اصل برهم‌نهی

Superposition of almost plane waves (diagonal lines) from a distant source and waves from the wake of the اردکs. Linearity holds only approximately in water.

در فیزیک و تئوری سیستم، اصل برهم‌نهی (که بهخاصیت برهم‌نهی نیز معروف است) بیان می‌کند که برای تمام سیستم‌های خطی، «پاسخ خالص ایجاد شده در یک نقطه و زمان مورد نظر به وسیله دو یا چند محرک، برابر است با مجموع پاسخ‌هایی که بوسیله هر محرک به تنهایی بوجود می‌آید».

در نتیجه اگر ورودی A پاسخ X را ایجاد کند و ورودی B پاسخ Y را ایجاد کند، آنگاه ورودی (A + B) پاسخ (X + Y) را ایجاد خواهد کرد.

از لحاظ ریاضی، برای تمام سیستم‌های خطی به صورت F(x) = y، که x یک نوع محرک (ورودی) و y نوعی پاسخ (خروجی) به حساب می‌آیند، برهم‌نهی (یعنی مجموع) محرک‌ها به برهم‌نهی پاسخ‌های مربوطه منجر می‌شود:

$F(x_1+x_2+\cdots)=F(x_1)+F(x_2)+\cdots$.

در ریاضیات، این خاصیت معمولاً جمع‌شوندگی خوانده می‌شود. در بسیاری از موارد واقعی، جمع‌شوندگی F به معنی نگاشت خطی تابع است، که تابع خطی یا عملگر خطی نیز خوانده می‌شود.

این اصل کاربردهای زیادی در فیزیک و مهندسی دارد که باعث می‌شود بسیاری از سیستم‌های فیزیکی را بتوان با سیستم‌های خطی مدل کرد. برای مثال، یک تیر را می‌توان به عنوان یک سیستم خطی مدل کرد که ورودی محرک آن بار روی تیر و پاسخ خروجی آن خمش (یا انحراف) تیر است. از آنجا که سیستم‌های فیزیکی تقریباً خطی هستند، اصل برهم‌نهی تنها تقریبی از رفتار فیزیکی واقعی است؛ که دید عمقی از ناحیه عملکرد کلی این سیستم‌ها به ما می‌دهد.

اصل برهم‌نهی به تمام سیستم‌های خطی قابل اعمال است، که شامل معادلات جبری، معادلات دیفرانسیل خطی، و سیستم معادلات و غیره می‌شود. محرک‌ها و پاسخ‌ها می‌توانند اعداد، توابع، بردارها، میدان‌های برداری، سیگنال‌های تغییرپذیر با زمان، یا هر عنصر دیگری باشنند که اصول خاصی را ارضا. دقت کنید که اگر پای بردارها و میدان‌های بردار در میان باشد، اصل برهم‌نهی به صورت جمع برداری خواهد بود.

ارتباط با تحلیل فوریه و روش‌های مشابه

با نوشتن یک محرک بسیار کلی (در یک سیستم خطی) به صورت برهم‌نهی‌های محرک‌های ساده و خاص، محاسبه پاسخ با استفاده از اصل برهم‌نهی بسیار ساده می‌شود.

برای مثال، در تحلیل فوریه، محرک به صورت برهم‌نهی بی‌نهایت موج سینوسی بازنویسی می‌شود. با تکیه بر اصل برهم‌نهی، هر کدام از این سینوسی‌ها را می‌توان به صورت مستقل تحلیل کرد، و پاسخ هر کدام از آنها را می‌توان محاسبه کرد (پاسخ نیز خود یک سینوسی است با همان فرکانسی که در محرک بود، ولی عموماً دامنه و فاز متفاوتی دارند). با توجه به اصل برهم‌نهی، پاسخ محرک اصلی مجموع (یا انتگرال) تمام پاسخ‌های سینوسی است.

به عنوان یک مثال آشنای دیگر، در تحلیل تابع گرین، محرک به صورت برهم‌نهی بی‌نهایت تابع ضربه نوشته می‌شود، و در نتیجه پاسخ برهم‌نهی شده پاسخ‌های ضربه است.

تحلیل فوریه در کاربرد موج‌ها بسیار مرسوم است. برای مثال، در تئوری الکترومغناطیس، نور معمولی به عنوان برهم‌نهی موج‌های پایه (موج‌های با فرکانس، قطبیت، و مسیر ثابت) معرفی می‌شود. تا جایی که اصل برهم‌نهی برقرار باشد (که غالباً و نه همیشه برقرار است؛ نورشناسی غیرخطی را مشاهده کنید)، رفتار هر موج نوری را می‌توان به صورت برهم‌نهی رفتار هر کدام از موج‌های پایه ساده تفسیر کرد.

کاربرد در زمینه موج

نوشتارهای اصلی: موج و معادله موج

موج‌ها معمولاً به صورت تغییرات در برخی پارامترها در فضا و زمان توصیف می‌شوند. مثلاً ارتفاع در موج آب، فشار در موج صدا، میدان الکترومغناطیس در موج نوری. مقدار این پارامتر دامنه موج خوانده می‌شود، و خود موج نیز یک تابع است که دامنه را در هر نقطه مشخص می‌کند.

