خم

نمونه‌ای از یک خم ساده و بسته: به این شکل در هندسه درون‌چرخه‌زاد گفته می‌شود.

خَم یا مُنحَنی یک مفهوم هندسی است.

تعریف خم

در ریاضیات، مفهوم خم برای نشان دادن یک شیء یک بعدی و پیوسته به کار می‌رود. یک مثال ساده دایره‌است. در گفتگوی روزمره یک خط صاف خم در نظر گرفته نمی‌شود. ولی در مکالمهٔ ریاضیاتی خط‌های مستقیم و پاره خط‌ها نیز خم‌اند. تعداد زیاد دیگری خم در هندسه مطالعه می‌شوند.

منحنی لوبیایی نوعی منحنی چارکی با فرمول: $x^4+x^2y^2+y^4=x(x^2+1/7y^2)$

عبارت خم همچنین در حالاتی استفاده می‌شود که آن را تقریباً هم معنی با تابع ریاضی یا نمودار تابع می‌سازد.

انواع خم

بطور کلی، خم بر دو گونه‌است:

• خم مسطح: خمی است که بر روی سطح دوبعدی (صفحه)قابل جایگیری است.
• خم کج: خمی فضایی است که روی هیچ صفحه‌ای قرار نگیرد.

خم مسطح

بطور شهودی، خم مسطح به مجموعه‌ای از نقطه‌ها گفته می‌شود، به شرط آنکه بتوانیم بدون بلند کردن قلم از روی کاغذ آن را رسم کنیم.

انواع خم مسطح

خم ساده

یک خم ساده، یک خم مسطح است که هیچ یک از نقطه های خود را قطع نکند.مگر در حالتی که نقطه های انتهایی به هم می رسند...

خم بسته

خم بسته، به خمی اطلاق می‌شود که نقطه‌های (انتهایی) آن به هم رسیده (، و بر همدیگر منطبق) باشند.

خم سادهٔ بسته

خمی ساده است که نقطه‌های ابتدا و انتهایی آن بر هم منطبق باشند.

قضیه خم ژوردان

هر خم سادهٔ بسته C، صفحه را به سه زیر مجموعهٔ جدا از هم درون، بیرون و روی خم تقسیم می‌کند.

تعاریف

در توپولوژی، خم را به صورت زیر تعریف می کنیم:

فرض کنیم I بازه‌ای‌ست از اعداد حقیقی (یعنی یک زیر مجموعه همبند ناتهی از $\mathbb{R}$). آنگاه، خم $\!\,\gamma$ یک نگاشت پیوسته $\,\!\gamma: I \rightarrow X$ است که X یک فضای توپولوژیکی است.

خم $\!\,\gamma$ را ساده می‌گویند اگر که برای هر x،y در I داشته باشیم:

$\,\!\gamma(x) = \gamma(y) \rightarrow x = y$

در صورتی که، I بازه‌ای بسته و کراندار $\,\![a, b]$ باشد، امکان $\,\!\gamma(a) = \gamma(b)$ را هم مجاز در نظر می گیریم (این قرارداد امکان این را می‌دهد که راجع به خم سادهٔ بسته صحبت کنیم).

چنانچه، به ازاء برخی $x\ne y$ (غیر از دوسر I) داشته باشیم:

$\,\!\gamma(x) = \gamma(y)$

آنگاه به $\,\!\gamma(x)$ یک نقطهٔ مضاعف (یا چندگانه)از خم گفته می‌شود.

خم $\!\,\gamma$ را بسته یا یک حلقه می‌گوییم اگر $\,\!I = [a, b]$ و اگر $\!\,\gamma(a) = \gamma(b)$. بنابراین یک خم بسته یک نگاشت پیوسته از دایره $S^1$ است. یک خم ساده بسته همچنین یک خم ژوردان گفته می‌شود. یک خم صفحه‌ای خم‌ای است که برای آن X یک فضای اقلیدسی است -- اینها مثال‌هایی هستند که ابتدا بیان شدند --. یک خم فضایی خم‌ای است که برای آن X سه بعدی یا فضای اقلیدسی است. یک خم کج خم فضایی است که روی هیچ صفحه‌ای قرار نگیرد. این تعاریف همچنین در مورد خم‌های جبری نیز صادقند. اما در مورد خم جبر معمول است که خم را به داشتن نقاط تعریف شده روی اعداد حقیقی محدود نکنیم.

قراردادها و اصطلاحات

تفاوت بین یک خم و تصویر آن مهم است. دو خم متمایز ممکن است تصویر یکسان داشته باشند. به عنوان مثال یک پاره خط می‌تواند در سرعتهای متفاوت پیموده شود، یا یک دایره می‌تواند به دفعات متفاوت پیموده شود. با این وجود خیلی اوقات ما فقط به تصویر خم علاقمندیم. مهم است که هنگام مطالعه به زمینه و قرارداد توجه شود. نامگذاری نیز همچنین یکسان نیست. اغلت توپولوژیست‌ها از اصطلاح «مسیر» به عنوان آنچه ما خم می‌نامیم و از «خم» به عنوان به عنوان آنچه ما تصویر می‌نامیم استفاده می‌کنند. اصطلاح «خم» در حساب برداری و هندسه دیفرانسیل معمول است.

انحناء منحنی‌ها

مقالهٔ اصلی: انحناء

طول خم

اگر X یک فضای متری با متر d باشد، آنگاه «طول» خم $\!\,\gamma : [a, b] \rightarrow X$ را با

$\mbox{Length} (\gamma)=\sup \left\{ \sum_{i=1}^n d(\gamma(t_i),\gamma(t_{i-1})): n \in \mathbb{N} \mbox{ and } a = t_0 < t_1 < \cdots < t_n = b \right\}.$

تعریف کنیم. یک خم تصحیح پذیر یک خم با طول متناهیست. معادله پارامتری از $\!\,\gamma$ طبیعی (یا سرعت واحد یا پارامتری شده با طول خم) نامیده می‌شود اگر برای هر $t_1$، $t_2$ در $[a, b]$ داشته باشیم

$\mbox{length} (\gamma|_{[t_1,t_2]})=|t_2-t_1|$

اگر $\!\,\gamma$ یک تابع پیوسته لیپشیتس باشد، آنگاه خودش تصحیح‌پذیر است. بعلاوه، در این حالت، می‌توان سرعت $\!\,\gamma$ در $t_0$ را به صورت

$\mbox{speed}(t_0)=\limsup_{t\to t_0} {d(\gamma(t),\gamma(t_0))\over |t-t_0|}$

تعریف کرد. و آنگاه

$\mbox{length}(\gamma)=\int_a^b \mbox{speed}(t) \, dt.$

به طور خاص، اگر $X = \mathbb{R}^n$ یک فضای اقلیدسی و $\gamma : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}^n$ مشتق‌پذیر باشد آنگاه

$\mbox{Length}(\gamma)=\int_a^b \left| \, {d\gamma \over dt} \, \right| \, dt.$

منابع

• Curve. (۲۰۱۱، May ۳۱). In Wikipedia، The Free Encyclopedia. Retrieved ۱۶:۰۶، June ۸، ۲۰۱۱، from http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Curve&oldid=431898353