداد حقیقی که گویا نیستند، نمایش آن‌ها در قالب اعشار نیازمند دنباله‌ای بی‌نهایت از ارقام متغیر در سمت راست ممیز است. این اعداد حقیقی گنگ نامیده می‌شوند. یک عدد گنگ حقیقی مشهور، عدد پی است، که نسبت محیط هر دایره به قطر آن است. هنگامی که پی به صورت

$\pi =3.14159265358979\dots ,$

نوشته می‌شود، نقطه‌چین به این معنا نیست که ارقام اعشاری تکرار می‌شوند (که نمی‌شوند)، بلکه نشان‌دهنده این است که ارقام پایانی ندارند. اثبات شده‌است که [[اثبات گنگ بودن π|$\pi$ گنگ است]]. عدد مشهور دیگری که اثبات شده گنگ حقیقی است، عبارت است از:

${\sqrt {2}}=1.41421356237\dots ,$

جذر ۲، یعنی تنها عدد حقیقی مثبتی که مربع آن ۲ است. هر دوی این اعداد (توسط رایانه) تا تریلیون‌ها (۱ تریلیون = ۱۰^۱۲ = ۱٬۰۰۰٬۰۰۰٬۰۰۰٬۰۰۰) رقم محاسبه شده‌اند.

نسبت طلایی اقلیدس، که اینجا با ${\color {OliveGreen}a+b}$ به ${\color {Blue}a}$ به‌سان نسبت ${\color {Blue}a}$ به ${\color {Red}b}$ تعریف شده، عدد گنگی است به مقدار 𝜙=۱٫۶۱۸۰۳… که در بسیاری از جنبه‌های هنر و علم نمایان می‌شود.

تقریباً همه اعداد حقیقی گنگ هستند و بنابراین هیچ الگوی تکرارشونده‌ای ندارند و در نتیجه هیچ نمایش ده‌دهی متناظری ندارند. این اعداد را تنها می‌توان با نمادهای اعشاری *تقریب* زد که نمایانگر اعداد حقیقی گردشده یا قطع‌شده هستند و در آن‌ها یک ممیز در سمت راست رقم با ارزش مکانی ۱ قرار می‌گیرد. هر عدد گردشده یا قطع‌شده ناگزیر یک عدد گویا است که تعداد آن‌ها تنها شماراست.

همه اندازه‌گیری‌ها به طور ذاتی تقریبی هستند و همواره حاشیه خطا دارند؛ بنابراین ۱۲۳٫۴۵۶ تقریبی از هر عدد حقیقی در بازه:

$\left[{\tfrac {12345{\mathit {55}}}{10000}},{\tfrac {12345{\mathit {65}}}{10000}}\right)$

هنگام گرد کردن به سه رقم اعشار، یا تقریبی از هر عدد حقیقی در بازه:

$\left[{\tfrac {123456}{1000}},{\tfrac {123457}{1000}}\right)$

هنگام قطع کردن پس از سومین رقم اعشار، به‌شمار می‌رود. ارقامی که بیشتر از دقت خود اندازه‌گیری را پیشنهاد می‌دهند باید حذف شوند. ارقام باقی‌مانده ارقام معنی‌دار نامیده می‌شوند.

برای نمونه، اندازه‌گیری با خط‌کش به ندرت می‌توان بدون حاشیه خطای حداقل ۰٫۰۰۱ متر انجام داد. اگر اضلاع یک مستطیل ۱٫۲۳ متر و ۴٫۵۶ متر اندازه‌گیری شوند، ضرب آن‌ها مساحتی میان ۵٫۶۱۴۵۹۱ m^۲ و ۵٫۶۰۳۰۱۱ m^۲ به دست می‌دهد. از آنجا که حتی دومین رقم پس از ممیز نیز حفظ نمی‌شود، ارقام پس از آن «معنادار» نیستند. از این رو، نتیجه معمولاً به ۵٫۶۱ m^۲ گرد می‌شود.

نظریه مجموعه‌ها

اعداد حقیقی دارای ویژگی مهم اما فنی‌ای به نام خاصیت کران بالایی کمینه هستند.