در هر سیستم با حضور موج، شکل‌موج در یک زمان مشخص‌شده تابعی است از منابع (یعنی نیروهای خارجی که موج را تشکیل می‌دهند یا بر موج اثر می‌گذارند؛ اگر حضور داشته باشند) و شرایط اولیه سیستم. در بسیاری از حالات (برای مثال، در معادله موج کلاسیک)، معادله‌ای که موج را تعریف می‌کند، خطی است. زمانی که این گفته صادق باشد، اصل برهم‌نهی را می‌توان اعمال کرد. و این گفته بدان معنی است که دامنه خالص ایجاد شده توسط دو یا چند موج که در یک فضا در حال گذر هستند، مجموع دامنه‌هایی است که هر کدام از موج‌ها به تنهایی می‌توانند ایجاد کنند. برای مثال، دو موج که که به سوی یکدیگر در حال حرکت هستند، دقیقاً از روی یکدیگر فبور می‌کنند بدون این که بر روی یکدیگر اختلال ایجاد کنند. (شکل بالا را ببینید)

تداخل در موج

نوشتار اصلی: تداخل امواج)‎

مفهوم تداخل بین دو موج بر اساس این ایده‌است: زمانی که دو یا چند موج در یک فضا در حال عبور هستند، دامنه خالص در هر نقطه برابر با مجموعدمنه هرکدام از موج‌ها است. در برخی حالات، مثل گوشی‌های حذف نویز، مجموع تغییرات دارای دامنه کمتری از دامنه تغییرات جداگانه است؛ که تداخل تخریبی نامیده می‌شود. در حالات دیگر، مثل ، مجموع تغییرات دامنه‌ای بزرگتر از هر کدام از مولفه‌ها به تنهایی است؛ که تداخل سازنده نامیده می‌شود.

موج ترکیبی
موج ۱
موج ۲
	دو موج هم‌فاز	دو موج با اختلاف فاز °۱۸۰

خروج از خطی‌بودن

باید در نظر داشت کهدر بسیاری از حالات فیزیک واقعی، معادله‌ای که بر روی موج صدق می‌کند تقریباً خطی است. در این حالات، اصل برهم‌نهی به صورت تقریبی برقرار است. به عنوان یک قانون، دقت تقریب با کاهش دامنه موج بیشتر می‌شود. برای مشاهده مثال‌هایی که در آن‌ها اصل برهم‌نهی صادق نیست، مثاله نورشناخت غیرخطی و صداشناسی غیرخطی را مشاهده کنید.

برهم‌نهی کوانتوم

نوشتار اصلی: برهم‌نهی کوانتوم‎

در مکانیک کوانتوم، یک هدف آن است که مشخص شود که چگونه یک نوع خاص از موج منتشر می‌شود و رفتار می‌کند. در این کاربرد، موج را تابع موج، و معادله حاکم بر رفتار موج را معادله موج شرودینگر می‌نامند. اولین راهکار برای محاسبه رفتار تابع‌موج، نوشتن تابع‌موج به صورت برهم‌نهی («برهم‌نهی کوانتوم» خوانده می‌شود) چندین (تقریباً بینهایت) تابع‌موج نوع مشخص حالت پایدار است که رفتارشان ساده‌است. از آنجا که معادله موج شرودینگر خطی است، رفتار تابع‌موج اصلی را می‌توان با استفاده از اصل برهم‌نهی محاسبه کردQuantum Mechanics, Kramers, H.A. publisher Dover, 1957, p. ۶۲ ISBN 978-0-486-66772-0.

مسائل مقدار مرزی

نوشتار اصلی: مسئله مقدار مرزی‎

یک نوع از مسائل مقدار مرزی (به طور مختصر) پیدا کردن یک تابع y که چند معادله زیر را ارضا کند:

$F(y)=0$

با برخی خصوصیات مرزی زیر

$G(y)=z$

برای مثال، در معادله لاپلاس با شرایط مرزی دیریکله، F عملگر لاپلاسین در منطقه R، G عملگری است که y را به مرز R محدود می‌کند، و z تابعی است که y باید در مرز R با y برابر باشد.

در حالتی که F و G هر دو عملگر خطی باشند، آنگاه اصل برهم‌نهی می‌گوید که یک برهم‌نهی از پاسخ‌های معادله، پاسخی دیگر به معادله اول است:

IF $F(y_1)=F(y_2)=\cdots=0$ THEN $F(y_1+y_2+\cdots)=0$

زمانی که مقادیر مرزی برهم‌نهاده شوند:

$G(y_1)+G(y_2) = G(y_1+y_2)$

با استفاده از این واقعیت، اگر یک فهرست از پاسخ‌های را بتوان پاسخی به معادله اول دانست، آنگاه این پاسخ‌ها را می‌توان در به صورت برهم‌نهاده شده درآورد که بتواند معادله دوم را ارضا کند. این روش راهکاری معمول برای حل کردن مسائل مقدار مرزی است.