می‌توان نشان داد که هر میدان مرتب کامل با اعداد حقیقی یکریخت است. اما اعداد حقیقی یک میدان بسته جبری نیستند، زیرا حل معادله جبری $x^{2}+1=0$ را (که اغلب جذر منفی یک نامیده می‌شود) دربرنمی‌گیرند.

اعداد مختلط

مقالهٔ اصلی: عدد مختلط

مجموعه ماندلبروت یک فراکتال در صفحه مختلط است.

در سطح انتزاعی بالاتر، اعداد حقیقی را می‌توان به اعداد مختلط گسترش داد. مجموعه حل کامل یک چندجمله‌ای از درجه دو یا بالاتر می‌تواند جذر اعداد منفی را دربرگیرد. (نمونه‌ای از آن $x^{2}+1=0$ است.) برای نمایش مناسب این موضوع، ریشه دوم عدد −۱ با i نشان داده می‌شود، نمادی که لئونهارت اویلر به آن نام یکه موهومی داد. از این رو، اعداد مختلط از همه مقادیر به صورت زیر تشکیل می‌شوند:

$\,a+bi$

که در آن a و b اعداد حقیقی هستند. به همین دلیل، اعداد مختلط با نقاطی در صفحه مختلط، که یک فضای برداری دوبُعدی از اعداد حقیقی است، متناظرند. در عبارت a + bi، عدد حقیقی a بخش حقیقی و b بخش موهومی نامیده می‌شود.

اگر بخش حقیقی یک عدد مختلط برابر ۰ باشد، آن عدد را عدد موهومی می‌نامند یا به آن «خالصاً موهومی» می‌گویند؛ اگر بخش موهومی برابر ۰ باشد، عدد یک عدد حقیقی است. بدین‌سان اعداد حقیقی زیرمجموعه‌ای از اعداد مختلط هستند. اگر بخش‌های حقیقی و موهومی یک عدد مختلط هر دو صحیح باشند، آن عدد را عدد صحیح گاوسی می‌نامند. نماد اعداد مختلط C یا $\mathbb {C}$ است.

قضیه اساسی جبر بیان می‌کند که اعداد مختلط یک میدان بسته جبری تشکیل می‌دهند؛ بدین معنا که هر چندجمله‌ای با ضرایب مختلط دارای یک ریشه در اعداد مختلط است. همانند اعداد حقیقی، اعداد مختلط یک میدان تشکیل می‌دهند که کامل است، اما برخلاف اعداد حقیقی، دارای ترتیب کلی نیست. یعنی هیچ معنای سازگاری برای این گفته وجود ندارد که i بزرگ‌تر از ۱ است، و همچنین گفتن اینکه i کوچک‌تر از ۱ است نیز معنایی ندارد. به زبان فنی، اعداد مختلط فاقد ترتیب کلی سازگار با عملیات میدانی هستند.

آنالیز مختلط شاخه‌ای از آنالیز ریاضی است که توابع اعداد مختلط را بررسی می‌کند. این شاخه برای حل مسائل فیزیکی سودمند است و در ریاضیات مدرن، مهندسی و علوم کاربرد گسترده دارد. نمونه‌هایی از کاربردها عبارتند از دینامیک سیالات، نظریه کنترل، پردازش سیگنال، نظریه اعداد و حل معادلات دیفرانسیل. اعداد مختلط به نظر می‌رسد جنبه‌ای بنیادی از مکانیک کوانتومی باشند؛ این نظریه را نمی‌توان تنها با اعداد حقیقی صورت‌بندی کرد.

زیررده‌های اعداد صحیح

اعداد زوج و فرد

مقالهٔ اصلی: اعداد زوج و فرد

یک عدد زوج عددی صحیح است که «به‌طور کامل» بر دو بخش‌پذیر باشد، یعنی بدون باقیمانده بر دو تقسیم شود؛ یک عدد فرد عددی صحیح است که زوج نباشد. (اصطلاح قدیمی «به‌طور کامل بخش‌پذیر» امروزه تقریباً همیشه به «بخش‌پذیر» کوتاه می‌شود) این ویژگی یک عدد صحیح را زوج‌وفردی می‌نامند. هر عدد فرد n را می‌توان با فرمول n = 2k + ۱ برای یک عدد صحیح مناسب k ساخت. با شروع از k = ۰، نخستین اعداد فرد نامنفی عبارت‌اند از {۱، ۳، ۵، ۷، ...}. هر عدد زوج m به شکل m = 2k است که در آن k نیز یک عدد صحیح است. همچنین، نخستین اعداد زوج نامنفی عبارت‌اند از {۰، ۲، ۴، ۶، ...}. حاصل‌ضرب یک عدد زوج با یک عدد صحیح، عددی زوج است؛ تنها حاصل‌ضرب یک عدد فرد در عدد فردی دیگر، عددی فرد خواهد بود.

اعداد اول

مقالهٔ اصلی: عدد اول

رقم‌های بزرگ‌ترین اعداد اول شناخته‌شده بر حسب سال، از ۱۹۵۱ تاکنون

یک عدد اول، که اغلب به اختصار اول نامیده می‌شود، عددی صحیح بزرگ‌تر از ۱ است که حاصل‌ضرب دو عدد صحیح مثبت کوچک‌تر نباشد. چند عدد اول نخست عبارت‌اند از ۲، ۳، ۵، ۷ و ۱۱. برخلاف اعداد زوج و فرد، هیچ فرمول ساده‌ای برای تولید اعداد اول وجود ندارد. یک رده ویژه، اعداد اول مرسن هستند که اعداد اولی از شکل 2ⁿ − ۱ می‌باشند که در آن n یک عدد صحیح مثبت است. این اعداد بسیاری از رکوردهای بزرگ‌ترین اعداد اول کشف‌شده را در اختیار دارند.

پژوهش دربارهٔ اعداد اول به پرسش‌های فراوانی انجامیده که تنها برخی از آن‌ها پاسخ داده شده‌اند. بررسی این پرسش‌ها در حوزه نظریه اعداد جای می‌گیرد. حدس گلدباخ نمونه‌ای از پرسش‌های هنوز بی‌پاسخ است: «آیا هر عدد زوج مجموع دو عدد اول است؟» یک پرسش پاسخ‌داده‌شده این بود که آیا هر عدد صحیح بزرگ‌تر از یک، به شیوه‌ای یکتا (جز در جابه‌جایی ترتیب عوامل) حاصل‌ضرب اعداد اول است یا نه؛ این گزاره اثبات‌شده قضیه اساسی حساب نامیده می‌شود. اثباتی از آن در اصول اقلیدس آمده‌است.

در جهان امروز، اعداد اول کاربردهای مهمی دارند، از جمله در رمزنگاری کلید عمومی، امضای دیجیتال، تولید اعداد شبه‌تصادفی، پردازش سیگنال و پالایش داده‌ها برای پردازش تصویر دیجیتال. اعداد اول در جداول درهمک‌سازی و کدهای تشخیص و تصحیح خطا (مانند آنچه در شابک و شاپا به‌کار می‌رود) نیز سودمندند.

دیگر رده‌های اعداد صحیح

بسیاری از زیرمجموعه‌های اعداد طبیعی موضوع پژوهش‌های ویژه بوده و نام‌گذاری شده‌اند؛ اغلب به نام نخستین ریاضیدانی که آن‌ها را بررسی کرده‌است. نمونه‌هایی از این دسته‌های صحیح عبارت‌اند از اعداد برنولی، اعداد فیبوناچی، اعداد لوکاس، و اعداد تام. برای نمونه‌های بیشتر، دنباله صحیح را ببینید.

زیررده‌های اعداد مختلط

اعداد جبری، گنگ و ترافرازنده

اعداد جبری آن دسته از اعدادی هستند که ریشه یک معادله چندجمله‌ای با ضرایب صحیح به‌شمار می‌روند. اعداد حقیقی که گویا نیستند، اعداد گنگ نامیده می‌شوند. اعداد مختلطی که جبری نیستند، اعداد ترافرازنده خوانده می‌شوند. اعداد جبری که ریشه یک چندجمله‌ای تکین با ضرایب صحیح هستند، اعداد صحیح جبری نام دارند.

دوره‌ها و دوره‌های نمایی

مقالهٔ اصلی: دوره (نظریه اعداد)

یک دوره (period) عددی مختلط است که می‌توان آن را به صورت انتگرال یک تابع جبری روی یک دامنه جبری نوشت. دوره‌ها دسته‌ای از اعداد هستند که افزون بر اعداد جبری، بسیاری از ثابت‌های ریاضی شناخته‌شده مانند عدد π را نیز دربرمی‌گیرند. مجموعه دوره‌ها یک حلقه شمارا را تشکیل می‌دهد و شکاف میان اعداد جبری و ترافرازنده را پر می‌کند.

دوره‌ها را می‌توان با اجازه دادن به اینکه تابع زیر انتگرال حاصل‌ضرب یک تابع جبری و تابع نمایی یک تابع جبری باشد، گسترش داد. این کار حلقه شمارای دیگری را می‌سازد: دوره‌های نمایی. عدد e و همچنین ثابت اویلر از دوره‌های نمایی هستند.

اعداد ترسیم‌پذیر

با انگیزه گرفتن از مسائل کلاسیک رسم با خط‌کش و پرگار، اعداد ترسیم‌پذیر آن دسته از اعداد مختلطی هستند که بخش‌های حقیقی و موهومی‌شان با خط‌کش و پرگار، با آغاز از یک پاره‌خط با طول یک واحد، در شماری متناهی از گام‌ها قابل ساختن است. زمینه مرتبطی اعداد اوریگامی هستند که نقاطی هستند که از طریق تاکردن کاغذ ساخته می‌شوند.

اعداد محاسبه‌پذیر

مقالهٔ اصلی: عدد محاسبه‌پذیر

یک عدد محاسبه‌پذیر، که به نام عدد بازگشتی نیز شناخته می‌شود، یک عدد حقیقی است به گونه‌ای که الگوریتمی وجود دارد که با دریافت عدد مثبت n به عنوان ورودی، n رقم نخست بازنمایی ده‌دهی عدد محاسبه‌پذیر را تولید می‌کند. بازنامه‌های هم‌ارز را می‌توان با بهره‌گیری از توابع μ-بازگشتی، ماشین‌های تورینگ یا حساب لامبدا ارائه داد. اعداد محاسبه‌پذیر در برابر تمام عملیات حسابی معمول پایدار هستند، از جمله محاسبه ریشه‌های یک چندجمله‌ای، و از این رو یک میدان بسته حقیقی تشکیل می‌دهند که اعداد جبری حقیقی را دربرمی‌گیرد.

اعداد محاسبه‌پذیر را می‌توان به عنوان اعداد حقیقی‌ای دید که می‌توان آن‌ها را در رایانه به شکل دقیق بازنمایی کرد: یک عدد محاسبه‌پذیر با n رقم نخستش و یک برنامه برای محاسبه رقم‌های بیشتر به طور دقیق بازنمایی می‌شود. با این حال، اعداد محاسبه‌پذیر در عمل به ندرت کاربرد دارند. یکی از دلایل این است که هیچ الگوریتمی برای آزمون تساوی دو عدد محاسبه‌پذیر وجود ندارد. به بیان دقیق‌تر، هیچ الگوریتمی نمی‌تواند وجود داشته باشد که هر عدد محاسبه‌پذیری را به عنوان ورودی بگیرد و در هر حالتی تصمیم بگیرد که آیا این عدد با صفر برابر است یا نه.

مجموعه اعداد محاسبه‌پذیر همان اندازه اعداد طبیعی را دارد. از این رو، تقریباً همه اعداد حقیقی محاسبه‌ناپذیرند. با این حال، ارائه صریح یک عدد حقیقی که محاسبه‌پذیر نباشد بسیار دشوار است.

گسترش مفهوم

اعداد p-ادیک

مقالهٔ اصلی: عدد پی-ادیک

اعداد p-ادیک ممکن است بسط‌هایی با طول نامتناهی به سمت چپ ممیز داشته باشند، درست همان‌طور که اعداد حقیقی ممکن است بسط‌هایی با طول نامتناهی به سمت راست داشته باشند. دستگاه عددی حاصل به پایه‌ای که برای ارقام بهره‌گیری می‌شود بستگی دارد: هر پایه‌ای ممکن است، اما پایه عدد اول بهترین ویژگی‌های ریاضی را فراهم می‌آورد. مجموعه اعداد p-ادیک شامل اعداد گویا می‌شود، اما در مجموعه اعداد مختلط جای نمی‌گیرد.

عناصر یک میدان تابع جبری روی یک میدان متناهی و اعداد جبری ویژگی‌های مشترک بسیاری دارند (نگاه کنید به قیاس میدان تابع). از این رو، نظریه‌پردازان اعداد آن‌ها را اغلب به منزله اعداد در نظر می‌گیرند. اعداد p-ادیک نقش مهمی در این قیاس ایفا می‌کنند.

اعداد ابرمختلط

مقالهٔ اصلی: عدد ابرمختلط

دستگاه‌های عددی با بُعد بالاتر را می‌توان از اعداد حقیقی $\mathbb {R}$ به شیوه‌ای ساخت که ساختار اعداد مختلط را تعمیم می‌دهد. این دستگاه‌ها گاهی اعداد ابرمختلط نامیده می‌شوند و در مجموعه اعداد مختلط گنجانده نمی‌شوند. این دستگاه‌ها دربرمی‌گیرند: چهارگان‌ها $\mathbb {H}$ که توسط سِر ویلیام همیلتون معرفی شدند و در آن‌ها ضرب جابه‌جاپذیر نیست؛ هشتگان‌ها $\mathbb {O}$ که در آن‌ها افزون بر جابه‌جاناپذیری، ضرب شرکت‌پذیر هم نیست؛ و شانزده‌گان‌ها $\mathbb {S}$ که در آن‌ها ضرب نه جایگزین‌پذیر است، نه شرکت‌پذیر و نه جابه‌جاپذیر. اعداد ابرمختلط یک یکای حقیقی به همراه $2^{n}-1$ یکای موهومی دارند که در آن‌ها n یک عدد صحیح نامنفی است. برای نمونه، چهارگان‌ها را می‌توان به طور کلی با صورت زیر نمایش داد:

$$a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} ,$$

که در آن ضرایب a, b, c, d اعداد حقیقی هستند و i, j و k سه یکای موهومی متفاوت‌اند.

هر دستگاه عدد ابرمختلط زیرمجموعه‌ای از دستگاه عدد ابرمختلط بعدی با ابعاد دوگانه است که از طریق ساختار کیلی-دیکسون به دست می‌آید. برای نمونه، چهارگان‌های ۴بُعدی $\mathbb {H}$ زیرمجموعه‌ای از هشتگان‌های ۸بُعدی $\mathbb {O}$ هستند که خود زیرمجموعه‌ای از شانزده‌گان‌های ۱۶بُعدی $\mathbb {S}$ هستند که خود زیرمجموعه‌ای از سی‌ودوگان‌ها $\mathbb {T}$ با ۳۲ بُعد هستند و تا بی‌نهایت با $2^{n}$ بُعد ادامه می‌یابد که در آن n هر عدد صحیح نامنفی است. با احتساب اعداد مختلط و حقیقی و زیرمجموعه‌های آن‌ها، این رابطه را می‌توان به صورت نمادین این‌گونه بیان کرد:

$\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {O} \subset \mathbb {S} \subset \mathbb {T} \subset \cdots$

یا به صورت دیگر، با آغاز از اعداد حقیقی $\mathbb {R}$ که دارای هیچ یکای مختلطی نیستند، می‌توان نوشت:

${\mathcal {C}}_{0}\subset {\mathcal {C}}_{1}\subset {\mathcal {C}}_{2}\subset {\mathcal {C}}_{3}\subset {\mathcal {C}}_{4}\subset {\mathcal {C}}_{5}\subset \cdots \subset {\mathcal {C}}_{n}$

که در آن ${\mathcal {C}}_{n}$ دارای $2^{n}$ بُعد است.

چهارگان‌ها به‌ویژه برای محاسبه دوران‌ها در سه بُعد بسیار مفید بوده‌اند. برای نمونه، در سامانه‌های کنترل موشک‌ها و هواپیماها، روبات‌شناسی، مصورسازی رایانه‌ای، ناوبری و پویانمایی از آن‌ها بهره‌گیری می‌شود. هشتگان‌ها ظاهراً پیوند نظری ژرف‌تری با فیزیک دارند، به‌ویژه در نظریه ریسمان، نظریه ام و ابرگرانش.

اعداد ترامتناهی

مقالهٔ اصلی: اعداد ترامتناهی

برای کار با مجموعه‌های نامتناهی، اعداد طبیعی به اعداد ترتیبی و اعداد اصلی تعمیم یافته‌اند. اعداد ترتیبی مرتب‌سازی مجموعه را می‌دهند، در حالی که اعداد اصلی اندازه آن را نشان می‌دهند. برای مجموعه‌های متناهی، هر دو نوع عدد ترتیبی و اصلی با اعداد طبیعی یکسان هستند. در حالت نامتناهی، بسیاری از اعداد ترتیبی با یک عدد اصلی یکسان متناظرند.

اعداد غیراستاندارد

اعداد ابرحقیقی در آنالیز غیراستاندارد بهره‌گیری می‌شوند. اعداد ابرحقیقی یا اعداد حقیقی غیراستاندارد (که معمولاً با *R نمایش داده می‌شوند) یک میدان مرتب را نشان می‌دهند که توسعه‌ای سره از میدان مرتب اعداد حقیقی R است و اصل انتقال را برآورده می‌سازد. این اصل اجازه می‌دهد گزاره‌های صادق منطق مرتبه اول دربارهٔ R به گزاره‌های صادق مرتبه اول دربارهٔ *R بازتفسیر شوند.

اعداد ابرحقیقی و اعداد سورئال اعداد حقیقی را با افزودن اعداد بی‌نهایت‌کوچک و اعداد بی‌نهایت بزرگ گسترش می‌دهند، اما همچنان میدان تشکیل می‌دهند.

جستارهای وابسته

• عدد ملموس
• فهرست عددها
• فهرست انواع اعداد
• فهرست کتاب‌ها دربارهٔ تاریخ دستگاه‌های عددی
• ثابت ریاضی
• شناخت عددی
• مرتبه بزرگی
• ثابت فیزیکی
• کمیت فیزیکی
• اسکالر (ریاضی)
• شمارش سریع و شمارش

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Number». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۱۹ مه ۲۰۲۶.
• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Zahl». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای آلمانی ، بازبینی‌شده در ۱۹ مه ۲۰۲۶.
• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Nombre». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای فرانسوی، بازبینی‌شده در ۱۹ مه ۲۰۲۶.

پیوند به بیرون

• Nechaev, V.I. (2001) [1994], "Number", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Tallant، Jonathan. «Do Numbers Exist». Numberphile. Brady Haran. بایگانی‌شده از اصلی در ۸ مارس ۲۰۱۶. دریافت‌شده در ۶ آوریل ۲۰۱۳.
• In Our Time: Negative Numbers. BBC Radio 4. ۹ مارس ۲۰۰۶. بایگانی‌شده از اصلی در ۳۱ مه ۲۰۲۲.
• Robin Wilson (۷ نوامبر ۲۰۰۷). «4000 Years of Numbers». Gresham College. بایگانی‌شده از اصلی در ۸ آوریل ۲۰۲۲.
• Krulwich، Robert (۲۲ ژوئیه ۲۰۱۱). «What's the World's Favorite Number?». NPR. بایگانی‌شده از اصلی در ۱۸ مه ۲۰۲۱. دریافت‌شده در ۱۷ سپتامبر ۲۰۱۱.
• دانشنامه برخط دنباله‌های صحیح